电磁场与电磁波理论基础 曹建章 张正阶 李景镇 编著(第2章答案).pdf

X Y Z ra O 2 r sin d dq q j j q 题 2 1 图 s r s r d 1 E E E E 2 E E E E 3 E E E E 高 斯 面1 高 斯 面2 高 斯 面3 题 2 2 图 1 0 0 4S 2 0 4 0S 4 0 0P o X Y Z 1 r r r r 2 r r r r r r r r 1 R R R R 2 R R R R 1 8qC 2 4qC 题 2 3 图 第二章第二章静电场静电场习题解答习题解答 2 1 已知半径为ra 的导体球面上分布着面电荷密度为 0cosSS 的电荷 式中的 0S 为常数 试计算球面 上的总电荷量 解取球坐标系 球心位于原点中心 如图所示 由 球面积分 得到 2 2 0 0 0 cossin SS S QdSrd d 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 cossin cos sin sin20 S S S rd d rd d ad 2 2 两个无限大平面相距为d 分别均匀分布着等面电荷密度的异性电荷 求两平面外及 两平面间的电场强度 解对于单一均匀带电无限大平面 根据对称性 分析 计算可得上半空间和下半空间的电场为常矢 量 且大小相等方向相反 由高斯定理 可得电场大 小为 0 2 S E r e 对于两个相距为的d无限大均匀带电平面 同样 可以得到 122313 EE EE EE 因此 有 123 0 2 S EEE r e 2 3 两点电荷 1 8Cq 和 2 4Cq 分别位于4z 和 4y 处 求点 4 0 0 P处的电场强度 解根据点电荷电场强度叠加原理 P 点的电场强 度矢量为点 S1和 S1处点电荷在 P 处产生的电场强度的 矢量和 即 1122 33 0102 44 qq RR pepe RRRRRRRR E rE rE rE r X Y Z o 1 0 0Sa 2 0 0Sa q 2q P x y z r r r r 1 r r r r 2 r r r r 2 R R R R 1 R R R R 题 2 7 图 式中 22 111 4440044 2 xz R RrreeRrreeRrreeRrree 22 222 4440044 2 xy R RrreeRrreeRrreeRrree 代入得到 33 0 0 4 44 8 441 4 4 24 2 1 2 32 2 xy xz xyz eeeeeeee eeeeeeee E rE rE rE r eeeeeeeeeeee 2 7 一个点电荷 q位于 a 0 0 处 另一点电荷 2q位于 a 0 0 处 求电位等于零的 面 空间有电场强度等于零的点吗 解根据点电荷电位叠加原理 有 12 012 1 4 qq u RR r r r r 式中 11 2 22 1 xyz xay Rxayz RrreeeRrreeeRrreeeRrreee 22 2 22 2 xyz xay Rxayz RrreeeRrreeeRrreeeRrreee 代入得到 22 22 0 22 12 4 xayzxayz q ur r r r 电位为零 即令 2 0 2 2222 12 0 4 xayzxayz q ur r r r 简化可得零电位面方程为 22 33330 xaxayz 根据电位与电场强度的关系 有 X Y Z 0u 2 cos a uA o ar 题 2 9 图 33 2 22 2222 22 2222 2 2 0 33 22 33 2 2 22222 2 4 2 2 xyz x y xayzxayz xayzxayz xay uuu u xy zxayz z q xaxa yy zz E rreeeE rreeeE rreeeE rreee e e e e e e e e z e e e e 要是电场强度为零 必有 000 xyz E E E 即 33 22 33 22 22 2222 22 2222 22 33 222222 20 20 20 xaxa yy zz xayzxayz xayzxayz xayzxayz 此方程组无解 因此 空间没有电场强度为零的点 2 9 电场中有一半径为a的圆柱体 已知圆柱内 外 的电位为 2 0 cos ua a uAa 求 1 圆柱体内 外的电场强度 2 这个圆柱是 由什么材料构成的 表面有电荷吗 解 1 根据电位与电场强度的关系式 1 z uuu u z EeeeEeeeEeeeEeee 得到 22 22 1cos1si 0 n a aa Aa u A E E E E EeeEeeEeeEee 0 x d X 0 U O d 题 2 11 图 2 由于圆柱体是等位体 且圆柱内电场为零 判断材料是导体 有根据电位边界条件 12 12S uu nn 而 0 2cos a a u a u Aa 所以 00 2cos S A u 2 11 两无限大平行板电极 距离为d 电位分别为 0 和U0 两板间充满电荷密度为 0 x d 的介质 如 图所示 求两极板间的电位分布和极板上的电荷密 度 解由于两无限大平板间存在电荷密度分布 电 位函数满足泊松方程 又平板沿 Y 和 Z 方向无穷大 电位分布与 x 和 z 无关 因此 有 0 2 2 00 V x d d u dx 且满足边界条件 0 0 0 x x d u uU 求解二阶常微分方程 得到 3 0 12 0 1 6 uxc xc d r e 应用边界条件 有 2 0 00 01 0 00 6 x x d u c Ud uU c d 所以 2 0 3 000 0 00 0 01 0 00 1 66 6 x x d u c Ud uxxU ddd uU c d 根据电位满足的边界条件 X Y Z o r 20 V e l dr 题 2 15 图 12 12S uu nn 可得在下极板上表面的电荷密度分布为 12 12 0 S x uu xx 下 下极板导体中的电位为零 有 2 0 u x 代入 得到 0 2 000001 0 0 0 0 662 S x x UUu x xd d d d d 下 对于上极板 导体中的电位为常数 10 uU 有 1 0 u x 上极板下表面电荷密度为 2 0 000 0 3 S x dx d Ud d uu xx 上 2 15 空 间 某 区 域 中 的 电 荷 密 度 在 柱 坐 标 系 中 为 20 V e C m3 应用高斯定理求电通密度 D D D D 解根据题意知 电荷密度分布与 z无关 因此场 分布具有柱对称性 电通密度矢量 D D D D 仅有e e e e 分量 由高斯定理 V SV ddVDSDSDSDS 取圆柱面为高斯面 有 22 00 0 20ed dldlD 2 0 0 2 2 4022 20 2 el l dDdl e 2 20 222e D 2 17 在真空中放置一无限长线电荷密度为 l的细金属棒 证明在径向距离上的两点 1 2 X Y Z r l 题 2 17 图 之间的电位差为 2 01 ln 2 l U 解首先计算无限长带电金属棒在空间任一点产生的电 场 由于线电荷分布无限长 电通密度矢量仅有径向分量 且 在同一圆柱面上电通密度矢量的大小相等 根据高斯定理 有 2 l S dDll DSDSDSDS 由此得到电通密度矢量 2 l r r pr DeDeDeDe 而电场强度为 0 2 l r r pe r e e e e 根据电位的定义 在径向选择一点 0 r为参考点 则有 002 121 2 1 12 2 001 ln 22 ll Uuuddd d ElElElElElElElElElElElEl eeeeeeee 2 25 如图所示 电荷Q距离两无限大接地直角平面 XY 平面的垂直距离为d 距离 XZ 平 面的垂直距离也是d 利用镜像法求任一点P 0 y z 的电位和电场 解两个半无限大导体平面间的夹角 0 90a 0 0 360 4 90 n 则所需镜像电荷数为 3 首先 移去沿 Z 轴放置的导体平板 在00y z的空间填充 0 e的介质 并在与放置 Q 对称的位置上放置等量异号电荷 Q 如图所示 其次 移去 Y 轴放置的导体板 在0z与 0X区域的电位分布 为了求解电位分布 应用电位叠加原理 把电位 分布看作是由如题 2 28 图 a 和 b 两个电位分布 的叠加 对于题 2 28 a 两平行板之间的电位 有 0 1 U uy b 对于题 2 28 图 b 所示的两板间的电位分布 首先列出边界条件为 22 0 2 0 2 0 0 20 0 00 0 yy b x x y d x dy b u u u U uy d uU 根据边界条件 22 0 00 yyb u u 可知电位沿 Y 方向应取如下形式 sin n Y yy b p 根据边界条件 2 0 x u 可取电位沿 X 方向变化为 n x b X xe p 由此可设薄片的电位分布为 Y X b 0 uU 0u Y X b d 0 U uy d 0u 0u 0 uU a b 题 2 28 图 2 1 sin n x b n n n uBye b 则两平板间0X 区域的电位是 1 u和 2 u的叠加 即 0 12 1 sin0 n x b n n Un uuuyBye x bb 在0 x 的分界面上 电位满足 00 1 sin0 n n UUn yyBy yd dbb 0 0 1 sin n n Un UyBy dyb bb 为了确定系数 n B 上两式两边乘以sin m y b p 并从 0 到 b 积分 得到 00 1 00 sinsinsin dd n n UUmnm yydyByydy dbbbb 0 0 1 sinsinsin bb n n dd Umnm UyydyByydy bbbb 两式相加 并利用积分式 sinsin sinsin 22 mn zmn z nzmzdzC mnmn 有 2 000 0 00 sinsinsin dbb n d UUUnnn yydyUyydyBydy dbbbbb 利用积分式 2 11 sinsin2 24 zdzzzC 有 0 0 2 0 0 2 2 0 2111 sin1sin 2 sincoscos 1 sincos 2 sin