数学学科考前提醒.doc

2011数学要点梳理（一）集合、逻辑用语、函数知识要点1、区分集合中元素：（1）设集合，集合N，则_ _；（2）设集合，则_2、条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况如：，如果，求的取值范围。3、; CUA=x|xU且xA;真子集怎么定义？含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n1;如满足集合M有_个。4、CU(AB)=CUACUB; CU(AB)=CUACUB;5、AB=AAB=BABCUBCUAACUB=CUAB=U6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如:已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。7、原命题: ;逆命题: ;否命题: ；逆否命题: ；互为逆否的两个命题是等价的. 如：“”是“”的 条件。8、命题“p或q”的否定是“P且Q”，“p且q”的否定是“P或Q” 9、指数式、对数式：，当为奇数时，；当为偶数时，.，, ,; ; 如:的值为_10、二次函数(1)三种形式:一般式f(x)=ax2+bx+c(a0,顶点?);顶点式f(x)=a(x-h)2+k; 零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?); (2)区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数的定义域、值域都是闭区间，则 11、反比例函数:平移(中心为(b,a)12、对勾函数是奇函数, 13、单调性定义法;导数法. 如：已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是_； 已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。复合函数由同增异减判定.如:函数的单调递增区间是_。已知函数在上是增函数，则实数的取值范围.14、奇偶性：f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|); f(x)是奇函数f(-x)=-f(x); 定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。 15、周期性。由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：函数满足，则是周期为2的周期函数；若恒成立，则；若恒成立，则.如如:（1）已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有_个实数根 (2) 设是上的奇函数，当时，则等于_；(3)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_；16、常见的图象变换函数的图象是把函数的图象沿轴向左或向右平移个单位得到的。如:要得到的图像，只需作关于_轴对称的图像，再向_平移3个单位而得到；函数的图象与轴的交点个数有_个函数+的图象是把函数助图象沿轴向上或向下平移个单位得到的；如:将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么 函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。如:（1）将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_；（2）如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的.17、函数的对称性。满足条件的函数的图象关于直线对称。如:已知二次函数满足条件且方程有等根，则_； 点关于轴的对称点为 ；函数关于轴的对称曲线方程为 ；点关于轴的对称点为 ；函数关于轴的对称曲线方程为 ； 点关于原点的对称点为 ；函数关于原点的对称曲线方程为 ； 点关于直线的对称点为 ；曲线关于直线的对称曲线的方程为 。若f(ax)f(b+x),则f(x)图像关于直线x=对称;两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x=对称。提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如:函数,求证：函数的图像关于点成中心对称图形。曲线关于点的对称曲线的方程为。如:若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则_如:（1）作出函数及的图象；（2）函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于_ _对称 18.几类常见的抽象函数 ：正比例函数型： -；幂函数型： -，；指数函数型： -，； 对数函数型： -，；三角函数型： - 。如:已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，最小正周期为T，则 19、题型方法总结判定相同函数:定义域相同且对应法则相同求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：）。如:已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。（2）代换（配凑）法已知形如的表达式，求的表达式。如:（1）已知求的解析式；（2）若，则函数=_；（3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，那么当时，=_. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。（3）方程的思想对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。如:（1）已知，求的解析式；（2）已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= 。求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;复合函数.如：若函数的定义域为，则的定义域为_；若函数的定义域为，则函数的定义域为_求值域: 配方法：如：求函数的值域；逆求法（反求法）：如：的值域。换元法：如:（1）的值域为_ _；（2）的值域为_ _三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；如：的值域 ；不等式法利用基本不等式求函数的最值。如:设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是_。单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如求，的值域为_数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如:（1）已知点在圆上，求及的取值范围；（2）求函数的值域 ；导数法;分离参数法;如:求函数，的最小值。用2种方法求下列函数的值域：； 20.任意定义在R上函数f（x）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f（x）其中g（x）是偶函数，h（x）是奇函数O 1 2 3 xy利用一些方法（如赋值法（令0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如:（1）若，满足，则的奇偶性是_；（2）若，满足，则的奇偶性是_；（3）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式_；（4）设的定义域为，对任意，都有，且时，又，求证为减函数；解不等式.22、导数应用:过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数过点作曲线的切线，求此切线的方程。 研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f/(x)0得增区间;解不等式f/(x)0得减区间;注意f/(x)=0的点; 如：设函数在上单调函数，则实数的取值范围_；求极值、最值步骤:求导数;求的根;列表检验在根左右两侧符号,得极值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如：（1）函数在0，3上的最大值、最小值分别是_；（2）已知函数在区间1,2 上是减函数，那么bc有最_ _值为_ _（3）方程的实根的个数为 特别提醒：（1）对可导函数而言，是极值点的充要条件是点两侧导数异号；0是为极值点的什么条件呢？（2）给出可导函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，这一点一定要切记！如：函数处有极小值10，则a+b的值为_ _（二）立体几知识要点1、熟悉特殊几何体的内涵如：正棱柱、正棱锥2、位置和符号空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法直线与平面: a、a=A (a) 、a平面与平面:、=a例：给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题：则与m不共面；、m是异面直线，；若；若，则。其中真命题是 （填序号）例：已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： 其中正确命题的序号是 3、了解空间角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角。4、常用定理:线面平行;线线平行:;面面平行:;线线垂直:;所成角900； 线面垂直:;面面垂直：二面角900; ;平面解析几何、平面向量知识要点1、倾斜角0,),=900斜率不存在; a90，斜率k=tan=2、直线方程:点斜式 yy1=k(xx1);斜截式y=kx+b; 两点式:; 截距式:(a0; b0); 一般式: Ax+By+C=0求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解, 直线Ax+By+C=0的方向向量为=(B,-A)3、两直线平行和垂直若斜率存在l1: y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2则l1l2k1k2,b1b2; l1l2k1k2= -1若l1:A1x+B1y+C10,l2:A2x+B2y+C20，则l1l2A1A2+B1B20; 平行或相交A1B2-A2B10(验证) 若A1、A2、B1、B2都不为零l1l2 ；l1l2则化为同x、y系数后距离d= ； 点线距d=;4、圆:标准方程(xa)2+(yb)2=r2; 一般方程: x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)参数方程:; 直径式方程(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0 5、若(x0-a)2+(y0-b)2r2),则 P(x0, y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内(上、外) 6、直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt解决弦长问题，又:r相离; d=r相切; dr+R两圆相离; dr+R两圆相外切; |Rr|dr+R两圆相交;d|Rr|两圆相内切; db0); 参数方程 定义:=e2c e=,a2=b2+c2 长轴长为2a，短轴长为2b 10、双曲线: 方程(a,b0) 定义:=e1; |PF1|-|PF2|=2a2c e=, c2=a2+b2四点坐标？x,y范围? 渐进线或; 焦点到渐进线距离为b; 11.抛物线: 方程y2=2px 定义:|PF|=d准 顶点为焦点到准线垂线段的中点;x,y范围?焦点F(,0),准线x= -, 焦半径;焦点弦x1+x2+p; 通径2p, 焦准距12、平面向量两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数（1）向量式：ab(b0)a=b； （2）坐标式：ab(b0)x1y2x2y1=0。两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),（1）向量式：ab(b0)ab=0； （2）坐标式：abx1x2+y1y2=0。设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则，ab=x1x2+y1y2;其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；平面向量数量积的坐标表示：（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;；（2）若a=(x,y),则a2=aa=x2+y2,注、重要提醒：1、设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k不存在的情况2、在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.3、 直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式以及各种形式的局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线）4、 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. 直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以设为，但不要忘记当a=0时，直线y=kx在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等5、 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式.一般来说，前者更简捷6、 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.7、 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.8、 在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？9、 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.10、椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形（a，b，c）11、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.三角知识要点1、三角函数的有关概念：. 弧长公式？扇形面积公式？ 1弧度(1rad)=度. 如：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2）、任意角的三角函数的定义？理解任意角三角函数的定义，知道各象限三角函数值的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦。什么叫正弦线、余弦线、正切线？借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚吗？如：； 由三角函数线，我们很容易得到函数，和的单调区间；2、三角部分需要掌握的公式：. 同角三角函数的基本关系式？.三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：3. 在已知三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗？（先判定角的范围，再求出某一个三角函数值） 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：（1）角的变换:和差、倍角公式、异角化同角、单复角互化；（2）名的变换：切割化弦；（3）次的变换：降幂公式；（4）形的变换：通分、去根式、1的代换4.三角函数的图象和性质：、正弦函数和余弦函数的图象？、正弦函数、余弦函数的性质？包括定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性。对称性（包括对称轴和对称中心）、形如的函数：（1）几个概念：A振幅；频率（周期的倒数）；相位；初相；（2）“五点法”作函数 的图象（3）由图象求解析式观察A以及特殊点，一般由图象可知周期，由周期求。由某特殊点，相应求初相；也可利用图象上的一点是“五点”中的第几点求出。（4）研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。、正切函数的图象和性质；求三角函数值、最值： 化为，利用正、余弦函数的有界性；一般利用换元法，如y=msinxcosx+n(sinx+cosx)型，化为关于sinx或cosx的基本函数，利用基本初等函数的性质求解； 求导 数形结合5、三角形中的三角函数 1、基础知识：正弦定理、余弦定理、正弦面积定理。 2、解题思想方法：将已知条件转化为统一的边或角的关系式再处理 分析三条边，三个角六个元素，合理选择正余弦定理。 数列、不等式知识要点数列的概念及表示方法（）定义：按照一定顺序排列着的一列数（）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法（3）与的关系：2等差数列和等比数列的比较（）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列（）递推公式：（）通项公式：（）性质的比较：3.等差数列的主要性质：单调性：时为递增数列，时为递减数列，时为常数列若，则特别地，当 时，有 成等差数列4. 等比数列的主要性质：单调性：当或时，为递增数列；当，或时，为递减数列；当时，为摆动数列；当时，为常数列若，则特别地，若，则 ，当时为等比数列；当时，若为偶数，不是等比数列若为奇数，是公比为的等比数列如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种？ 基本量方法：抓住及方程思想；利用等差（等比）数列性质）.等差、等比数列的重要性质你记得吗？5不等式的解集、定义域、值域都应写成集合或区间的形式6解不等式：分式不等式 注意等号；对数不等式注意真数大于零；绝对值的不等式可平方或分类讨论去绝对值。7利用基本不等式求最值特别注意三相等：看取等号的自变量的值在不在允许的范围内？不在结合导数利用单调性。题：已知，且，则的最小值为 。（）8代数论证时有如下放缩的方法：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式