第二章 控制系统的数学模型.pdf

控制工程基础控制工程基础控制工程基础控制工程基础 第第二二章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 1 第章第章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 同济大学 赵治国 副教授同济大学 赵治国 副教授 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 1 建立控制系统数学模型的目的建立控制系统数学模型的目的 用于对现存控制系统的研究用于对现存控制系统的研究 控制系统的数学模控制系统的数学模 用于对现存控制系统的研究用于对现存控制系统的研究 控制系统的数学模控制系统的数学模 型代表了对系统特性的认识 在对系统知道的更型代表了对系统特性的认识 在对系统知道的更 多时还可以修改和扩展模型多时还可以修改和扩展模型 多时还可以修改和扩展模型多时还可以修改和扩展模型 在实际系统尚不存在时 可以借助模型来预测设在实际系统尚不存在时 可以借助模型来预测设 计思想和不同控制策略的效果计思想和不同控制策略的效果 从而避免建造试 验系统所带来的费用浪费 以及由此所带来的危 从而避免建造试 验系统所带来的费用浪费 以及由此所带来的危 险 险 控制系统数学模型的建立对控制系统的研究控制系统数学模型的建立对控制系统的研究 分分 控制系统数学模型的建立对控制系统的研究控制系统数学模型的建立对控制系统的研究 分分 析 与设计 综合 具有重要意义 析 与设计 综合 具有重要意义 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 2 控制系统的数学模型内容控制系统的数学模型 内容 物理系统的动态描述 数学模型物理系统的动态描述 数学模型 建立系统数学模型的一般步骤建立系统数学模型的一般步骤 建立系统数学模型的一般步骤建立系统数学模型的一般步骤 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 传递函数传递函数 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 系统方块图及其变换系统方块图及其变换 系统方块图及其变换系统方块图及其变换 系统信号流图系统信号流图 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 3 系统信号流图系统信号流图 物理系统的动态描述 数学模型 1 物理系统的动态描述 数学模型 1 每一个自动控制系统都是由若干元件组成的 每个元件 在系统中都有各自的功能 它们相互配合 就构成了一 每一个自动控制系统都是由若干元件组成的 每个元件 在系统中都有各自的功能 它们相互配合 就构成了一 个完整的控制系统 共同实现对某个物理量 被控制量 的控制 而满足所要求的特定规律 个完整的控制系统 共同实现对某个物理量 被控制量 的控制 而满足所要求的特定规律 如果把控制系统中各物理量 变量 之间的关系用数学 表达式描述出来 就得到了此控制系统的 如果把控制系统中各物理量 变量 之间的关系用数学 表达式描述出来 就得到了此控制系统的数学模型数学模型 在静态条件下 即变量的各阶导数为零 描述各变量 之间关系的数学方程称为 在静态条件下 即变量的各阶导数为零 描述各变量 之间关系的数学方程称为静态模型静态模型 各变量在动态过程中的数学方程 称为各变量在动态过程中的数学方程 称为动态模型动态模型 在自 动控制系统的分析中 主要是研究动态模型 在自 动控制系统的分析中 主要是研究动态模型 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 4 物理系统的动态描述数学模型 2 物理系统的动态描述 数学模型 2 在自然界里 许多物理系统 无论是机械的 电气的 在自然界里 许多物理系统 无论是机械的 电气的 液压的液压的 还是气动的还是气动的 热力的热力的 都可以通过微分方程来都可以通过微分方程来液压的液压的 还是气动的还是气动的 热力的热力的 都可以通过微分方程来都可以通过微分方程来 加以描述 加以描述 在微分方程中 各变量的导数表示了它们随时间变化的 特性 如位移一阶导数表示速度 二阶导数表示加速度 在微分方程中 各变量的导数表示了它们随时间变化的 特性 如位移一阶导数表示速度 二阶导数表示加速度 等等 因此微分方程完全可以描述系统的动态特性因此微分方程完全可以描述系统的动态特性 等等 因此微分方程完全可以描述系统的动态特性因此微分方程完全可以描述系统的动态特性 微分方程微分方程是物理系统数学模型中最基本的一种是物理系统数学模型中最基本的一种 微分方程微分方程是物理系统数学模型中最基本的一种是物理系统数学模型中最基本的一种 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 5 物理系统的动态描述数学模型 3 物理系统的动态描述 数学模型 3 系统的数学模型可以用系统的数学模型可以用实验法实验法和和分析法分析法建立 建立 试验法试验法 对实际系统加入一定形式的输入信号对实际系统加入一定形式的输入信号 求取系统求取系统试验法试验法 对实际系统加入一定形式的输入信号对实际系统加入一定形式的输入信号 求取系统求取系统 的输出响应 然后对这些输入 输出数据进行处理 从而 获得系统的数学模型 的输出响应 然后对这些输入 输出数据进行处理 从而 获得系统的数学模型 分析法分析法 根据系统内部的变化机理 从元件或系统所依据 的物理或化学规律出发 建立数学模型并经实验验证 根据系统内部的变化机理 从元件或系统所依据 的物理或化学规律出发 建立数学模型并经实验验证 机械系统的牛顿定律 能量守恒定律 电学系统的基尔霍 夫定律等 都是建立系统数学模型所依据的基础 机械系统的牛顿定律 能量守恒定律 电学系统的基尔霍 夫定律等 都是建立系统数学模型所依据的基础 对系统的微分方程求解 就可以获得系统在外部控制作用 下的动态响应 对系统的微分方程求解 就可以获得系统在外部控制作用 下的动态响应 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 6 物理系统的动态描述数学模型 4 物理系统的动态描述 数学模型 4 同一个控制系统的数学模型可以有许多不同的形式 如对连 续系统 除了 同一个控制系统的数学模型可以有许多不同的形式 如对连 续系统 除了微分方程微分方程外 还有外 还有传递函数传递函数 频率特性频率特性等 等 各种数学模型之间可以互相转换 采用那种数学模型取决于 建立数学模型的目的和控制方法 各种数学模型之间可以互相转换 采用那种数学模型取决于 建立数学模型的目的和控制方法 对于一个具体的系统 其内部结构 元件参数 特性以及外对于一个具体的系统 其内部结构 元件参数 特性以及外 部干扰等部干扰等 总是错综复杂的总是错综复杂的 为了在分析系统中为了在分析系统中 既不包罗既不包罗部干扰等部干扰等 总是错综复杂的总是错综复杂的 为了在分析系统中为了在分析系统中 既不包罗既不包罗 万象 把系统数学模型搞得很复杂 又不忽略主要因素 而 失去系统的准确性 必须对系统有全面透彻的了解 万象 把系统数学模型搞得很复杂 又不忽略主要因素 而 失去系统的准确性 必须对系统有全面透彻的了解 一个合理的数学模型应当既能准确地反映系统的动态特性 又具有较简单的形式 一个合理的数学模型应当既能准确地反映系统的动态特性 又具有较简单的形式 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 7 物理系统的动态描述数学模型 5 物理系统的动态描述 数学模型 5 为了建立合理的数学模型 通常都进行一定的简化和线性 化 应当特别重视在建立数学模型过程中所作的 为了建立合理的数学模型 通常都进行一定的简化和线性 化 应当特别重视在建立数学模型过程中所作的假设假设 实际系统都在不同程度上存在非线性和分布参数特性实际系统都在不同程度上存在非线性和分布参数特性 如如 实际系统都在不同程度上存在非线性和分布参数特性实际系统都在不同程度上存在非线性和分布参数特性 如如 果这些因素对系统特性的影响不大时 可将其忽略不计 果这些因素对系统特性的影响不大时 可将其忽略不计 例如例如 例如例如 在低频工作时 可不计弹簧质量 导线的分布电容等 但在高频 工作时就不能忽略这些因素的影响 在低频工作时 可不计弹簧质量 导线的分布电容等 但在高频 工作时就不能忽略这些因素的影响 当工作点在磁化曲线或放大器特性的线性段时当工作点在磁化曲线或放大器特性的线性段时 可将它们看做线可将它们看做线 当工作点在磁化曲线或放大器特性的线性段时当工作点在磁化曲线或放大器特性的线性段时 可将它们看做线可将它们看做线 性的 但当工作点在大范围内变动超出线性段时 采用线性化的 模型就会带来较大误差 性的 但当工作点在大范围内变动超出线性段时 采用线性化的 模型就会带来较大误差 必须注意建立数学模型的前提条件和适用范围必须注意建立数学模型的前提条件和适用范围 否则可能否则可能 必须注意建立数学模型的前提条件和适用范围必须注意建立数学模型的前提条件和适用范围 否则可能否则可能 得出错误的结论 得出错误的结论 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 8 系统数学模型建立实例系统数学模型建立实例 电系统电系统 R L C串联电路串联电路电系统电系统 串联电路串联电路 机械系统机械系统 机械平移系统机械平移系统 机械系统机械系统 机械平移系统机械平移系统 机电系统机电系统 恒定磁场他励直流电动机恒定磁场他励直流电动机 机电系统机电系统 恒定磁场他励直流电动机恒定磁场他励直流电动机 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 9 RLC串联电路示意图串联电路示意图R L C串联电路示意图串联电路示意图 由电阻由电阻R 电感 电感L 电容 电容C组成的组成的R L C电路 输入量为电路 输入量为ur t 输出量为输出量为uc t 求该电路的微分方程求该电路的微分方程 数学模型数学模型 输出量为输出量为 c 求该电路的微分方程求该电路的微分方程 数学模型数学模型 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 10 RLC串联电路的数学模型R L C串联电路的数学模型 根据基尔霍夫定律 根据基尔霍夫定律 tututRi dt tdi L rC dtti C tuC 1 消去中间变量 消去中间变量 2 2 tutu dt tdu RC dt tud LC rC CC 此即此即R L C电路的数学模型电路的数学模型 输入输入 输出模型输出模型 它描述了它描述了 dtdt 此即此即R L C电路的数学模型电路的数学模型 输入输入 输出模型输出模型 它描述了它描述了 输入输入ur t 和输出和输出uC t 之间的动态关系 之间的动态关系 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 11 机械平移系统示意图机械平移系统示意图 由弹簧 质量 阻尼器组成的机 械平移系统 外力 由弹簧 质量 阻尼器组成的机 械平移系统 外力f t 为输入信为输入信 号号 位移位移 为输出信号为输出信号 列写列写号号 位移位移y t 为输出信号为输出信号 列写列写 其运动方程式 其运动方程式 k 弹簧的弹性系数 弹簧的弹性系数 m 运动部 运动部 件的质量件的质量 阻尼器的粘性摩擦阻尼器的粘性摩擦件的质量件的质量 阻尼器的粘性摩擦阻尼器的粘性摩擦 系数 系数 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 12 机械平移系统的特点机械平移系统的特点 在机械系统中 通常研究在机械系统中 通常研究力 或转矩 与位移 或角力 或转矩 与位移 或角 位移位移 的因果关系的因果关系 位移位移 的因果关系的因果关系 组成机械系统的基本元件有 组成机械系统的基本元件有 弹簧 或弹性轴 阻弹簧 或弹性轴 阻 尼器和运动部件尼器和运动部件 阻尼器是一种产生粘性摩擦阻力装置阻尼器是一种产生粘性摩擦阻力装置 所产生的阻力所产生的阻力 阻尼器是一种产生粘性摩擦阻力装置阻尼器是一种产生粘性摩擦阻力装置 所产生的阻力所产生的阻力 与运动速度成正比 阻尼器不储存能量 它将动能转与运动速度成正比 阻尼器不储存能量 它将动能转 化为热能消耗掉化为热能消耗掉 化为热能消耗掉化为热能消耗掉 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 13 机械平移系统的基本关系机械平移系统的基本关系 假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计 运动部件假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计 运动部件 的质量是集中参数的质量是集中参数 则运动部件产生的惯性力为则运动部件产生的惯性力为 的质量是集中参数的质量是集中参数 则运动部件产生的惯性力为则运动部件产生的惯性力为 2 2 1 dt yd mf 设弹簧的变形在弹性范围内 则弹性力为 设弹簧的变形在弹性范围内 则弹性力为 dt kf 阻尼器的阻尼力为阻尼器的阻尼力为 kyf 2 阻尼器的阻尼力为阻尼器的阻尼力为 dt dy f 3 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 14 机械平移系统的数学模型机械平移系统的数学模型 根据牛顿定律 根据牛顿定律 tftma 可得可得 ky dt dy f dt yd m 2 2 fky dt dy dt yd m 2 2 此即机械平移系统以外力此即机械平移系统以外力f f t t 为输入信号为输入信号 位移位移y y t t dtdtdtdt 此即机械平移系统以外力此即机械平移系统以外力f f t t 为输入信号为输入信号 位移位移y y t t 为输出信号的运动方程式 即数学模型为输出信号的运动方程式 即数学模型 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 15 相似系统相似系统 电系统和机械平移系统虽然是不同的物理系统 但它电系统和机械平移系统虽然是不同的物理系统 但它 们的微分方程却具有相同的形式们的微分方程却具有相同的形式 称为称为相似系统相似系统 们的微分方程却具有相同的形式们的微分方程却具有相同的形式 称为称为相似系统相似系统 相似系统的动态特性也相似 因此可以通过研究电路相似系统的动态特性也相似 因此可以通过研究电路 的动态特性研究机械系统的动态特性的动态特性研究机械系统的动态特性 的动态特性研究机械系统的动态特性的动态特性研究机械系统的动态特性 由于电子电路具有易于实现和变换结构等优点 因此由于电子电路具有易于实现和变换结构等优点 因此 常采用电子电路来模拟其它实际系统常采用电子电路来模拟其它实际系统 这种方法称为这种方法称为常采用电子电路来模拟其它实际系统常采用电子电路来模拟其它实际系统 这种方法称为这种方法称为 电子模拟技术电子模拟技术 通过数字计算机求解系统的微分方程通过数字计算机求解系统的微分方程 或状态方程或状态方程 通过数字计算机求解系统的微分方程通过数字计算机求解系统的微分方程 或状态方程或状态方程 来研究实际系统的动态特性 称为来研究实际系统的动态特性 称为计算机仿真技术计算机仿真技术 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 16 永磁他励直流电动机示意图永磁他励直流电动机示意图 u t 电枢电压 为控制输入 电枢电压 为控制输入 m t 作用在电动机轴上的总负载转矩作用在电动机轴上的总负载转矩 为扰动输入为扰动输入 ml t 作用在电动机轴上的总负载转矩作用在电动机轴上的总负载转矩 为扰动输入为扰动输入 t 电动机的转角 为输出量 电动机的转角 为输出量 假设电机轴上总转动惯 量 假设电机轴上总转动惯 量J是常数 各种机械是常数 各种机械 转矩全部归并到负载转转矩全部归并到负载转转矩全部归并到负载转转矩全部归并到负载转 矩中 传输轴是刚性轴 矩中 传输轴是刚性轴 电动机电枢电路的电阻电动机电枢电路的电阻 电动机电枢电路的电阻电动机电枢电路的电阻 电感全部归并到电枢总电感全部归并到电枢总 电阻电阻R 电感电感L中中 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 17 电阻电阻 电感电感 中中 永磁他励直流电动机的基本关系永磁他励直流电动机的基本关系 根据基尔霍夫定律 牛顿定律 直流电机特性 根据基尔霍夫定律 牛顿定律 直流电机特性 did d 2 iCueRi dt di L dt d Ce e l mm dt d J 2 iCm m R L 电枢回路总电阻和总电感 电枢回路总电阻和总电感 H i 电枢电流 电枢电流 A e 电动机反电势 电动机反电势 V u 电枢电压 电枢电压 V Ce 电势系数 电势系数 V s rad J 电动机轴上总转动惯量 电动机轴上总转动惯量 kg m2 m ml 电磁转矩 负载转矩 电磁转矩 负载转矩 N m Cm 转矩系数 转矩系数 N m A 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 18 m 永磁他励直流电动机的数学模型 1 永磁他励直流电动机的数学模型 1 方程联立求解方程联立求解 消去中间变量消去中间变量 方程联立求解方程联立求解 消去中间变量消去中间变量i e m 23 l m dm TKuK dd T d TT 电动机的机电时间常数电动机的机电时间常数 s 23 llmemlm m dt TKuK dtdt T dt TT RJ T 电动机的机电时间常数电动机的机电时间常数 s 电动机的电磁时间常数电动机的电磁时间常数 me m CC T L T 电动机的电磁时间常数电动机的电磁时间常数 s 电枢电压作用系数电枢电压作用系数 R T l K 1 电枢电压作用系数电枢电压作用系数 rad V s 负载转矩作用系数负载转矩作用系数 rad N m s e e C K R K 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 19 负载转矩作用系数负载转矩作用系数 rad N m s me m CC K 永磁他激直流电动机的数学模型 2 永磁他激直流电动机的数学模型 2 若系统的输出量为转速若系统的输出量为转速n r min 60 2 n dt d 则则 l l lmemlm m dt dm TKuKn dt dn T dt nd TT 2 2 KKKK 6060 式中 不同物理系统可以有相同形式的数学模型 不同物理系统可以有相同形式的数学模型 mmee KKKK 2 2 式中 同一系统如果所选的输入量 输出量不同时 数学模 型会不同 同一系统如果所选的输入量 输出量不同时 数学模 型会不同 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 20 建立系统数学模型的般方法建立系统数学模型的一般方法 由于控制系统是由各种功能不同的元件组成的 因此 要正确建立系统的运动方程式 首先必须研究系统中 由于控制系统是由各种功能不同的元件组成的 因此 要正确建立系统的运动方程式 首先必须研究系统中 各个元件的运动方程式 以及这些元件在控制系统中 相互联系时的彼此影响等 各个元件的运动方程式 以及这些元件在控制系统中 相互联系时的彼此影响等 在列写系统和各元件的运动方程式时 一般需将系统在列写系统和各元件的运动方程式时 一般需将系统 划分成若干环节以使问题简化划分成若干环节以使问题简化 划分成若干环节以使问题简化划分成若干环节以使问题简化 所谓环节 是指可以组成独立的运动方程式的某一部所谓环节 是指可以组成独立的运动方程式的某一部 分分 环节可以是一个元件环节可以是一个元件 也可能是一个元件的一部也可能是一个元件的一部分分 环节可以是一个元件环节可以是一个元件 也可能是一个元件的一部也可能是一个元件的一部 分或者由几个元件组成 分或者由几个元件组成 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 21 建立系统数学模型的般步骤 1 建立系统数学模型的一般步骤 1 分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系 确定 待研究系统的 分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系 确定 待研究系统的输入量输入量和和输出量输出量 将系统划分为将系统划分为单向环节单向环节 并确定各个环节的输入量和 并确定各个环节的输入量和 输出量输出量 所谓单向环节是指其后面的环节无负载效所谓单向环节是指其后面的环节无负载效输出量输出量 所谓单向环节是指其后面的环节无负载效所谓单向环节是指其后面的环节无负载效 应 即后面环节存在与否对当前环节的动态特性没有 影响 应 即后面环节存在与否对当前环节的动态特性没有 影响 根据支配系统动态特性的规律 从系统的输入端开始 依次列写组成系统 根据支配系统动态特性的规律 从系统的输入端开始 依次列写组成系统各环节的运动方程式各环节的运动方程式 组成联立方 组成联立方 程组程组 程组程组 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 22 建立系统数学模型的般步骤 2 建立系统数学模型的一般步骤 2 对联立方程组进行对联立方程组进行简化简化 线性化和增量化线性化和增量化 并消去中 并消去中 间变量间变量 得到只包含系统输入量和输出量的方程式得到只包含系统输入量和输出量的方程式 间变量间变量 得到只包含系统输入量和输出量的方程式得到只包含系统输入量和输出量的方程式 即系统的输出模型 即系统的输出模型 将该方程式化为标准形式将该方程式化为标准形式 即将与输入量有关的各项即将与输入量有关的各项 将该方程式化为标准形式将该方程式化为标准形式 即将与输入量有关的各项即将与输入量有关的各项 放在方程的右边 而与输出量有关的各项放在方程的放在方程的右边 而与输出量有关的各项放在方程的 左边左边 并将各导数项按降幂排列并将各导数项按降幂排列 左边左边 并将各导数项按降幂排列并将各导数项按降幂排列 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 23 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 工程实践中遇到的系统和元件的输入 输出特性或多 或少存在着非线性 例如 工程实践中遇到的系统和元件的输入 输出特性或多 或少存在着非线性 例如 放大器在大信号输入时输出出现饱和 放大器在大信号输入时输出出现饱和 磁化曲线有饱和磁滞回环磁化曲线有饱和磁滞回环 磁化曲线有饱和磁滞回环磁化曲线有饱和磁滞回环 齿轮传动中有间隙 齿轮传动中有间隙 为了便于研究 对非线性程度不严重的系统 总是尽 可能地将非线性数学模型转换成近似的线性模型 为了便于研究 对非线性程度不严重的系统 总是尽 可能地将非线性数学模型转换成近似的线性模型 直流他励发电机直流他励发电机自动平衡搜索车自动平衡搜索车 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 24 直流他励发电机示意图直流他励发电机示意图 Rf 励磁绕组的电阻 励磁绕组的电阻 Lf 励磁绕组的电感励磁绕组的电感 H Lf 励磁绕组的电感励磁绕组的电感 H Wf 激磁绕组的匝数 激磁绕组的匝数 励磁电压励磁电压 uf t 励磁电压励磁电压 V if t 励磁电流 励磁电流 A f eg t 发电机电枢电势 发电机电枢电势 V 气隙磁通气隙磁通 Wb 气隙磁通气隙磁通 Wb 发电机角速度 发电机角速度 rad s 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 25 直流他励发电机的基本关系直流他励发电机的基本关系 假设发电机的转速为恒值 且磁滞 涡流 漏磁效应假设发电机的转速为恒值 且磁滞 涡流 漏磁效应 忽略不计忽略不计 忽略不计忽略不计 根据基尔霍夫定律及发电机特性 有 根据基尔霍夫定律及发电机特性 有 d ffff u dt d WiR 1 Ke g f if 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 26 磁化曲线线性化 1 磁化曲线线性化 1 f if 描述的是如右图所示描述的是如右图所示 的磁化曲线的磁化曲线 它是非线性曲线它是非线性曲线 的磁化曲线的磁化曲线 它是非线性曲线它是非线性曲线 为获得非线性系统的线性化模型 为获得非线性系统的线性化模型 常采用常采用小偏差线性化方法小偏差线性化方法 或称小或称小常采用常采用小偏差线性化方法小偏差线性化方法 或称小或称小 增量线性化方法 增量线性化方法 假设发电机工作在某个平衡工作假设发电机工作在某个平衡工作 点附近时点附近时 各个变量相对于该点的各个变量相对于该点的点附近时点附近时 各个变量相对于该点的各个变量相对于该点的 值偏离得很小 在这个平衡工作点 附近可用切线近似代替曲线 值偏离得很小 在这个平衡工作点 附近可用切线近似代替曲线 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 27 磁化曲线线性化磁化曲线线性化 2 磁化曲线线性化磁化曲线线性化 2 设平衡工作点为设平衡工作点为P i 在在P的邻域内将的邻域内将 f i 展展 设平衡工作点为设平衡工作点为P if0 0 在在P的邻域内将的邻域内将 f if 展展 开成泰勒级数 开成泰勒级数 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 ffiffi ii di d ii di d ff 当 当 if if0 足够小时 可略去二阶以上各项 足够小时 可略去二阶以上各项 0 0 0 0 ff f ff f didi ff 发电机工作在发电机工作在P点处磁通的稳态值点处磁通的稳态值 Wb 0 20ff iiK 0 发电机工作在发电机工作在P点处磁通的稳态值点处磁通的稳态值 Wb if0 发电机工作在 发电机工作在P点处励磁电流的稳态值 点处励磁电流的稳态值 A K2 磁化曲线在平衡工作点磁化曲线在平衡工作点P处的斜率处的斜率 0 2 f i dt d K K2 磁化曲线在平衡工作点磁化曲线在平衡工作点P处的斜率处的斜率 小偏差线性化方法就是在平衡工作点附近的微小范围内 用该点处的切线代替曲线来获得近似的线性化模型 这里 小偏差线性化方法就是在平衡工作点附近的微小范围内 用该点处的切线代替曲线来获得近似的线性化模型 这里 与平衡工作点的位置有关与平衡工作点的位置有关 dt 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 28 K2与平衡工作点的位置有关与平衡工作点的位置有关 直流他励发电机的数学模型 1 直流他励发电机的数学模型 1 ffff u dt d WiR 1 Keg f if dt 0 20ff iiK 0 ff 021 21 0 2 ffgg gf iKKu R KK ee d de R KW 0210ff f gg f RdtR 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 29 直流他励发电机的数学模型 2 直流他励发电机的数学模型 2 公式 公式 021 21 0 2 ff f gg g f f iKKu R KK ee dt de R KW 令 令 ff fff uuu 0 fff ggg iRu eee 00 0 fgg g f uKe dt ed T eg0 K1 0 发电机工作在发电机工作在P点时电枢电势的稳态值点时电枢电势的稳态值 fff iii 0 g0 1 0 发电机工作在发电机工作在 点时电枢电势的稳态值点时电枢电势的稳态值 uf0 发电机工作在 发电机工作在P点时点时励励磁电压的稳态值 磁电压的稳态值 uf eg if uf eg if相对于平衡点处稳态值的微小增量相对于平衡点处稳态值的微小增量 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 30 f g f f g f相对于平衡点处稳态值的微小增量 相对于平衡点处稳态值的微小增量 直流他励发电机的数学模型 3 直流他励发电机的数学模型 3 经过简化经过简化 线性化线性化 增量化的直流他励电动机的数学模型增量化的直流他励电动机的数学模型 经过简化经过简化 线性化线性化 增量化的直流他励电动机的数学模型增量化的直流他励电动机的数学模型 g uKe ed T fggf uKe dt T f L KW T 21 工作点 工作点P处的微偏时间常数 处的微偏时间常数 s f f f f RR T 21 KK 21 工作点 工作点P处的微偏电压放大系数 处的微偏电压放大系数 Tf K 与磁化曲线在平衡工作点与磁化曲线在平衡工作点P处的斜率处的斜率K2有关有关 f g R KK K 21 Tf Kg与磁化曲线在平衡工作点与磁化曲线在平衡工作点P处的斜率处的斜率K2有关有关 简便模型 省略 简便模型 省略 g K de T 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 31 fgg g f uKe dt T 自动平衡搜索车自动平衡搜索车 M m 小车和摆的质量 小车和摆的质量 kg l 摆杆的长度 摆杆的长度 m u t 外作用力外作用力 N u t 外作用力外作用力 N z t 小车移动距离 小车移动距离 m t 摆杆相对于直立方向 的偏离角 摆杆相对于直立方向 的偏离角 rad 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 32 自动平衡搜索车说明 1 自动平衡搜索车说明 1 自动平衡搜索车由小车及倒置于自动平衡搜索车由小车及倒置于 其上的摆其上的摆 倒置摆倒置摆 组成组成 其上的摆其上的摆 倒置摆倒置摆 组成组成 它实际上是一个空间起飞助推器它实际上是一个空间起飞助推器 它实际上是一个空间起飞助推器它实际上是一个空间起飞助推器 的姿态控制模型 姿态控制的目的姿态控制模型 姿态控制的目 的是保持空间起飞助推器在垂直的是保持空间起飞助推器在垂直的是保持空间起飞助推器在垂直的是保持空间起飞助推器在垂直 位置上 因此控制系统的作用是 在施加控制作用 位置上 因此控制系统的作用是 在施加控制作用u t 后 使摆 后 使摆 直立不倒直立不倒 直立不倒直立不倒 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 33 自动平衡搜索车说明 2 自动平衡搜索车说明 2 为研究方便 假设小车与摆仅作平 面运动 摆杆质量 风力 摩擦等 为研究方便 假设小车与摆仅作平 面运动 摆杆质量 风力 摩擦等 略去不计略去不计 略去不计略去不计 摆的运动可看作由牵连运动 小车摆的运动可看作由牵连运动 小车 平移平移 和相对运动和相对运动 摆杆转动摆杆转动 的的平移平移 和相对运动和相对运动 摆杆转动摆杆转动 的的 合成 摆的水平运动为 合成 摆的水平运动为 z lsin 在垂直于摆杆的方向在垂直于摆杆的方向 摆的运动也摆的运动也 在垂直于摆杆的方向在垂直于摆杆的方向 摆的运动也摆的运动也 由两部分合成 一部分为小车平移 运动在该方向的投影 由两部分合成 一部分为小车平移 运动在该方向的投影zcos 另一 另一 部分为摆的圆周运动部分为摆的圆周运动l 部分为摆的圆周运动部分为摆的圆周运动l 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 34 自动平衡搜索车基本关系自动平衡搜索车基本关系 根据牛顿定律 沿水平方向 根据牛顿定律 沿水平方向 ulz d m zd M sin 22 u d ml d ml zd mM ulz dt m dt M sin cos sin 2 22 22 或 在垂直于摆杆方向 在垂直于摆杆方向 u dt ml dt ml dt mM sin cos 22 或 sincos 2 2 2 2 mg dt d mlz dt d m 式中 式中 g 重力加速度 重力加速度 m s2 dtdt 2012 9 16第二讲 控制系统的数学模型 1 35 自动平衡搜索车基本关系简化 1 自动平衡搜索车基本关系简化 1 在自动平衡搜索车的运动方程式中 有变量的乘积和三角在自动平衡搜索车的运动方程式中 有变量的乘积和三角 函数函数 非线性方程非线性方程 函数函数 非线性方程非线性方程 线性化线性化 假设假设摆只在垂直位置附近作微小的摆动摆只在垂直位置附近作微小的摆动 因为控因为控线性化线性化 假设假设摆只在垂直位置附近作微小的摆动摆只在垂直位置附近作微小的摆动 因为控因为控 制系统的目的在于使摆保持直立不倒 因此假设与实际情 况相符 制系统的目的在于使摆保持直立不倒 因此假设与实际情 况相符 闭环系统反馈的作用是力图抑制或消除偏差 因此可以认闭环系统反馈的作用是力图抑制或消除偏差 因此可以认 为为 d dt接近于零接近于零 从而可忽略微不足道的高次项从而可忽略微不足道的高次项 如如为为 d dt接近于零接近于零 从而可忽略微不足道的高次项从而可忽略微不足道的高次项 如如 2 d dt 2 d dt等 而保留 等 而保留 d dt项 项 2012