基本初等函数.doc

一、指数函数（Exponential Function）（一）分数指数幂的相关运算1. 计算：（1）；（2）47. （3）（4）（5）解：(1) 原式=；(2) 原式= 2. 化简：(1) ；(2) 解：(1) 原式= ；(2) 原式 3. 已知则的值为_变式1：已知，则 变式2：已知，求下列各式的值：（1）； （2）4. （1）若，则使之成立的x的取值范围为 （2）若，则使之成立的x的取值范围为 5. 计算下列各式（式中字母都是正数）（1）；（2）6. 计算下列各式：（1）；（2）7. 计算下列各式：（1）； （2）（3）8. (2010年珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分钟)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下：t02060140n128128根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于_分钟10009. 若函数在上的值域为，则先定单调性，由函数图像可得10. 已知集合，且试求实数的值及集合11. 若方程的解为，则 12. 已知，求的值. 因为，所以， 而，所以，所以 13. 14. 等式成立的的条件是 15. 已知，则 3（先化简，再求值）16. 我们知道，对任意正整数和正数，若，则；若，则，探索并证明：对任意的正有理数，与1之间的关系如何？（反证法）（二）指数函数的概念1. 已知指数函数经过点，求的值（三）指数函数的图像1. 下图是底数分别为5，6，的指数函数的图像，请具体指出2. 将函数图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式 _3. 画出函数的草图4. 画出函数的图象，并利用图象回答：（1）的单调区间是什么？（2）k分别为何值时，方程|3x1|=k无解？只有一解？有两解？5. 在定义域内是减函数，则的取值范围是 6. 若方程|有一解，则= 7. 当a0时，函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是 变式1：当0a1,b0且a1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有_ 0a0 0a1且0b1且b1且b08. 函数在上是减函数，则的取值范围是 9. 在下列图象中，二次函数y=ax2bxc与函数y=()x的图象可能是10. 若直线与函数的图像有两个公共点，则实数的210y/m2t/月23814取值范围是 11. 给定函数 , , , ,其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 12. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积()与时间(月)的关系:,有以下叙述: 这个指数函数的底数是2; 第5个月时,浮萍的面积就会超过; 浮萍从蔓延到需要经过1.5个月; 浮萍每个月增加的面积都相等; 若浮萍蔓延到、所经过的时间分别为、，则.其中正确的是 （填写正确命题的序号）1、2、513. 已知函数在R上递增，则a的取值范围为_14. 已知实数a,b满足等式，下列五个关系式： 0ba; ab0; 0ab; ba1，b0，且abab2，则abab的值等于_变式：已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1) 求a，b的值；(2) 若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围10. 已知，求函数的最大值和最小值. 1,211. 已知函数，其中常数满足（1）若，判断函数的单调性；（2）若，求时的取值范围12. 函数的值域为 （五）指数函数的综合问题1. （2013年梁丰高一数学10月月考）设函数是定义域为R的奇函数.（1）求的值；（2）若，试判断函数单调性（不需证明），并求不等式的解集；（3）若上的最小值为，求实数的值. 2. （苏州2013年期初检测）对于函数,若在定义域内存在实数,满足，则称为“局部奇函数”（I）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；（II）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；（III）若为定义域为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；3. 设，若0a1且0b1的解集为_10. 若，则下列式子成立的是 1、2、5（1）； （2）； （3）；（4） （5）11. 已知，且，则从大到小的顺序是 12. 已知函数的零点依次为，则的大小关系是 13.作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）14. 函数的图象与轴的交点个数有_个 215. 若函数的图象的对称轴是，则非零实数的值为_.16. 已知函数若互不相等，且，则的取值范围是_. 17. 已知函数若互不相等，且，则的取值范围是_. 18. 若，则从小到大的顺序为_. 19. 若函数f(x)log2|ax1|(a0)，当x时，有f(x)f(1x)，则a_20. 4. 单调性1. 求函数的单调递增区间；2. 求函数的单调递减区间；3. 已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 .4. 已知y（2ax）在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是_5. 若定义在区间（1，0）内的函数满足，则a的取值范围为 6. 若，则实数的取值范围是_7. 设函数在上单调递增，则的大小关系为_8. 函数在区间上恒有,则实数的取值范围是_变式1：已知函数，其中为不等于1的正数，若，且函数在区间上总有，则的取值范围为_变式2：已知函数.（1）求的定义域；（2）若在上递增且恒取正值，求满足的关系式.9. 已知函数（1）求函数的定义域；（2）解不等式：10. 函数的定义域是_；单调减区间是_；值域是_11. 比较下列数的大小 （分类讨论）变式：的大小顺序从小到大依次为_（1） （2） 12. 已知函数f(x)在上是减函数,g(x)=-f(|x|),若g(lgx)0)若函数f(x)在10，)上是单调增函数，则实数k的取值范围为_15. 若在上恒正，则实数的取值范围是 16. 函数f(x)=在R不是单调函数，则实数a的取值范围是 17. 已知函数（1）判断的奇偶性并证明；（2）若的定义域为()， 判断并证明在定义域上的单调性；18. 已知，若，则19. 若，试比较，的大小 20. 设偶函数在上是单调减函数，则与的大小关系是 21. 若，函数，则使的的取值范围_22. 设，且，则函数的最大值为 023. 已知集合，集合，若，且的最小值为，则= . 224. 已知函数，函数的图象与函数的图象关于轴对称，设.（1）求函数的解析式及定义域；（2） 试问在函数的图象上是否存在两个不同的点和，使直线恰好与轴垂直？若存在，求出和的坐标；若不存在，请说明理由. （单调递减）25. 已知函数，其中且.（1）当时，求函数的值域；（2）当在区间上为增函数时，求实数的取值范围. 26. 已知，当时，试比较与的大小.（写出比较过程）.27. 已知函数（1）若的值域为，试求实数的值；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围.5. 奇偶性1. 函数的奇偶性为 2. 若函数是奇函数，则a 3. 设是偶函数，是奇函数，值为_4. 已知函数(),如果(),那么的值是 . -35. 设且若定义在区间内的函数是奇函数,则的取值范围是 . （四）对数函数的综合应用1、已知函数，（1）若为奇函数，求的值；（2）若在（-1，5内有意义，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，判断并证明的单调性解：（1） ；（2）（3）当时，f(x)在定义域上为减函数由，得f(x)定义域为（1，），令 ， ，即在(1,a)为减函数2、解（）因为，由，得所以的定义域关于原点对称又因为所以函数是奇函数（）当时，则的定义域为，设则 因为，所以即，所以故，所以函数是减函数当时，同上可得，函数是增函数（）因为，且，所以（）所以探究与交点个数，即探究方程在上根个数亦即方程在上根的个数令，因为对称轴，由得或，又，当时，则，方程有一个实根当时，则，方程无实根当时，则，方程无实根3、已知函数()是偶函数（1）求k的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围. (1) 因为为偶函数，所以，即 对于恒成立.于是恒成立,而x不恒为零，所以. (2) 由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.因为任取、R，且，则，从而.于是，即，所以在上是单调减函数.因为，所以.所以b的取值范围是 (3) 由题意知方程有且只有一个实数根令，则关于t的方程(记为(*)有且只有一个正根.若a=1，则，不合, 舍去；若，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.由或3；但，不合，舍去；而；方程(*)的两根异号综上所述，实数的取值范围是 4. 已知函数，（，且）（1）求函数的定义域；（2）求函数的值为正数的的取值范围5. 已知函数（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）判断并证明函数的单调性6. 函数,，关于的方程在上有解，则的取值范围为_7. 已知函数，其中且.（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）对于函数，当时，求实数m的取值范围；（3）当时，的值恒为负数，求实数a的取值范围.8. 设函数的定义域区间为,其中.() 求的长度(注:区间的长度定义为);() 判断函数的单调性,并用单调性定义证明;() 给定常数,当时,求区间长度的最小值.解：（）由，得， 2分。 1分（）在上是增函数，在上是减函数， 1分设，则2分， 2分在上是增函数 1分同理可证，在上是减函数 1分（）， 1分由（）可知，在上是增函数，在上是减函数的最小值为中较小者； 2分2分的最小值为 1分9. 已知函数，其中，若是奇函数（1）求的值并确定的定义域；（2）判断函数的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围10. 已知且，函数，记（1）求函数的定义域及其零点；（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.（1）（且） ，解得，所以函数的定义域为令，则（*），即 解得， 经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为所以函数的零点为. （2）（）设，则函数在区间上是减函数当时，此时，所以若，则，方程有解；若，则，方程有解11. 设,其中且,若在区间上有恒成立，求实数的取值范围. 12. 已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的解析式. 解（1）由，得.由得. 因为，所以，.由得. （2）当x1,2时，2-x0,1，因此. 13. 已知函数（1）求函数的定义域；定义域为；时，定义域为（2）若在上有意义，求实数的取值范围. 14. 已知函数（1）若的两个零点为，且满足，求实数的取值范围；（2）若函数存在最值，求实数的取值范围. 15. 图1是定义在R上的二次函数的部分图象，图2是函数的部分图象 (1)分别求出函数和的解析式；(2)如果函数在区间上单调递减，求的取值范围.16. 设，为常数）当时，且为上的奇函数（1）若，且的最小值为，求的表达式；（2）在（1）的条件下，在上是单调函数，求实数的取值范围解：由得, 3分若，则无最小值 要使取最小值为0，必须，,当，则， 又， 又 ， (2)，令，则，13分当，或，或时，为单调函数综上所述：实数的取值范围是或17. 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）证明点C、D和原点O在同一直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.18. 函数，且），若都是正实数，判断与的大小，并加以证明. 变式：对于任意，若函数，判断与的大小，并加以证明.18. 若，为常数，且（）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；（）设为两实数，且,若.求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）19. 已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）当时，函数的值域是，求实数与的值. 20. 已知函数.（1）如果，求函数的值域；（2）求函数的最大值；（3）如果对中的任意，不等式恒成立，求实数的取值范围三、幂函数（Power Function）1. 已知幂函数在上为减函数，则实数 2. 若，则使函数的定义域为R，且在（，0）上单调递增的值为 3. 已知幂函数的图象过点，若函数在上是减函数，则的取值范围 4. 已知函数为偶函数，且，(1) 求的值，并确定的解析式； 1(2) 当时，讨论在2，3上的单调性；增(3) 若在2，3上为增函数，求实数的取值范围.5. 若幂函数的定义域为，则实数的值为 6. 点都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是.又在轴上的射影分别为，记的面积为，的面积为.（1）求和的表达式；（2）比较和的大小，并证明你的结论.7. 若，则的取值范围是_. 8. 函数是幂函数，当时，是减函数，则实数的取值集合为_.9. 对幂函数（1）当时，图象恒过_和_两点；其中当时，幂函数的图象在图象的_方；当时，幂函数的图象在图象的_方.（2）当时，图象恒过_和_两点；其中当时，幂函数的图象在图象的_方；当时，幂函数的图象在图象的_方.（3）当时，图象恒过_点. 10. 已知函数，.（1）证明函数是奇函数，并求的单调区间；（2）分别计算和的值，由此概括出涉及函数和的所有不等于0的实数恒成立的一个等式，并加以证明. 11函数 的图象和的图象的交点个数是_ 个.12. 已知函数.（1）判断函数的零点个数；（2）若函数的零点在区间上，求的值答：（1）2个；（2）或.13. 已知幂函数yxm22m3(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足的a的范围解：，解得：14. 若幂函数的图像不经过原点，则实数的值为 .1或215. 已知的图像在上单调递增，则不等式的解集为 . 16. 四、函数的应用（一）函数与方程1. 求“方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解类比上述解题思路，方程的解集为 1，2解：（*）构造函数，易得函数在定义域R上单调递增，则（*）式方程可写为2. 已知不等式ax25xb0的解集为x|3x2，求不等式6x25xa0的解集3. 关于x的不等式ax2bx256,满足要求；当,解得: 因此接受能力56及以上的时间是分钟,小于12分钟. 所以老师不能在所需的接受能力和时间状态下讲述完这个难题 . 15分3. 某市居民自来水收费标准如下：当每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.8元；当用水超过4吨时，超过部分