高考中圆锥曲线题型的解法探讨.doc

目 录1 引言12 文献综述12.1 国内外研究现状12.2 国内外研究现状评价12.3 提出问题13 近三年高考中圆锥曲线题型所占比重及发展趋势14 高考中见的圆锥曲线题型34.1 直线与圆锥曲线结合的题型34.1.1 求圆锥曲线的轨迹方程34.1.2 求直线方程、斜率、线段长度相关问题44.1.3 判断直线与圆锥曲线的位置关系64.2 圆与圆锥曲线结合的题型74.3 圆锥曲线与圆锥曲线结合的题型74.4 圆锥曲线与向量知识结合的题型85 常考圆锥曲线题型的解题方法分析105.1 解题的通法分析105.2 合理选择适当方法优化解题过程125.3 解题中应避免的误区136 结论146.1 主要发现146.2 启示和意义146.3 局限性146.4 努力方向14参考文献15致 谢161 引言高考是当今社会的热点内容之一，受到了人们的极大关注，更多的人投入了很大的精力对高考进行研究，他们从不同角度对高考进行了分析.圆锥曲线是高中平面几何中的重点内容，是高考命题的热点之一.近几年高考数学对圆锥曲线的考查一直占有较大的比例，尤其是“向量”和“导数”进入高中数学教材以后,更是拓宽了高考在圆锥曲线上的命题空间.文章紧扣高考“脉搏”，对以圆锥曲线内容命题的历届高考试题作了一般概述,分析高考中圆锥曲线的题型，找出解题的一般思考方法及技巧，从中归纳出常考圆锥曲线题型的特征，以及对此类题型的解题方法做了分析，并对各类题型加以评析,用一些具体的例题加以说明，这有助于拓宽学生的知识面，更好的应对高考.2 文献综述2.1 国内外研究现状圆锥曲线题型是历年高考的重点内容之一，所以受到很多人的关注，对这部分的研究也很多.文献1对直线与圆锥曲线的位置关系做了详细的说明；文献2、3中对涉及切点弦的圆锥曲线题型有所介绍；文献4对圆锥曲线定义有关的问题做了介绍；文献5对有关焦点弦的问题做了介绍；文献69对求解圆锥曲线题型的的方法从不同角度做了介绍；文献10、11对求解圆锥曲线题型时经常出现的误区做了详细介绍；其它一些文献也介绍了圆锥曲线的相关知识，和解题思想方法.2.2 国内外研究现状评价目前国内对高考中常出现的圆锥曲线题型的研究论述很多，它们从不同的角度对圆锥曲线题型的解法做了阐述，并且取得了一定的成就，对学生学习圆锥曲线这部分知识起到很大作用.2.3 提出问题圆锥曲线题型是高考的重点之一，受到人们极大的关注，很多人从不同角度分析了高考中常出现的圆锥曲线题型的解题思想方法.文章主要是系统的阐述高考中常出现的圆锥曲线题型及其解题方法分析.3 近三年高考中圆锥曲线题型所占比重及发展趋势圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是历年高考数学命题的重点内容.在近年的高考试题中，有关圆锥曲线的试题所占比重较大，一般都在1622分之间，而且题型、题量、难度保持相对稳定，一道选择题、一道填空题、一道解答题.从近年高考命题趋势上看，这种情形近几年还不会被打破，预计今后几年的命题也将会一直保持现在的难度、量度.表1高考中常考圆锥曲线题型及所占分值年份选择题填空题解答题合计2009年全国卷5分12分17芬全国卷5分12分17分上海卷4分16分20分天津卷5分14分19分山东卷5分 14分19分2008年全国卷5分12分17分全国卷5分5分12分22分北京卷5分14分19分四川卷5分12分17分陕西卷5分12分17分2007年全国卷5分12分17分湖南卷5分13分18分天津卷5分15分20分重庆卷4分12分16分福建卷5分12分17分（1）圆锥曲线的考查重点近几年高考试卷对圆锥曲线的考查主要是：给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等）；或讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系；或考查圆锥曲线与其它知识的综合（如与函数、数列、不等式、向量、导数等）等.（2）圆锥曲线试题的特点突出重点知识的考查.直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是圆锥曲线命题的根本.在对圆锥曲线的考查中，直线与圆锥曲线的位置关系仍然是重点.注重数学思想与方法的考查.融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识，在知识网络的交汇点处设计问题是近年高考的一大特点由于向量具有代数和几何的双重身份，使得圆锥曲线与平面向量的整合交汇成为近几年高考命题的热点，导数知识的引入为我们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法.命题重点趋势：直线与圆锥曲线（或圆与圆锥曲线）2010高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线（或圆与圆锥曲线），热点主要体现在：直线与圆锥曲线的基础题；轨迹问题；范围与位置问题；最值问题；存在性问题；与平面向量或导数相结合的问题.4 高考中见的圆锥曲线题型直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程数形结合，分类讨论，化归等重要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大，思维层次较高，对学生的能力要求也相对较高，是每年高考中平面几何部分出题的重点内容.4.1 直线与圆锥曲线结合的题型4.1.1 求圆锥曲线的轨迹方程这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质，要求较低，一是出现在选择题，填空题或者解答题的第一问，较容易.例1（2008年重庆卷） 已知双曲线（a0,b0）的一条渐近，线的方，程为（k.o） ，离心率 ，则双曲线的方程为（）A B C D 分析：本题主要是考查学生对双曲线的离心率、渐近线的相关知识的掌握，并且结合双曲线的性质，求出两者之间的关系，继而得出正确的结论.依题意有，又因双曲线的渐近线方程为，所以，所以得出，故选C.4.1.2 求直线方程、斜率、线段长度相关问题 此类题目一般比较困难，不仅考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握，而且还考查学生的综合处理问题的能力，还要求学生有较强的推算能力.这类题目容易与向量、数列、三角函数等知识相结合，学生在解题时，可能会因为抓不住解题要领而放弃.例2 (2009年四川卷) 已知椭圆（ab0）的左右焦点，离心率，有准线方程为.（1） 求椭圆的标准方程.（2） 过点的直线与椭圆交于，M、N两点，且|，求直线的方程分析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理运算能力.第一问较简单，容易得分，求椭圆的标准方程，它的形式是，所以我们只要求出的值就可以了.依题意离心率，椭圆的有准线方程为，又因为，根据这三个条件，就可以求出，就得出椭圆的标准方程为，这样就获得4分.第二问，一看题目给人的第一感觉就是难，在高考中由于时间等因素，很多学生就不去做，就算有有时间也不去考虑，这里我们首先要克服这种恐惧思想.认真读懂题意，抓住与解题有关的要点，利用所学的知识，仔细分析.首先，要求过点直线方程，我们就考虑直线的斜率，应用点斜式来求，这样顺理成章我们就要考虑直线的斜率存不存在的问题.所以接下来我们就来考虑特殊情况，斜率不存在的问题.解： 假设直线的斜率不存在时，有第一步知，直线过，所以直线方程为，将代入椭圆标准方程得： ，接来我们不妨设， ，所以， =+=（-4，0），这与题设矛盾，所以直线的斜率存在，下面我们设直线的斜率为k,则直线的方程为，设点.连立方程 ，消y得 由根与系数的关系可知，又因为 ，所以 ，即 =化简得 ，解得 （舍去），所以，所以所求直线方程为.这样这道题就完成了.4.1.3 判断直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一可从代数与几何两个角度考虑，从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，而对双曲线方程来讲未必.例如：将代入中消y后整理得：，当时，该方程为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行，当时，该方程为二次方程，这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共点，具体如下：直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决.直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行.直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.例3 已知双曲线C: 与点P(1,2).求经过点P(1,2)的直线L的斜率的取值范围，使L与C没有交点，有一个交点，两个交点？分析:本题主要考察直线与双曲线的交点的个数，归结为方程组解的问题.解: 当直线的斜率不存在时，直线L的方程为x=1，与曲线c有一个交点，当斜率存在时，设直线的方程为y-2=k(x-1),代入C的方程，并整理得（1）当=0，即时，方程（1）有一个根，L与C有一个交点.当0，即时，=16(3-2k)当=0，即3-2k=0,即时，方程（1）有一个实根，L与C有一个交点.当0，即k时，又，故当或或时方程（1）有两个实根，L与C有两个交点.当时，方程（1）无实根，L与C没有交点.4.2 圆与圆锥曲线结合的题型这类题目要求学生对圆锥曲线、圆以及直线的知识非常熟悉，并有较强的综合能力.例4 （2008年湖北卷） 在以点O为直径的半圆ADB中，ODAB,P是半圆弧上一点，曲线C是满足|MA|-|MB| |为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P. 建立适当的直角坐标系，求曲线C的方程.分析：本题主要是考查直线、圆、平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合问题的能力.解：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴y轴，建立直角坐标系，则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(,1), 依题意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=|AB|=4所以曲线C是与原点为中心，A，B为焦点的双曲线.设实半轴长为a，半轴长为b，半焦距为c，则曲线C的方程为4.3 圆锥曲线与圆锥曲线结合的题型 这类题目在高考中并不是常考题型，但也是一个命题热点.题目中经常涉及两种圆锥曲线，对这部份知识要求较高，必须熟练掌握才能进行解题，还有这类题目看起来比较复杂，容易使人产生退却之心，所以面对这种题型，我们要克服心理的恐惧，认真分析题意，结合学过的知识来解题.例（2008年广东卷） 设b0椭圆方程为，抛物线方程，如下图所示，过点做x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点.（1） 求满足条件的椭圆方程及抛物线的方程.（2）设A 、B分别是椭圆的长轴的左右端点，是探究在抛物线上是否存在点使得ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由.分析：本题主要考查椭圆、抛物线、圆、直线、函数导数、直角三角形的知识和数学探究，考查数形结合.分类与整合，函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、应算能力与创新意识.解(1) 设椭圆的右焦点的坐标为（c,0），则.由题设点F的坐标为，则点G的坐标为（4,b+2）.因为抛物线在G的切线l的斜率k=1,切线l的方程为y=x+b-2.切线经过椭圆的右焦点（b,0）,由0=b+b-2解得b=1,故满足条件的椭圆方程为，抛物线方程为.解（2） 抛物线上存在点P，使得ABP为直角三角形出共有几个这样的点.分别过A,B作x轴的垂线，与抛物线分别交与两点则三角形,都是直角三角形.以原点为中心，|AB|=为半径作圆周，由于圆周半径大于椭圆的半短轴长1，且椭圆与抛物线仅仅交于一点，所以上述圆周必于抛物线相交与,两点，则则三角形,都是直角三角形，因为与圆相切与点A，而在圆周上，所以, 不重合，同理,不重合.所以这样的点共有四个.4.4 圆锥曲线与向量知识结合的题型在解决解析几何问题时，平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征，而且又方便计算，把解析几何与平面向量综合在一起进行测试，可以有效地考查考生的数形结合思想.因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合.高考对解析几何与向量综合考查，采取了新旧结合，以旧带新，使新的内容和旧的内容有机地结合在一起设问，就形成了新的高考命题的热点.例6 已知常数m 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以b-为方向向量的直线交于点P，其中R(1) 求点P的轨迹E；(2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =若存在求出k的值；若不存在，试说明理由分析 本题是一量与解析几何的综合题，且直线是由含参数的两个复合向量为方向向量所确定直线 (直线的点斜式方程)，显示出向量法的特征，深刻地揭示出向量与解析几何的内在联系与共同本质用代数的方法研究和解决几何问题.另外，本题的第(2)问以存在性问题呈现，强化了求解过程中的探究性，对抽象思维能力有很高的要求.解(1) = ( m, )， 直线AP方程为；（2）又b-=( m, - 4), 直线NP方程为；（3）由(2)、(3)消去得，即故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：；当m 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆：当0 m 0方程（6）有两个不等实根直线L与椭圆C相交直线与椭圆C有两个不同的公共点.若=0方程（6）有两个相等的实根直线L与椭圆C相切直线与椭圆C只有一个公共点.若方程=0方程（6）有两个不等实根直线L与双曲线C相交直线与双曲线C有两个不同的公共点.若=0方程（6）有两个相等的实根直线L与双曲线C相切直线与双曲线C只有一个公共点.若=0方程（6）有两个不等实根直线L与抛物线C相交直线与抛物线C有两个不同的公共点.若=0方程（6）有两个相等的实根直线L与抛物线C相切直线与抛物线C只有一个公共点.若=0方程（6）无实根直线L与抛物线C相离直线与抛物线C无公共点.注意当直线L与抛物线的对称轴平行时，直线L与抛物线C只有一个公共点，此时直线L与抛物线C相交，故直线L与抛物线C只有一个公共点时可能相交也可能相切.系统掌握求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）;掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法;熟练掌握圆锥曲线的标准方程、几何性质及其应用.掌握与圆锥曲线有关的参数讨论问题的解法.掌握解答解析几何综合问题的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.5.2 合理选择适当方法优化解题过程数学的解题过程一般是由理解问题开始，经过探讨思路，转化问题直至解决问题题目的意思至为重要，然后我们才能分解问题，把一个复杂的问题转化成几个简单的熟悉的问题，通过逐步分解，进而解决问题.所以在解题前，首先我们应该从全方位、多角度的分析问题，根据自己的知识经验，适时的调整分析问题的角度，再充分回忆与之相关的知识点把陌生的问题转化为一些熟悉的题型，找到一个正确的简便的解题方法.合理选择方法，提高运算能力.解析几何问题的一般思路易于寻找，但运算量大，所以合理选择运算方法可以优化解题过程、减少运算量.通常减少运算量的方法有合理建立坐标系；充分利用定义；充分利用平面几何知识；整体消元法等.对圆锥曲线的基础知识首先要扎实，关于解题技巧可以考虑下面几点： 某些问题要注意运用圆锥曲线定义来解题； 与弦有关问题多数要用韦达定理； 与中点有关问题多数要用“点差法”； 计算能力一定要过硬，要有“不怕麻烦的劲头”； 与角度，垂直有关问题，要恰当运用“向量”的知识；直线和圆锥曲线的问题是解析几何中的典型问题，也是考试中容易出大题的考点.解决这类问题的关键就是要明白直线和圆锥曲线问题的本质.直线截圆锥曲线就会在曲线内形成弦，这是一个最大的出题点，根据弦就可以涉及到弦长；另外直线和圆锥曲线有交点，涉及到交点就会涉及到坐标的一些问题，若是再和交点、原点等一些特殊点构成一些关系还会涉及到角度问题.解析几何就是利用代数方法解决几何问题，因此这些几何上的角度，弦长等一些关系都要转化成坐标，以及方程的形式.但是问题的本质还是几何问题，因此更多的利用圆锥曲线的几何性质可以化简计算.比如，在坐标法中向量是和几何问题结合最紧密的方法，因此涉及到角度等一些问题可以用向量去做，这样会比直接利用直线的夹角公式计算要稍简单一些. 还有一种方法是点差法.这种方法是将两个交点的坐标先带入圆锥曲线方程，然后进行做差，这样就会出现平方相减或相加的项，方便转化和化简，这里在化简和转化的过程中主要利用的是直线方程，因此大部分题的参数都在直线中. 这类题的计算量一般会比较大，在解题时可以使用一些小技巧简化计算.比如涉及到焦点的问题看看可不可以用圆锥曲线的第二定义转化.利用第二定义就可以将点到点之间的距离转化为点到直线之间的距离，而且一般情况下直线还是垂直于x轴或y轴的，这样直接就和坐标联系上了，这种方法在圆锥曲线中含有参数的时候还是挺好使的，一般在答题中应用不多，小题中会有不少应用，因此还是要掌握好第二定义.5.3 解题中应避免的误区在“圆锥曲线”内容中，为了研究曲线与方程之间之间的各种关系，引进了一些基本概念和数学方法，例如“圆锥曲线”，“曲线的方程”等概念，函数与方程的数学思想、数形结合思想、回归定义等方法，对于这类特定的概念理解不准确，对这些方法的掌握存在某些缺陷，解题时就容易进入误区.对圆锥曲线的两个定义在第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于，定义中的“绝对值”与，则轨迹不存在.若去掉定义中的绝对值则轨迹仅示双曲线的一支第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率.圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a、b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向.判断直线与圆锥曲线的位置关系时应该注意：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交.如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点.6 结论 6.1 主要发现高考中常出现的圆锥曲线题型一般都有固定的解题思路，这就是文章所提到的通法，这些思想方法大多比较简单明了，但是这些方法有一个弊端，那就是应算非常复杂，对学生的应算能力要求比较高.不过对这类问题也有一个相对较简单的解法，它要求学生有较强的数学应用能力、归纳总结的能力.6.2 启示和意义文章对高考中常出现的圆锥曲线题型及其解题思想方法做了一个系统的概述，对即将高考的学生对这部分知识的复习有一定的意义，并能使他们对这部分知识有一个总体的认识.6.3 局限性高考中对圆锥曲线题型的考查内容广泛、题型较多，文章不能完全说明，如对含参数的问题、与数列、三角函数结合的问题未能说明；文章中的一些解题思想方法未能详细说明.6.4 努力方向将来在教学实践中，尽可能的详细的对高考中常出现的圆锥曲线题型及其解法做一个系统的总结，并能从中找出一个正确、简单、便捷的解题思想方法.参考文献1 刘健永.直线与圆锥曲线的位置关系.中学教研（数学），2007,(4）：8-10.2 蔡献慧.圆锥曲线切点弦的应用