数系的扩充和复数的概念(合成).ppt

第三章数系的扩充与复数的引入 3 1 1数系的扩充和复数的概念 问题提出 1 数的概念产生和发展的历史进程 N Q R R 数系每次扩充的基本原则 第一 增加新元素 第二 原有的运算性质仍然成立 第三 新数系能解决旧数系中的矛盾 3 唯物辨证法认为 事物是发展变化的 事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力 由于实数的局限性 导致某些数学问题出现矛盾的结果 数学家们预测 在实数范围外还有一类新数存在 还有比实数集更大的数系 问题提出 数系的扩充和复数的概念 1 由得 这与矛盾的原因是什么 方程x2 x 1 0无实根 2 方程x2 x 1 0无实根的根本原因是什么 1不能开平方 问题探究 3 我们设想引入一个新数 用字母i表示 使这个数是 1的平方根 即i2 1 那么方程x2 x 1 0的根是什么 问题提出 4 若x4 1 利用i2 1 则x等于什么 1 1 i i 问题提出 5 满足i2 1的新数i显然不是实数 称为虚数单位 根据数系的扩充原则 应规定虚数单位i和实数之间的运算满足哪些运算律 乘法和加法都满足交换律 结合律 乘法对加法满足分配律 问题探究 6 设a R 下列运算正确吗 问题探究 1 虚数单位i与实数进行四则运算 可以形成哪种一般形式的数 a bi a b R 2 把形如a bi a b R 的数叫做复数 全体复数所成的集合叫做复数集 记作C 那么复数集如何用描述法表示 C a bi a b R 问题探究 3 复数通常用字母z表示 即z a bi a b R 这一表示形式叫做复数的代数形式 其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部 那么复数z 3i的实部和虚部分别是什么 实部为 虚部为 3 问题探究 4 两个实数可以相等 两个复数也可以相等 并且规定 a bi c di a b c d R 的充要条件是a c且b d 那么a bi 0的充要条件是什么 a b 0 问题探究 5 对于复数z a bi a b R 当b 0时 z为什么数 由此说明实数集与复数集的关系如何 当b 0时z为实数 实数集R是复数集C的真子集 问题探究 6 对于复数z a bi a b R 当b 0时 z叫做虚数 当a 0且b 0时 z叫做纯虚数 那么虚数集与纯虚数集之间如何 纯虚数集是虚数集的真子集 问题探究 7 复数集 实数集 虚数集 纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示 实数 虚数 问题探究 8 两个实数可以比较大小 一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗 虚数不能比较大小 复数的代数形式 通常用字母z表示 即 其中称为虚数单位 复数a bi 例1实数m取什么值时 复数z m 1 m 1 i分别是实数 虚数和纯虚数 当m 1时 z是纯虚数 典例讲评 当m 1时 z是实数 当m 1时 z是虚数 练习1设复数z lg m2 2m 2 m2 3m 2 i 试求实数m取何值时 1 z是纯虚数 2 z是实数 例2设x y R 并且 2x 1 xi y 3 y i 求x y 解题总结 复数相等的问题 转化 求方程组的解的问题 一种重要的数学思想 转化思想 练习设复数z1 x y x 3 i z2 3x 2y yi 若z1 z2 求实数x y的值 x 9 y 6 典例讲评 1 将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要 到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论 形成一个独立的数学分支 课堂小结 2 虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾 并将实数集扩充到了复数集 它使得任何一个复数都可以写成a bi a b R 的形式 课堂小结 3 复数包括了实数和虚数 实数的某些性质在复数集中不成立 如x2 0 若x y 0 则x y等 今后在数学解题中 如果没有特殊说明 一般都在实数集内解决问题 课堂小结 变式练习 1 若方程 m 2i x 2 mi 0至少有一个实数根 试求实数m的值 2 已知不等式 3m i 10 4m 3 i 试求实数m的值 误点警示 虚数不能比较大小 3 1数系的扩充和复数的概念 3 1 2复数的几何意义 1 虚数单位i的基本特征是什么 1 i2 1 2 i可以与实数进行四则运算 且原有的加 乘运算律仍然成立 复习巩固 2 复数的一般形式是什么 复数相等的充要条件是什么 a bi a b R 实部和虚部分别相等 3 复数集 实数集 虚数集 纯虚数集之间的关系如何 实数 虚数 复习巩固 复数的代数形式 通常用字母z表示 即 其中称为虚数单位 复数a bi 4 实数与数轴上的点一一对应 从而实数可以用数轴上的点来表示 这是实数的几何意义 根据类比推理 复数也应有它的几何意义 因此 探究复数的几何意义就成为一个新的学习内容 提出问题 复数的几何意义 1 在什么条件下 复数z惟一确定 给出复数z的实部和虚部 2 设复数z a bi a b R 以z的实部和虚部组成一个有序实数对 a b 那么复数z与有序实数对 a b 之间是一个怎样的对应关系 一一对应 问题探究 3 有序实数对 a b 的几何意义是什么 复数z a bi a b R 可以用什么几何量来表示 复数z a bi a b R 可以用直角坐标系中的点Z a b 来表示 问题探究 用直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面 x轴叫做实轴 y轴叫做虚轴 形成结论 一般地 实轴上的点 虚轴上的点 各象限内的点分别表示什么样的数 实轴上的点表示实数 虚轴上的点除原点外都表示纯虚数 各象限内的点表示虚部不为零的虚数 形成结论 1 用有向线段表示平面向量 向量的大小和方向由什么要素所确定 有向线段的始点和终点 2 用坐标表示平面向量 如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段 以原点为始点 向量的坐标对应的点为终点画有向线段 问题探究 3 在复平面内 复数z a bi a b R 用向量如何表示 以原点O为始点 点Z a b 为终点的向量 问题探究 4 复数z a bi a b R 可以用向量表示 向量的模叫做复数z的模 记作 z 或 a bi 那么 a bi 的计算公式是什么 问题探究 5 设向量a b分别表示复数z1 z2 若a b 则复数z1与z2的关系如何 规定 相等的向量表示同一个复数 6 若 z 1 z 1 则复数z对应复平面内的点的轨迹分别是什么 单位圆 单位圆内部 问题探究 例1已知复数对应的点在直线x 2y 1 0上 求实数m的值 典例讲评 例2若复平面内一个正方形的三个顶点对应