第七章 第六节 空间向量及其运算(理).doc

第七章 第六节 空间向量及其运算（理） 题组一空间向量的线性运算1.如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则()化简的结果为 ()A B CD解析：()()2.答案：C2如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ()Aabc B.abcC.abc Dabc解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，cc()abc.答案：A题组二空间中的共线、共面问题3.A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点是否共面_(共面或不共面)解析：(3,4,5)，(1,2,2)，(9,14,16)，设xy.即(9,14,16)(3xy,4x2y,5x2y)，从而A、B、C、D四点共面答案：共面4如图在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点求证：平面EFG平面AB1C.证明：设a，b，c，则(ab)，ab2，bc(bc)，bc2，.又EG与EF相交，AC与B1C相交，平面EFG平面AB1C.题组三空间向量数量积及应用5.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于()A2 B2 C2 D2解析：，22a2cosa2.答案：B6(2010长沙模拟)二面角l为60，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABAC，BD2a，则CD的长为 ()A2a B.a Ca D.a解析：ACl，BDl，,60，且0，0，|2a.答案：A7如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值解：设a，b，c，则两两夹角为60，且模均为1.(1)abc.|2(ab c)2|a|2|b|2|c|22ab2bc2ac36116，|，即AC1的长为.(2)bac.(bac)(ab)aba2acb2abbc1.|，|AC|，cos，.BD1与AC夹角的余弦值为.题组四空间向量及其运算的综合8.已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，O为原点，点A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b?解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)假设存在一点E满足题意，即t (t0)t (3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在点E，使得b，此时点E的坐标为(，)9如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADC90，3ADDC3，AB2，E是DC上的点，且满足DE1，连结AE，将DAE沿AE折起到D1AE的位置，使得D1AB60，设AC与BE的交点为O.(1)试用基向量，表示向量；(2)求异面直线OD1与AE所成角的余弦值；(3)判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直？并说明理由解：(1)ABCE，ABCE2，四边形ABCE是平行四边形，O为BE的中点().(2)设异面直线OD1与AE所成的角为，则cos|cos，|，()|21cos452cos45()21，| ，cos|.故异面直线OD1与AE所成角的余弦值为.(3)平面D1AE平面ABCE.证明如下：取AE的中点M，则，()|2()21cos450.D1MA