数学建模作业---购房贷款问题.doc

组员：王晓慧 09031312 吴云 09031413 蒋建芬 09031406购房贷款摘要随着我国改革开放的发展和人民生活水平的提高，人们越来越不满足于只是吃饱、穿暖，而是向更高的目标迈进，房子自然成了人们渴求的目标。另外，从某种意义上来说，人类文明的进程就是建筑和城市化的过程，从原始洞穴发展到现代摩天大厦，体现了人类的进步。人类对居所的投资，直接为劳动力的再生产提供了最基本的生活资料，从而直接为社会劳动生产力的延续与发展创造了物质载体。近几年，我国经济快速发展，社会传统的房屋卖买方式受到较大冲击而日趋缩萎，取而代之的银行按揭贷款买房成为新的购房趋势,并日渐盛行。这对现代社会的消费及生活所产生的积极意义与便利是不容抹杀。目前银行提供的贷款期限在一年以上的房屋贷款还款方式一般等额本息还款法、等额本金递减法，等额递增还款法，等额递减还款法，等比递增还款法，等比递减还款法。面对这些贷款还款方式，如何根据自己的现在及预期未来的收入情况，作出一个合理的还款方案，是每个打算贷款买房的人所必须认真考虑。在本次购房贷款问题中所列举的案例，李四夫妇计划向银行贷款30万元来买房，并以20年作为还请贷款的期限，在还款过程中，根据银行利率以及李四夫妇经济情况的改变，可采用等额本息还款，等额递增还款法等不同方式，考虑到这些因素，我们运用数学建模的方法，通过建立相关的购房贷款模型，结合实际情况对各种还款方式进行分析比较，从而得出最佳方案。关键词 : 购房贷款 等额本息还款 等额递增还款购房贷款问题李四夫妇计划贷款30万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的贷款利率是0.6%月。他们采用等额本息还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。 1. 在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计需要付多少利息？ 2. 在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付10年零7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？ 3. 如果在第4年初，银行的贷款利率由0.6%月调到0.5%月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的17年内将贷款还清，那么在第3年后，每月的还款额应是多少？ 4. 又如果在第8年初，银行的贷款利率由0.5%月调到0.8%月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的13年内将贷款还清，那么在第7年后，每月的还款额应是多少？ 5. 银行调整利率以后，在贷款10年零7个月时，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付10年零7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？ 6. 李四夫妇发现银行提供了6种不同的还款方式:等额本息还款法:是指在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方法；等额本金递减法:是指在贷款期内每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减的还款方法；等额递增还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定增加额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；等额递减还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定减少额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；等比递增还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递增，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；等比递减还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递减，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法。 李四夫妇认为，随着他们工作经历的增长，家庭收入也会随着增长，因此，打算采用等额递增还款法的还款方式来偿还贷款，具体的办法是：每5年为一个时间段，后一个时间段比前一个时间段每月多还400元。在此情况下，如果贷款利率还是0.6%月，那么，第1个时间段的每月还款额是多少？以后各时间段的每月还款额又是多少？共计付了多少利息？在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付10年零7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？ 7. 在6提出的等额递增还款法方式下，在第4年初，银行的贷款利率由0.6%月调到0.5%月，又如果在第8年初，银行的贷款利率由0.5%月调到0.8%月，那么以后各时间段的每月还款额分别是多少？在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付10年零7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？ 8. 综合上述问题，请你们为李四夫妇（实际上是打算贷款购房的人）写一份短文，帮助他们分析各种方法的利弊一、 问题重述一对夫妇计划贷款30万元购买一套房子，在考虑到目前的经济情况和收支情况后，他们打算用20年的时间还清贷款。在这20年间，他们总体采用等额本息还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。 但随着银行带款利率的变动以及自身经济状况的改变，在还款年限不变的前提下，他们每月还款额将相应的发生变化；同时如果在一段时间后这对夫妇有能力还清剩余贷款时，我们要计算余下的贷款额确定还款额。 二、 问题分析李四夫妇贷款购买房子，在一定年限内必须还清贷款。在还款的过程中，制定的是按月还款。把连续性的问题离散化，所以我们根据差分方程对这一问题进行建模分析。问题一在银行利率不变的情况下，每月等额本息还款问题二在问题一的基础上，先是每月等额本息还款，然后一次性付清剩余贷款。问题三、四根据利率调整，分段考虑还款数额。问题五分段等额本息还款之后，一次性付清剩余贷款额问题六涉及等额递增还款和一次性付清问题七在问题六的基础上又考虑到银行利率变动的问题。三、 问题假设与记号假设：假设外界因素的影响不改变还款期限；假设货币价值在贷款期限内不受外界因素影响，即不会发生升值或贬值；假设在一定时间内，银行贷款利率固定不变，不受经济危机、通货膨胀、国家政策的影响；银行利息按复利计算； 记号：A(元)为贷款额（本金），n(月)为贷款期限，r为月利率(, , )，B（月）(,)为月均还款额，R(元)为总利息(, )，Ck为第k 个月还款后的欠款。四、 模型建立与求解1、模型建立离散变量=(1+r)-B= A ，=0 =-B1+(1+r)+=A-1,k=0,1,2解得每月还款额：B=A(1) 每月等额本息还款 B=A 利息等于还款总额减去贷款总额 =nB-A(2) 10年零7个月后一次性还清贷款 =A-1, k=127(3) 银行利率变动使得第三年后的等额还款B产生变动=A-1, k=36 =(4) 银行利率变动使得第七年后的等额还款B产生变动=A-1, k=36= -1, k=48=(5)在银行利率变动之后的的43个月以后，一次性付清余下贷款=A-1, k=36=-1, k=48 =-1, k=43(6)每五年为一个还款时间段，后一时间段比前一时间每月多还款400元设 b为第一阶段每月还款数额=A-1, k=60=-1, k=60=-1, k=60=-1, k=60=0 b 第一阶段每月还款b 第二阶段每月还款b+400 第三阶段每月还款b+800 第四阶段每月还款b+1200=60(4b+2400）-A=A-1,k=60=-1, k=60=-1, k=7(7)在第6题的基础上，第四年利率下降0.1个百分点，第八年利率又开始上升0.3个百分点，研究以后每个时间段的月还款额。 d为从第八至十年每月还款额，以后每五年递增=A-1, k=36= -1，k=24= - -1，k=24= -1，k=36= -1，k=60= -1，k=60=0 d =A-1, k=36= -1，k=24= -1，k=24=-1，k=36= -1，k=7 2. 求解：(1) 2362 266890(2) 193430(3) 2173(4) 2642(5) 196050(6) 1935.266 2335.266 2735.266 3135.266 308463.84 238630(7) 2413.425 2813.425 3213.425 221210五、计算Matlab(1) r1=0.006A=300000n=240B=(1+r1)n*r1*A/(1+r1)n-1 R1=B*n-A 文件名 F1.m(2) F1k=127r1=0.006A=300000C=A*(1+r1)k-B*(1+r1)k-1/r1 文件名F2.m(3) F1k=36r1=0.006r2=0.005A=300000C=A*(1+r1)k-B*(1+r1)k-1/r1B1=(1+r2)204 *r2*C/(1+r2)204-1 文件名F3.m(4) F3k1=48r3=0.008C1=C*(1+r2)k1-B1*(1+r2)k1-1/r2 B2=(1+r3)156*r3*C1/(1+r3)156-1 文件名F4.m(5) F4 k=43 C2=C1*(1+r3)k-B2*(1+r3)k-1/r3 文件名 F5.m (6) k=60A=300000r1=0.006b=1935.266C=A*(1+r1)k-b*(1+r1)k-1/r1C1=C*(1+r1)k-(b+400)*(1+r1)k-1/r1C2=C1*(1+r1)7-(b+800)*(1+r1)7-1/r1(7) b=1935.266r1=0.006r2=0.005k=36A=300000C1= A*(1+r1)k-b*(1+r1)k-1/r1C2= C1*(1+r2)24-b*(1+r2)24-1/r2C3= C2*(1+r2)36-(b+400)*(1+r2)36-1/r2 文件名F7.m F7.m d=2413.425 r3=0.008 C4= C3*(1+r3)36-d*(1+r3)36-1/r3C5= C4*(1+r3)7-(d+400)*(1+r3)7-1/r3六 模型的评价在用数学建模的思想建立购房贷款的模型时，主要应用了其中的差分方程建模的理论。差分方程反应的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。结合购房贷款中李四夫妇的例子来看，其中的还款方式主要涉及等额本息还款法，等额递增还款法。这里，等额本息还款法指的是在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方法；等额递增还款法则是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定增加额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法。当然案例中还包括由于银行贷款利率的上下波动以及贷款人经济状况的改变所引起的还款额的变动。通过建立差分方程的模型，我们进一步结合具体的数据进行计算。在对运算结果的比较、分析中，可以得出各种还款方法的利弊。结合问题1、2、7,我们发现，在分别采用等额本息还款法，等额递增还款法的情况下，对于前几个