2006年考研数学二真题及答案.doc

精品文档2006年考研数学二真题一、 填空题（16小题，每小题4分，共24分。）(1) 曲线y=x+4sinx5x-2cosx的水平渐近线方程为_。【答案】y=15。【解析】limxx+4sinx5x-2cosx=limx1+4sinxx5-2cosxx=15故曲线的水平渐近线方程为y=15。综上所述，本题正确答案是y=15【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2) 设函数fx=1x30xsint2dt,x0,a,x=0在x=0处连续，则a=_。【答案】13。【解析】a=limx01x30xsint2dt=limx0sinx23x2=13.综上所述，本题正确答案是13【考点】高等数学函数、极限、连续初等函数的连续性(3) 反常积分0+xdx(1+x2)2=_。【答案】12。【解析】0+xdx(1+x2)2=limb+0bxdx(1+x2)2=limb+120bd1+x21+x22=12limb+(-11+x2)0b=12limb+1-11+b2=12综上所述，本题正确答案是12【考点】高等数学一元函数积分学反常积分(4) 微分方程y=y(1-x)x的通解为_。【答案】y=Cxe-x，C为任意常数。【解析】dyy=1-xxdx lny=lnx-lnex+lnC即y=Cxe-x，C为任意常数综上所述，本题正确答案是y=Cxe-x。【考点】高等数学常微分方程一阶线性微分方程(5) 设函数y=y(x)由方程y=1-xey确定，则dydxx=0=_。【答案】-e。【解析】等式两边对x求导得y=-ey-xeyy将x=0代入方程y=1-xey可得y=1。将x=0,y=1代入y=-ey-xeyy，得dydxx=0=-e.综上所述，本题正确答案是-e。【考点】高等数学一元函数微分学复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(6) 设矩阵A=21-12，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则B=_。【答案】2。【解析】BA=B+2E BA-E=2E B(A-E)=2E BA-E=22=4因为A-E=11-11=2，所以B=2。综上所述，本题正确答案是2。【考点】线性代数行列式行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理二、 填空题（714小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(7) 设函数y=f(x)具有二阶导数，且fx0,fx0，x为自变量x在点x0处的增量，y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若x0，则(A)0dyy (B)0ydy(C)ydy0 (C)dyy0【答案】A。【解析】【方法一】由函数y=f(x)单调上升且凹，根据y和dy的几何意义，得如下所示的图由图可得0dyfx0+fx0x,x0，于是fx0+x-fx0fx0x0,x0，即0dyy综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义(8) 设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则0xf(t)dt是(A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数(C)在x=0间断的奇函数 (D)在x=0间断的偶函数【答案】B。【解析】显然f(x)在任何有限区间a,b上都可积，于是Fx=0xf(t)dt连续，又因f(x)是奇函数，则Fx=0xf(t)dt是偶函数。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学函数、极限、连续函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性高等数学一元函数积分学积分上限的函数及其导数(9) 设函数g(x)可微，hx=e1+gx,h1=1,g1=2，则g(1)等于(A)ln3-1 (B)-ln3-1(C)-ln2-1 (D)ln2-1【答案】C。【解析】hx=e1+g(x)g(x).由h1=1,g1=2，得g1=lnh(1)g(1)-1=ln12-1=-ln2-1综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学一元函数微分学复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(10) 函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是(A)y-y-2y=3xex (B)y-y-2y=3ex(C)y+y-2y=3xex (D)y+y-2y=3ex【答案】D。【解析】因为y=C1ex+C2e-2x+xex是二阶常系数非齐次线性方程的解，故Y=C1ex+C2e-2x是对应的齐次方程的通解，y*=xex是非齐次方程的特解，因此r=1,r=-2是齐次方程特征方程的根，齐次方程应为y+y-2y=0，这样可排除A和B，又因为=1是特征方程的单根，因此非齐次项为fx=Aex,因此答案为D。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学常微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程(11) 设f(x,y)为连续函数，则04d01f(rcos,rsin)rdr等于(A)022dxx1-x2f(x,y)dy (B) 022dx01-x2f(x,y)dy(C)022dyy1-y2f(x,y)dx (D)022dy01-y2f(x,y)dx【答案】C。【解析】如图所示，显然是y型域，则原式=022dyy1-y2f(x,y)dx综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算(12) 设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且y(x,y)0。已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件x,y=0下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若fxx0,y0=0，则fyx0,y0=0(B)若fxx0,y0=0，则fyx0,y00(C)若fxx0,y00，则fyx0,y0=0(D)若fxx0,y00，则fyx0,y00【答案】D。【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。作拉格朗日函数Fx,y,=fx,y+x,y, 并记对应x0,y0的参数的值为0, 则Fxx0,y0,0=0Fyx0,y0,0=0, 即fxx0,y0+0xx0,y0=0fyx0,y0+0yx0,y0=0, 消去0得：fxx0,y0yx0,y0-fyx0,y0xx0,y0=0, 整理得：fxx0,y0=1yx0,y0fyx0,y0xx0,y0 (因为yx,y0),若fxx0,y00, 则fyx0,y00。综上所述，本题正确答案是D【考点】高等数学多元函数微积分学二元函数的极限(13) 设1,2,s均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是(A)若1,2,s线性相关，则A1,A2,As线性相关(B)若1,2,s线性相关，则A1,A2,As线性无关(C)若1,2,s线性无关，则A1,A2,As线性相关(D)若1,2,s线性无关，则A1,A2,As线性无关【答案】A。【解析】【方法一】因为1,2,s线性相关，故存在不全为零的数k1,k2,ks使得k11+k22+kss=0从而有A(k11+k22+kss)=A0=0即k1A1+k2A2+ksAs=0, 由于k1,k2,ks不全为0而是上式成立，说明A1,A2,As线性相关。【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有A1,A2,As=A(1,2,s)那么rA1,A2,Asr(1,2,s)因为1,2,s线性相关，有r1,2,ss从而rA1,A2,Ass, 故A1,A2,As线性相关。综上所述，本题正确答案是A【考点】线性代数向量向量组的线性相关与线性无关、向量组的秩(14) 设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行的B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记P=110010001，则(A)C=P-1AP (B)C=PAP-1(C)C=PTAP (D)C=PAPT【答案】B。【解析】按已知条件，用初等矩阵描述有B=110010001A, C=B1-10010001所以C=110010001A1-10010001=PAP-1。综上所述，本题正确答案是B【考点】线性代数矩阵矩阵的线性运算三、 解答题（1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）(15) （本题满分10分）试确定常数A,B,C的值，使得ex1+Bx+Cx2=1+Ax+o(x3)，其中o(x3)是当x0时比x3高阶的无穷小量。【解析】由泰勒公式知：ex=1+x22+x33+ox3则ex1+Bx+Cx2=(1+x22+x33+ox3)1+Bx+Cx2=1+B+1x+12+B+Cx2+16+12B+Cx3+ox3,=1+Ax+ox3比较等式两端同次幂的系数得B+1=A12+B+C=016+12B+C=0, 解得A=13, B=-23,C=16。【考点】高等数学函数、极限、连续泰勒公式(16) （本题满分10分）求arcsinexexdx.【解析】本题用到了几个常用的积分公式【方法一】令arcsinex=t, 则t=lnsint,dx=costsintdtarcsinexexdx=tsintcostsintdt=td1sint =-tsint+dtsint=-tsint-lncsct+cott+C =-arcsinexex-ln1ex-1-e2xex+C。【方法二】arcsinexexdx=-arcsinexde-x =-arcsinexex+11-e2xdx 令1-e2x=t, 则dx=-t1-t2dt11-e2xdx=dtt2-1=12ln1-t1+t+C,则arcsinexexdx=-arcsinexex+12ln1-1-e2x1+1-e2x+C【考点】高等数学一元函数积分学不定积分的计算(17) （本题满分10分）设区域D=(x,y)x2+y21,x0，计算二重积分I=D 1+xy1+x2+y2dxdy.【解析】本题需要用到二重积分的对称性，又因为积分区域为圆域的一部分，所以化为极坐标下的累次积分来求解。积分区域D如图所示，因为区域D关于x轴对称，函数fx,y=11+x2+y2是变量y的偶函数，函数gx,y=xy1+x2+y2是变量y的奇函数，则D 11+x2+y2dxdy=2D1 11+x2+y2dxdy=202d01rr2+1dr =ln22D xy1+x2+y2dxdy=0,y故D 1+xy1+x2+y2dxdy=D 11+x2+y2dxdy+D xy1+x2+y2dxdy=ln22。0D1x2+y2=1x1【考点】高等数学一元函数积分学不定积分的计算(18) （本题满分12分）设数列xn满足0x1,xn+1=sinxn(n=1,2,).(I)证明limnxn存在，并求该极限；(II)计算limnxn+1xn1xn2.【解析】本题数列是由递推关系给出的，通常用单调有界准则证明极限存在，并求出极限，第二问转化为函数的极限来求解。(I) 用归纳法证明xn单调减且有下界，由于sinxx,x0,则由0x1知，0x2=sinx1x1, 设0xn, 则0xn+1=sinxnxn. 所以xn单调减且有下界，故极限limnxn存在，记a=limnxn, 由xn+1=sinxn知a=sina所以，a=0, 即limnxn=0。(II) 由于limnxn+1xn1xn2=limnsinxnxn1xn2, 所以，考虑函数极限limx0(sinxx)1x2=limx0lnsinxxx2, 又limx0lnsinxxx2 =limx0ln(1+sinx-xx)x2=limx0sinx-xx2 =limx0cosx-13x2=limx0-12x23x2=-16, 则limx0(sinxx)1x2=e-16, 故limnxn+1xn1xn2=e-16。 【考点】高等数学函数、极限、连续极限的四则运算、单调有界准则(19) （本题满分10分）证明：当0abasina+2cosa+a.【解析】本题可构造函数，利用函数的单调性来证明。设fx=xsinx+2cosx+x x0,则fx=sinx+xcosx-2sinx+=xcosx-sinx+ fx=cosx-xsinx-cosx=-xsinxf=0 x(0,)因此，fx在0,上单调增，当0abf(a)即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a。【考点】高等数学函数、极限、连续基本初等函数的性质(20) （本题满分12分）设函数f(u)在(0,+)内具有二阶导数，且z=f(x2+y2)满足等式2zx2+2zy2=0(I)验证fu+f(u)u=0；(II)若f1=0,f1=1，求函数f(u)的表达式。【解析】本题主要考查复合函数偏导数的求解。设u=x2+y2, 则zx=fuxx2+y2,zy=fuyx2+y22zx2=fuxx2+y2xx2+y2+fux2+y2-x2x2+y2x2+y2,=fux2x2+y2+fuy2(x2+y2)32,2zy2=fuy2x2+y2+fux2(x2+y2)32,将2zx2,2zy2代入2zx2+2zy2=0得 fu+fuu=0。(II) 令fu=p, 则p+pu=0 dpp=-duu, 两边积分得：lnp=-lnu+lnC1, 即p=C1u, 即fu=C1u由f1=1可得 C1=1. 所以有 fu=1u, 两边积分得fu=lnu+C2,由f1=0可得 C2=0, 故fu=lnu。【考点】高等数学多元函数微积分学多元函数的偏导数(21) （本题满分12分）已知曲线L的方程为x=t2+1,y=4t-t2t0.(I)讨论L的凹凸性；(II)过点(-1,0)引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程；(III)求此切线与L(对应于xx0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积。【解析】确定凹凸性，也就是确定二阶导数的正负，要求切线方程，先求斜率。(I) 因为 dydx=y(t)x(t)=4-2t2t=2t-1所以 d2ydx2=ddt2t-1dtdx=-2t21xt=-1t3当t0时，d2ydx20, 则L在(x0,y0)的切线方程为：y-4t0-t02=(2t0-1)(x-t02-1)令x=-1,y=0, 得t02+t0-2=0, 解得t0=1或t0=-2(舍去)， 由t0=1知，切点为2,3, 切线方程为y=x+1(III) 令y=4t-t2, 得t1=0,t2=4, 对应曲线L与x轴的两个交点(1,0)和17,0, 由以上讨论知曲线L和所求的切线如图所示，故所求平面图形面积为：S=-12(x+1)dx-12ydx=92-01(4t-t2)d(t2+1) =92-014t-t22tdt=73.yx(17,0)(1,0)(2,3)(-1,0)L【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、平面曲线的切线和法线高等数学一元函数积分学定积分的应用(22) （本题满分9分）已知非齐次线性方程组x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1,ax1+x2+3x3+bx4=1有三个线性无关的解。(I)证明方程组系数矩阵A的秩rA=2；(II)求a,b的值及方程组的通解。【解析】本题主要考查含参数的非齐次线性方程组的求解问题。(I) 设1,2,3是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，那么1-2,1-3, 是Ax=0线性无关的解，所以n-rA2,即r(A)2,显然矩阵A中有2阶子式不为0, 又有rA2, 从而秩rA=2.(II) 对增广矩阵作初等行变换，有A=1111435-1a13b-1-1111110-11-501-a3-ab-a-13a+1 111101-15004-2ab+4a-5-1-34-2a.由题设和第