2018年高中数学_第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角课件5 新人教b版选修2-1

3 2 3直线与平面的夹角 学习目标 1 了解直线与平面的夹角的三种情况 理解斜线和平面所成角的概念 2 了解三个角 1 2的意义 会利用公式cos cos 1 cos 2求平面的斜线与平面内的直线的夹角 知识回顾 怎样求两条异面直线所成的角 答案 1 几何法 即通过平移其中一条 也可两条同时平移 使它们转化为两条相交直线 然后通过解三角形获解 向量法包括了 基向量法 与 坐标法 预习导引 1 线线角 线面角的关系式如图所示 已知OA是平面 的斜线段 O是斜足 线段AB垂直于 B为垂足 则直线OB是斜线OA在平面 内的 设OM是 内通过点O的任一条直 线 OA与OB所成的角为 1 OB与OM所成的角为 2 OA与OM所成的角为 则 1 2之间的关系为 在上述公式中 因0 cos 2 1 所以cos cos 1 因为 1和 都是锐角 所以 1 正射 影 cos 1cos 2 cos 2 最小角定理 和它在平面内的 所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中 3 直线与平面的夹角 1 如果一条直线与一个平面垂直 这条直线与平面的夹角为 2 如果一条直线与一个平面平行或在平面内 这条直线与平面的夹角为 3 斜线和它在平面内的 叫做斜线和平面所成的角 或斜线和平面的夹角 斜线 射影 最小的角 90 0 射影所成的角 知识点一用定义求线面角例1在正四面体ABCD中 E为棱AD中点 连CE 求CE和平面BCD所成角的正弦值 解如图 过A E分别作AO 平面BCD EG 平面BCD O G为垂足 AO 2GE AO GE确定平面AOD 连接GC 则 ECG为CE和平面BCD所成的角 AB AC AD OB OC OD BCD是正三角形 O为 BCD的中心 连接OD并延长交BC于F 则F为BC的中点 令正四面体棱长为1 规律方法利用定义法求线面角时 关键是找到斜线的射影 找射影有以下两种方法 斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上 利用已知垂直关系得出线面垂直 确定射影 跟踪变式1如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 平面ABCD PD DC E是PC的中点 求EB与平面ABCD夹角的余弦值 解取CD的中点M 则EM PD 又 PD 平面ABCD EM 平面ABCD BE在平面ABCD上的射影为BM MBE为BE与平面ABCD的夹角 设PD DC a 知识点二由公式cos cos 1 cos 2求线面角 规律方法公式cos cos 1 cos 2在解题时经常用到 可用来求线面角 1 在应用公式时 一定要分清 1 2 分别对应图形中的哪个角 跟踪变式2四面体P ABC APB BPC CPA 60 则PA与平面PBC所成角的余弦值 答案D 解析如图 设A在平面BPC内的射影为O APB APC 点O在 BPC的角平分线上 OPC 30 APO为PA与平面PBC所成的角 cos APB cos APO cos OPC 知识点三向量法求线面角 规律方法 1 用向量法可避开找角的困难 但计算繁琐 所以注意计算上不要失误 2 在求已知平面的法向量时 若图中有垂直于平面的直线时 可直接确定法向量 当图中没有垂直于平面的直线时 可设出平面法向量的坐标 用解不定方程组的方法来确定法向量 跟踪变式3如图 已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内 M N分别为AB DF的中点 若平面ABCD 平面DCEF 求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值 解设正方形ABCD DCEF的边长为2 以D为坐标原点 分别以射线DC DF DA为x y z轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz 如图 则D 0 0 0 A 0 0 2 M 1 0 2 N 0 1 0 A 30 B 60 C 120 D 150 答案A 2 正方体ABCD A1B1C1D1中 直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为 答案C解析建系如图 设正方体的棱长为1 则D 0 0 0 A1 1 0 1 B 1 1 0 C1 0 1 1 A 1 0 0 A 60 B 90 C 105 D 75 答案B 1 空间向量的具体应用主要体现为两种方法 基向量法和坐标法 这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点 线 面等元素 建立立体图形和空间向量之间的联系 然后进行空间向量的运算 最后把运算结果回归到几何结论 这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究 体现了化归与转化思想 2 直线与平面所成角的求法 1 几何法 找出斜线在平面上的射影 则斜线与射影所成角就是线面角 可通过解由斜线段 垂线段和射影线段构成的直角三角形获解 3 公式cos cos 1 cos 2的理解由0 cos 2 1 cos cos 1 从而 1 在公式