指数函数与对数函数专项训练.doc

指数函数与对数函数专项训练【例题精选】：例1：如果指数函数与对数函数在各自的定义域内的增减性是相反的，即为增函数，为减函数；或为减函数，为增函数，那么的取值集合是。解析：本题考查指数函数、对数函数的概念和性质，依题意有或或因此的取值集合为。答案：。例2：函数与在同一坐标系中的图象只可能是（）解析：这里要注意的图象和图象的关系，它们是关于轴对称的，因此，的图象，当时为如下图（1）所示，当时为如下图（2）所示。由此容易得，本题应选A。答案：A。例3：比较大小，并说明理由：（1）；（2）（3）与解：（1）函数在上是增函数，又0 0.95 0.96（2）函数在上是减函数，又，（3）由，得，又当时，有，并且函数在上是增函数， 2303（2）由于，（3），由于，故即于是有。小结：对于指数和底数均不相同的幂形数比大小，本例介绍了三种常用方法：转化成同底数或同指数（如上（1）；以特殊值（常用0或1）为中介，间接比大小（如上（2）；用比较法（如上（3）。例5：当时，试比较与的大小，并说明理由。解：用比较法：，故，。又当当。小结：本题还用到了分类讨论的思想，要体会为什么讨论，讨论什么？例6：已知函数。（1）求的定义域和值域；（2）利用函数单调性定义，证明在区间上是增函数；（3）求的反函数。解：（1）由，得的定义域为，值域为R。（2）任取，由函数上是减函数又函数上是减函数，即在上是增函数（3）由的反函数是小结：本例有一定综合性，要注意表述中的严谨。例7：已知的减函数，则的取值范围是（）A（0，1）B（1，2）C（0，2）D答案：B。解析：本题作为选择题，用排除法求解较简，由于这里虽然有，故在0，1上定为减函数，依题设必有，故应排除A和C，在B、D中要作选择，可取，则已知函数为，但是此函数的定义域为，它当然不可能在区间0，1上是减函数，故又排除了D，从而决定选B。在复习过程中，选择题的特殊解法是要研究的，但还要研究多种解法，不仅可以在方法上丰富自己，还可以复习到许多深入的东西，例如本例求解中，就要涉及到两条重要知识：复合函数的单调性由函数和的单调性决定的规律；任何一个函数的任一个单调区间必然是这个函数定义域的子区间。本例其他解法，同学们不妨自己作点探讨。例8：设函数，其中是实数，又用M表示集合。（1）求证：当对所有实数都有意义；反之，如果对所有实数都有意义，则。（2）当时，求函数的最小值。（3）求证：对每一个，函数的最小值都不小于1。（1）证明：当时，则，于是有对任意成立，当时，对所有实数都有意义。反之，如果对所有实数都有意义，那么，对任意，都有 0即又，于是有。（2）解：由（1）有，当时，的定义域为R。并且当时，的最小值为。又函数上是增函数，当有最小值，为。（3）证明：当时，则有，即。当且仅当时，即，故时，上式“”处等号成立。又在上是增函数，于是的最小值指数方程和对数方程【例题精选】：例1：解方程：（1）；（2）（3）解析：以上三题均指数方程，指数方程求解，只限于简单的特殊的情形，此三题又代表了三种基本类型和三种基本方法。解：（1）原方程可化为，即，或原方程的解集为。（2）原方程可化为或（舍去）原方程的解集为2。（3）把原方程两边同取常用对数，得或原方程的解集为小结：解简单指数方程的三种基本方法是同底比较法；换元法和取对数法。例2：方程的实根个数为（）A0B1C2D3解析：用求出方程的解，再数其个数的方法这里不行了，只能利用函数图象用数形结合法。原方程利用图象变换，在同一坐标系中画出这两个函数的图象如左图，由于它们有两个公共点，故本题应选C。 答案：C。例3：已知，试求使方程：有解的的取值范围。解：原方程 由（2）可得 (3)当知方程（3）无解，故此时原方程也无解；当时，方程（3）的解为，代入（1）中，得，即（变换时用到了），解之，得，因此，当时，原方程有解。小结：上述求解过程体现了等价变换思想与分类讨论思想的结合。【专项训练】：（90分钟）一、选择题：1、已知集合，并且集合，那么集合A的个数是（）A4B16C32D无穷多个2、设I为全集，A、B均非空集合，且，那么下列集合中表示空集的是（）ABCD3、下列函数中，值域是的是（）ABCD4、函数的图象（）A关于轴对称B关于轴对称C关于原点对称D关于直线对称5、下列函数中是偶函数且又在上是减函数的是（）ABCD6、把函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位后得到图形，又关于原点对称的图形是，那么对应的函数式是（）ABCD7、的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分条件也非必要条件8、二次函数对任意都有，那么下列关系中成立的是（）ABCD的大小关系不确定9、如果，那么（）ABCD10、已知定义在R上的偶函数上是增函数，且，则满足的的取值范围是（）ABCD二、填空题：11、函数的定义域是。12、函数的递减区间是。13、函数的反函数是。14、方程的解集是。15、若函数对任意都有，则的取值范围是。16、函数的值域为，那么它的定义域为。三、解答题：17、利用函数单调性定义，证明函数在（0，1）上是增函数。18、求函数的定义域。19、已知是函数的反函数，且，都有意义，试比较2与4的大小，并说明理由。20、如图所示，长方形ABCD中，上分别取E、F，使AB，的面积和为S。（1）求的表达式和该函数定义域；（2）求的最小值。答案：一、选择题：1、B2、D3、D4、C5、C6、C7、B8、B9、B10、D二、填空题：11、1，2）12、13、14、10，1015、（1，+）16、三、解答题：17、任取则又函数上是增