工程数学_概率统计简明教程_第二章_随机事件.ppt

第2章事件的概率 本章重点 理解事件频率的概念 了解概率的统计定义 3 理解概率的古典定义 会计算简单的古典概率 重点 2 熟悉关于排列与组合的基本知识 掌握求排列数与组合数的公式 返回 4 了解概率的公理化定义 掌握概率的基本性质 随机事件的频率Frequency A 出现正面 随机试验 抛掷一枚均匀的硬币 试验总次数n 将硬币抛掷n次 随机事件 事件A出现次数m 出现正面m次 随机事件的频率 抛掷硬币的试验Experimentoftossingcoin 历史纪录 随机事件A在相同条件下重复多次时 事件A发生的频率在一个固定的数值p附近摆动 随试验次数的增加更加明显 频率和概率 频率的稳定性 事件的概率 事件A的频率稳定在数值 说明了数值可以用来刻划事件 发生可能性大小 可以规定为事件A的概率 记为 对任意事件 在相同的条件下重复进行n次试验 事件 发生的频率m n 随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数p附近摆动 那么称p为事件 的概率 概率的统计定义 当试验次数足够大时 可以用事件A发生的频率近似的代替事件A的概率 排列组合有关知识复习 选排列从n个不同的元素中 任取m个 不放回地 按一定次序排成一列 不同的排法共有 全排列 组合从n个不同的元素中取出m个 不放回地 组成一组 不同的取法共有 有限性 每次试验中 每一种可能结果发生的可能性相同 即 每次试验中 所有可能发生的结果只有有限个 即样本空间 是个有限集 1 2 n 等可能性 其中 设试验结果共有n个 即基本事件 1 2 n 而且这些事件的发生具有相同的可能性 古典概型的计算公式 确定试验的基本事件总数 事件 由其中的m个基本事件组成 确定事件A包含的基本事件数 抛掷一颗匀质骰子 观察出现的点数 求 出现的点数是不小于3的偶数 的概率 出现的点数是不小于3的偶数 古典概率的计算 抛掷骰子 事件A 试验 抛掷一颗匀质骰子 观察出现的点数 基本事件总数 4 6 1 2 3 4 5 6 n 6 m 2 事件A的概率 设在100件产品中 有4件次品 其余均为正品 古典概率的计算 正品率和次品率 n 100 这批产品的次品率 任取3件 全是正品的概率 任取3件 刚好两件正品的概率 mA 4 古典概率的计算 有放回抽样和无放回抽样 设在10件产品中 有2件次品 8件正品 A 第一次抽取正品 第二次抽取次品 第一次抽取后 产品放回去 第一次抽取后 产品不放回去 故 生日 无重复 的概率为 某班有30个同学 求他们生日 无重复 的概率 一年按365天计算 并设人在一年内任一天出生是等可能的 古典概率的计算 生日问题 解 所有可能的结果有事件A 生日 无重复 对应的结果有 古典概率的计算 抽签 10个学生抽签的方式分配3张音乐会入场券 抽取10张外观相同的纸签 其中3张代表入场券 求A 第五个学生抽到入场券 的概率 基本事件总数 有利于A的基本事件数 第五个学生抽到入场券 另外9个学生抽取剩下9张 例某班有20个同学 采取抽签的方式分配三张音乐会门票 求同学甲抽到门票的概率 故所求的概率是 原来不必争先恐后 解 制作20张外观无差异的纸签 其中三张代表门票 20个同学抽签共有20 种方式 同学甲抽到门票有种抽法 其它同学抽取余下的签有19 种方式 若P A 0 01 则称A为小概率事件 小概率事件 一次试验中小概率事件一般是不 会发生的 若在一次试验中居然发生了 则可怀疑该事件并非小概率事件 小概率原理 即实际推断原理 例区长办公室某一周内曾接待过9次来 访 这些来访都是周三或周日进行的 是否 可以断定接待时间是有规定的 解假定办公室每天都接待 则 P 9次来访都在周三 日 0 0000127 这是小概率事件 一般在一次试验中不会发 发生 现居然发生了 故可认为假定不成立 从而推断接待时间是有规定的 几何概型设样本空间为有限区域 若样本点落入 内任何区域G中的概率与区域G的测度成正比 则样本点落入G内的概率为 例某人的表停了 他打开收音机听电台报时 已知电台是整点报时的 问他等待报时的时间短于十分钟的概率 2 规范性 1 概率的公理化定义 1 非负性 证明 由公理3知 所以 概率的性质 不可能事件的概率为零 性质1 设A1 A2 An两两互不相容 则 证明 性质2有限可加性 在公理3中 取 P B A P B P A 性质3差事件的概率 若AB 则P B A P B P A 且P A P B 推广对任意两个事件A B 有 B B AB B A P B P AB P B AB 对任意两个随机事件 有 性质4加法定理 加法定理的推广 性质5逆事件的概率 例已知P A 0 9 P B 0 8 试证 解 由性质4得 且 即 所以 由以上可证命题成立 例已知P A 0 3 P B 0 6 试在下列两种情形下分别求出P A B 与P B A 1 事件A B互不相容 2 事件A B有包含关系 解 1 由于 因此 2 由已知条件和性质3 推得必定有 甲 乙两人同时向目标射击一次 设甲击中的概率为0 85 乙击中的概率为0 8 两人都击中的概率为0 68 求目标被击中的概率 解 设 甲击中目标 表示 乙击中目标 目标被击中 则 0 85 0 8 0 68 0 97 例 练一练 考察甲 乙两个城市6月逐日降雨情况 已知甲城出现雨天的概率是0 3 乙城出现雨天的概率是0 4 甲乙两城