填空题的解题方法与技巧.doc

第2讲填空题的解题方法与技巧题型特点概述填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样，属于客观性试题它只要求写出结果而不需要写出解答过程在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等不同省份的试卷所占分值的比重有所不同1填空题的类型填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写2填空题的特征填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”填空题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容 (既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫3解填空题的基本原则解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是 “巧做”解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等解题方法例析题型一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法例1 在等差数列an中，a13,11a55a813，则数列an的前n项和Sn的最小值为_思维启迪：计算出基本量d，找到转折项即可 解析设公差为d，则11(34d)5(37d)13，d.数列an为递增数列令an0，3(n1)0，n，nN*.前6项均为负值，Sn的最小值为S6.答案探究提高 本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值变式训练1 设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7_.解析方法一S749.故填49.方法二由可得a716213.S749.故填49.题型二特殊值法特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效例2 已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin Asin B，则C_.思维启迪 题目中给出了ABC的边和角满足的一个关系式，由此关系式来确定角C的大小，因此可考虑一些特殊的三角形是否满足关系式，如：等边三角形、直角三角形等，若满足，则可求出此时角C的大小解析容易发现当ABC是一个等边三角形时，满足sin Asin B，而此时C60，故角C的大小为60.答案60探究提高 特殊值法的理论依据是：若对所有值都成立，那么对特殊值也成立，我们就可以利用填空题不需要过程只需要结果这一“弱点”，“以偏概全”来求值在解决一些与三角形、四边形等平面图形有关的填空题时，可根据题意，选择其中的特殊图形(如正三角形、正方形)等解决问题此题还可用直接法求解如下：由sin Asin B可得ab，整理得，a2c2abb2，即a2b2c2ab.由余弦定理，得cos C，所以C60.变式训练2 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则_.解析方法一取特殊值a3，b4，c5，则cos A，cos C0，.方法二取特殊角ABC，cos Acos C，.例3 如图所示，在ABC中,AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且2,过点K的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn_.思维启迪：题目中过点K的直线是任意的，因此m和n的值是变化的，但从题意看mn的值是一个定值，故可取一条特殊的直线进行求解解析当过点K的直线与BC平行时，MN就是ABC的一条中位线(2，K是AO的中点)这时由于有m，n，因此mn2，故mn4.答案4探究提高 本题在解答中，充分考虑了“直线虽然任意,但mn的值却是定值”这一信息，通过取直线的一个特殊位置得到了问题的解,显得非常简单,在求解这类填空题时，就要善于捕捉这样的有效信息,帮助我们解决问题变式训练3 设O是ABC内部一点，且2，则AOB与AOC的面积之比为_ 1_解析采用特殊位置，可令ABC为正三角形，则根据2可知，O是ABC的中心，则OAOBOC，所以AOBAOC，即AOB与AOC的面积之比为1.题型三图象分析法(数形结合法)依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确的答案事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既浅显易懂，又能节省时间利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容例4 已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|的值等于_思维启迪：考虑到原方程的四个根，其实是抛物线yx22xm与yx22xn和x轴四个交点的横坐标，所以可以利用图象进行求解。解析如图所示，易知抛物线yx22xm与yx22xn有相同的对称轴x1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.因为xA，则xD.又|AB|BC|CD|，所以xB，xC.故|mn|.探究提高 本题是数列问题，但由于和方程的根有关系，故可借助数形结合的方法进行求解，因此在解题时，我们要认真分析题目特点，充分挖掘其中的有用信息，寻求最简捷的解法变式训练4 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x),且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)m(m0)，在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_ -8_.解析因为定义在R上的奇函数，满足f(x4)f(x)，所以f(4x)f(x)因此，函数图象关于直线x2对称且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数又因为f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间2,0上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3,x4，不妨设x1x2x3x4.由对称性知x1x212，x3x44，所以x1x2x3x41248.函数yf(x)的图象如图所示，其定义域为4,4，那么不等式0的解集为_4，)(，0)，)_解析0或在给出的坐标系中，再作出ysin x在4,4上的图象，如图所示,观察图象即可得到所求的解集为4，)(，0)，)探究提高 与函数有关的填空题，依据题目条件，灵活地应用函数图象解答问题，往往可使抽象复杂的代数问题变得形象直观，使问题快速获解变式训练5 不等式（|x|- ）sin x0，x-,2的解集为 .解析 在同一坐标系中分别作出y=|x|- 与y=sin x的图象：根据图象可得不等式的解集为：题型四等价转化法将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模式通过转化，使问题化繁为简、化陌生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果例6 设函数f(x)，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)f(x2)f(x3)，则x1x2x3的取值范围是_思维启迪：将问题转化为ym与yf(x)有三个不同的交点，再研究三个交点的横坐标之和的取值范围解析本题可转化为直线ym与函数f(x)的图象有三个交点,yx24x6在0,)的最小值为f(2)2，故2m0，由于yx24x6的对称轴为x2,则x1x24，令3x42，得x，则x30，故4x1x2x304，即x1x2x3的取值范围是(，4)答案(，4)探究提高 等价转化法的关键是要明确转化的方向或者说转化的目标本题转化的关键就是将研究x1x2x3的取值范围问题转化成了直线ym与曲线yf(x)有三个交点的问题，将数的问题转化成了形的问题，从而利用图形的性质解决变式训练6 已知关于x的不等式0的解集是(,1)(，)，则a的值为_解析将0转化为(x1)(ax1)0,其解集是(,1)(，)，当且仅当x是方程ax10的解，得a2.题型五构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决例7 函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.思维启迪：直接求f(x)的最大值、最小值显然不可取化简f(x)1，构造新函数g(x)利用g(x)的奇偶性求解解析根据分子和分母同次的特点，分子展开，得到部分分式，f(x)1，f(x)1为奇函数，则m1(M1)，Mm2.探究提高 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解变式训练7 已知函数f(x)sin xcos x3，若f(lg a)4，则f(lg )的值等于_解析f(x)sin xcos x3sin 2xtan x3，若令g(x)sin 2xtan x，则g(x)是一个奇函数由f(lg a)4,得g(lg a)34,g(lg a)1.于是g(lg )=g(lg a)g(lg a)1，故f(lg )g(lg )3132.例8 已知a、b是正实数，且满足abab3，则ab的取值范围是_思维启迪：考虑到已知条件中出现了两个正数a和b的乘积ab以及和ab，可与一元二次方程的根联系起来构造方程进行求解解析a、b是正实数且abab3，故a、b可视为一元二次方程x2mxm30的两个根，其中abm，abm3.要使方程有两个正根，应有解得m6，即ab6，故ab的取值范围是6，)变式训练8 若抛物线yx2ax2总在直线y3x1的下方，则实数a的取值范围是_解析构造不等式，依题意知，不等式x2ax20在R上恒成立故(3a)240，即a26a50，解得1a0，UA 1，n，则m2n2_.解析由UA1,n,知A(，1)(n,)，即不等式0的解集为(,1)(n，),所以n1,m1，因此m1，n1，故m2n22.2在各项均为正数的等比数列an中，若a5a69，则log3a1log3a2log3a10_.解析特殊化法：尽管满足a5a69的数列有无穷多，但所求结果应唯一的，故只需选取一个满足条件的特殊数列a5a63，则公比q1就可以了原式log3(3333)log331010.3在数列an中，若a11，an12an3(n1)，则该数列的通项an_.解析由an12an3，则有an132(an3)，即2.所以数列an3是以a13为首项、公比为2的等比数列，即an342n12n1，所以an2n13.4设非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，则cosa，b_.解析设正三角形ABC中，a，b，c，所以与的夹角为120，所以cosa，bcos 120.5设等差数列an，bn的前n项的和分别为Sn与Tn，若，则_.解析因为等差数列的前n项和公式为Sna1nn2(a1d)n，故可设Sn2nn，Tn(3n1)n，则可得an4n2，bn6n2，.6ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，m()，则实数m_.解析(特殊值法)当B90时,ABC为直角三角形,O为AC中点AB、BC边上高的交点H与B重合，m1.7(2010湖南)若数列an满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m的个数为an*，则得到一个新数列(an)*例如，若数列an是1,2,3，n，则数列(an)*是0,1,2，n1，.已知对任意的nN*，ann2，则(a5)*_，(an)*)*_.解析由(an)*的定义知，要求(a5)*只需寻找满足am5的m的个数即可由于1215,2245，故(a5)*2.an1,22,32，n2，(a1)*)*1，(a2)*)*422，(a3)*)*932，(an)*)*n2.8直线ykx3k2与直线yx1的交点在第一象限，则k的取值范围是_解析因为ykx3k2，即yk(x3)2，故直线过定点P(3，2)，而定直线yx1在两坐标轴上的交点分别为A(4,0)，B(0,1)如图所示，求得k0，anan1，于是an是等差数列，故an1(n1).14已知f(x)xlog2，则f(1)f(2)f(3)f(8)的值为_解析由于f(x)xl