数列、极限、数学归纳法专项训练.doc

第六章 数列、极限、数学归纳法专项训练【例题精选】：1、通过观察、归纳写出数列的通项公式。例1：写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）（2）（3）2，0，2，0；（4）5，55，555，5555。分析：（1）分子1，3，5，7是等差数列；分母2，4，8，16是等比数列，并注意各项符号的变化，可得。（2）将数列改写成（3）（4），所以小结：仅仅给出数列的前项、它的通项公式可能不是唯一的，如题中第（2）问。2、根据递推关系式与初始项写出数列的前项。例2：在数列，求数列的前5项。解：3、由数列的前项和，求通项。例3：已知数列的前项和如下，分别求出它的通项公式：（1）（2）解：（1）当 当 （2）当 当 在式中，因此由与可知数列的通项公式是小结：要准确掌握数列的前项和的关系式：例4：已知数列的前项和，那么下述结论正确的是（）A为任意实数时，是等比数列B=1时，是等比数列C=0时，是等比数列D不可能是等比数列分析：给出（为常数），可由求出通项来进行判断。当时,由式时,代入式得。所以当=1时，数列成等比数列，故选B。答案：B。等差数列、等比数列专项训练【例题精选】：例1：（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分且必要条件D既不充分又不必要条件分析：由成等比数列，若其中有等于零者，不成等比数列，故选B。答案：B。例2：求证：若数列成等差数列，则数列是等比数列；若各项均为正的数列成等比数列，则数列是等差数列。证明：因为是等差数列，所以。 数列是等比数列。由数列是各项为正数的等比数列，得 数列成等差数列。例3：已知数列是等比数列，如果且，那么的值等于（）A8B16C32D48分析：等比数列的基本量是，把已知条件用基本量表示答案：B。小结：用方程思想解等差、等比数列问题，首先要抓好基本量。例4：设是等差数列，求等差数列的通项。分析：由等差数列的通项公式，欲表示其通项，要通过解方程组求出。解：设等差数列的公差为，则代入已知条件，整理得解这个方程组得。例5：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。分析：本题求四个数，且给出了四个条件，设四个未知数列四个方程，再去求解是可行的，为了减少解方程中消元的麻烦，也可以利用条件减少未知数的个数，怎么使用条件，方法也不唯一，下面写出较简捷的一种解法。解：设四个数依次为由已知，消去解得 所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1。小结：设未知数、列方程、解方程是用方程解数列问题的重要环节，本例说明，应充分使用已知条件，减少所设未知数的个数，为解方程创造条件。例6：共有项的等差数列前四项的和为26，后四项的和为110，且所有项和为187，则=。解法一：设此等差数列首项为，公差为，依题意：得，代入得解法二：利用等差数列性质：在等差数列中， 得，代入得小结：本题在解法一中列出三个方程，但含有四个未知数，分析方程间的联系，利用求出=34，整体代入则可求，这种方法，可称为“设而不解，整体代入”。由例3至例6说明，运用方程的思想解等差，等比问题的三个要点：抓好基本量；掌握好设未知数、列方程、解方程三个环节；“设而不解、整体代入”简化计算。例7：设是由正数组成的等比数列，且，的值是（）A5B10C20D40分析：由等比数列的性质得， 答案：C。例8：已知一个等差数列，它的前项和为25，前2项和为100，则它的前3项和为（）A125B200C225D275分析：本题可以列方程求解，若利用等差数列性质和特殊值法十分简捷。令，由等差中项，可求得125，所以。答案：C。例9：某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3个小时，这种细菌由1个可以繁殖为（）A511个B512个C1023个D1024个分析：依题意，经过3小时共分裂9次，若。答案：B。例10：某城市现有人口20万，人均住房面积为8，计划经过4年后人均住房达10，如果该市将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市每年平均至少要新增住房面积多少万？（结果以万为单位，保留两位小数。）解：依题意，4年后该城市人口为：设每年平均新增住房d万，则4年后该城市有住房，2084 d4年后人均住房面积为10，则解得（万）答：每年应新增住房面积至少12.03万。例11：已知数列是递减的等差数列，且，试求这个数列前多少项和最大，并求这个最大值。解法一：设等差数列的首项为，公差为，则由题意有由于是递减数列，有这个数列前14项和最大，最大值是。解法二：由解法一，已知由由于成立的最大自然数，使最大，即这个数列前14项和最大，最大值是287。例12：已知等差数列的首项是2，前10项之和是15，记+，求及的最大值。分析：由已知可求出公差，数列是给定的，解好本题的关键是：对“”这一数学表式的认识：是数列的子数列；其项数2，4，8，组成等比数列；则是这一子数列的前项和，认识到上述三点，则问题不仅较易解决，而且从不同角度入手可得求最大值的不同解法。解：由已知：解得 求的最大值有以下三种解法：解法一：由令。即在数列中，。所以当时，An的值最大，其最大值为：。解法二：数列的通项令的最大值为4。由此可得解法三：由An=，若存在自然数，使得，则最大。解得有最大值。小结：上述三种求最值的方法都是运用函数思想。解法一，是通过数列的单调性及值的正负，求子数列的前项和的最值。解法二，是直接研究子数列。解法三是研究的单调性求其最值。【专项训练】：（90分钟）一、选择题：1、若数列的前项和满足条件，那么是（）A公差为2的等差数列B公比为2的等比数列C公比为的等比数列D既不是等差数列也不是等比数列2、在等差数列中，公差,且,则（）A120B145C150D1703、等差数列的前三项依次为，那么这数列的通项公式是（）AB3C1D14、若是等差数列，则由下面关系确定的数列也是等差数列的是（）ABCD5、一个各项均为正数的等比数列，其任意一项都等于它后面紧接着的两项之和，那么其公比的取值集合是（）ABCD6、已知是等比数列，且的值等于（）A5B10C15D207、已知是等差数列,且,则方程的根的情况是（）A有两相等实根B有两不等实根C有两共轭虚根D不能断定根的情况8、设等比数列的前（）A63B66C69D729、已知数列中，那么使取最大值的自然数的值为（）A23B24C25D2610、已知，为各项都大于零的等比数列，公比，则（）ABCD的大小关系不能由已知条件确定二、填空题：11、在数列中，。12、在数列中，。（以的式子表示）13、已知等差数列的公差的值是。14、等比数列中，则其前10项的积为15、设公差不为零的等差数列与递增的等比数列中，则数列中与相等的项是第项。三、解答题：16、设等比数列的前项和为，若17、3个数成等差数列，它们的和为6，如果把这3个数适当排列，它们也可以组成等比数列，求这3个数。18、等比数列中，且，又的值最大，求数列的公比的取值范围。19、某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产，人均粮食占有量）【答案】：一、选择题：1、D2、B3、B4、C5、D6、A7、A8、A9、B10、A二、填空题：11、2912、13