热点关注从“阿波罗尼斯圆”说起.doc

第二辑热点关注:从“阿波罗尼斯圆”说起江苏省启东中学 张杰众所周知,到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆,到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹是双曲线,那么到两定点的距离之商为定值的点的轨迹是什么呢?它就是“阿波罗尼斯圆”.用数学语言叙述为:在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是个圆,这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。此定理的证明可参考椭圆与双曲线的证明方法得之.根据这个定理可证明三角形的中线长公式:设三角形的三边长分别为,中线长分别为,则有,此结论也可由余弦定理证之. 有关“阿波罗尼斯圆”的问题在近年高考中已成为热点问题,如2008年江苏试题:满足条件AB=2,的的面积的最大值是 。简解: 以AB所在直线为x轴, 中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则点A(-1,0),B(1,0),设点,则由条件得,化简为其中,从而,的面积的最大值是. 还有在各地的模考中也屡见不鲜,下面就2011年南通市一模试题作一分析:题目: 已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是 AyCB O D x图1解题分析：本题条件是等腰三角形腰上的中线长为定值,若将此中线两端点作为定点,则等腰三角形顶角顶点到此两定点距离之比为2(或),所以它的轨迹就是“阿波罗尼斯圆”.由此得到约束条件,求解问题.解法一. 如图1示，以中线BD所在直线为x轴，中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则点B坐标为,又设,则因点D是AC中点,得,其中,由AC=AB得,化简得,其中从而,而面积,所以当时,.DyA B O C x图2解法二. 如图2所示，以底BC所在直线为x轴，中点O为坐标原点，建立直角坐标系，设，（） ，则腰AC中点，由BD=得，由基本不等式得，从而，因面积为,所以最大值为2.解法三.设等腰三角形ABC的底BC长为,高AO=,则腰AC=AB=,由三角形中线长公式,得,以下同法二.解法四. 如图3所示，记等腰三角形ABC的底边BC上的中线AO与腰AC上的中线BD相交于点G，则G为重心，得,由的面积,GDA B O C 图3得面积,所以最大值为2.解法五.设顶角，两腰之长为，D为腰AC中点，则在三角形ABD内利用余弦定理，得则 整理得，化为，从而由,得，所以最大值为2.解法六.由法五得,则由得,当时,有最大值,此时,得.解法七. 由法五得,从而,于是,所以当时, .解法八. 如图3所示，记等腰三角形ABC的底边BC上的高为AO,则,从而,由基本不等式得,所以面积,即最大值是2. 点评: 上述解法中,前三种是利用“阿波罗尼斯圆”的性质求解的, 解法八利用了向量法,其本质仍是“阿波罗尼斯圆”的推论,而解法四到七,是由于所求问题是三角形的面积问题,显然可用解三角形的知识求之,其中也考查了基本不等式及函数最值问题,可谓是“在知识的交汇处命题”的典型试题 即时练习:(2011年同济等九所高校自主招生试题)在ABC中,AB=2AC,AD是的平分线,且. (1)求的取值范围; (2)若ABC的面积为1,求为何值时,BC最短. 解析: (1) 以BC所在直线为x轴, 中点O为坐标原点，建立直角坐标系，不妨设点,其中,点,