高中数学数列知识点总结.doc

高中数学数列知识点总结篇一：高中数学数列知识点总结(经典)数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1?n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sn?a1?an?n?na21?n?n?1?d 2性质：?an?是等差数列（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；（2）数列?a2n?1?,a2n?,a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n仍为等差数列，公差为n2d；（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则amS2m?1?bmT2m?1（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项，?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.a?0?n?1?a?0当a1?0，d?0，由?n可得Sn达到最小值时的n值.?an?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an?，有S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)?n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)S偶?S奇?nd，S奇S偶?an. an?1，有（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an?1S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)， S奇?SS奇偶?an，S?nn?1. 偶2. 等比数列的定义与性质定义：an?1?q（q为常数，q?0），an?1an?a1qn. 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G?na1(q?1)前n项和：S?n?a1?1?qn?（要注意！）?1?q(q?1)性质：?an?是等比数列（1）若m?n?p?q，则aman?apaq（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？n?1时，a1?S1；n?2时，an?Sn?Sn?1.3求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法如：数列?a12?11n?，a122a2?2nan?2n?5，求an解 n?1时，12a1?2?1?5，a1?14 n?2时，12a?11122a2?2n?1an?1?2n?1?5 得：1n?1?14(n?1)2nan?2，an?2，an?2n?1(n?2) 练习数列?a5n?满足Sn?Sn?1?3an?1，a1?4，求an注意到aSn?1n?1?Sn?1?Sn，代入得S?4又S1?4，?Sn?是等比数列，n；2Sn?4nn?2时，an?Sn?Sn?1?34n?1（2）叠乘法an 如：数列?an?中，a1?3n?1?，求anann?1解3aa1a2a312n?1，n?又a1?3，an?n?n. a1na1a2an?123n（3）等差型递推公式由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法?a3?a2?f(3)?n?2时，?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?f(n)?an?an?1?f(n)?a2?a1?f(2)an?a0?f(2)?f(3)?f(n) 练习数列?an?中，a1?1，an?3（4）等比型递推公式n?1?an?1?n?2?，求an（an?1n3?1?2）an?can?1?d（c、d为常数，c?0，c?1，d?0）可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x?an?can?1?c?1?x 令(c?1)x?d，x?ddd?，c为公比的等比数列 ，?an?是首项为a1?c?1c?1c?1?an?dd?n?1d?n?1d?， ?a1?ca?a?c?n?1?c?1?c?1?c?1?c?1?（5）倒数法 如：a1?1，an?1?2an，求an an?2由已知得：a?2111111?n?，? an?12an2anan?1an2?1?11111?n?1?， ?为等差数列，?1，公差为，?1?n?1?2a1an22?an?3an?( 附：2n?1公式法、利用an?S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?an?是公差为d的等差数列，求?1k?1akak?1n解：由n111?11?d?0?akak?1akak?dd?akak?1?n?111?11?1?11?11?1? ?ak?1?d?a1a2?a2a3?k?1akak?1k?1d?ak?anan?1?1?11? d?a1an?1?练习求和：1?111? 1?21?2?31?2?3?n1an?，Sn?2?n?1（2）错位相减法若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.如：Sn?1?2x?3x2?4x3?nxn?1xSn?x?2x2?3x3?4x4?n?1?xn?1?nxn ?1?x?Sn?1?x?x2?xn?1?nxn4x?1时，Sn1?x?nx?nn?1?x?21?x，x?1时，Sn?1?2?3?n?n?n?1?2（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.Sn?a1?a2?an?1?an?相加2Sn?a1?an?a2?an?1?a1?an?Sn?an?an?1?a2?a1?x2练习已知f(x)?，则 21?x?1?f(1)?f(2)?f?f(3)?2?1?f?f(4)?3?2?1?f?4?1?x2x21x?1?由f(x)?f?12222x1?x1?x1?x?1?1?x?原式?f(1)?f(2)?(附：?1?f?f(3)?2?1?f?f(4)?3?1?1?1f?1?1?1?32?4?2a.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列anbn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列an满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条5篇二：高中数学数列知识点总结五、数列一、数列定义：数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集N*（或它的有限子集1,2,3,?,n）上的函数f(n)，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为 通常用an代替f(n)，于是数列的一般形式常记为a1,a2,?或简记为an，f(1),f(2),?；其中an表示数列an的通项。注意：（1）an与an是不同的概念，an表示数列a1,a2,?，而an表示的是数列的第n项；（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。 S1(n?1)?（3）anSnan?S?S(n?2)n?1?n*如：已知an的Sn满足lg(Sn?1)?n(n?N)，求an。二、等差数列、等比数列的性质：如：（1）在等差数列an中Sn?10，S2n?30，则S3n?（2）在等比数列an中Sn?10，S2n?30，则S3n? 另外，等差数列中还有以下性质须注意：（1）等差数列an中，若an?m,am?n(m?n)，则am?n? （2）等差数列an中，若Sn?m,Sm?n(m?n)，则Sm?n?（3）等差数列an中，若Sn?Sm(m?n)，则am?1?am?2?an?；Sm?n? ； （4）若SP?Sq，则n?时，Sn最大。 （5）若an与bn均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则ambm?S_T_；ambn?S_T_（6）项数为偶数2n的等差数列an，有S2n?间的两项）S偶?S奇?n(a1?a2n)2?n2(an?an?1)（an与an?1为中S奇S偶?项数为奇数2n?1的等差数列an，有S2n?1?(2n?1)an（an为中间项）S奇?S偶?S奇S偶?S奇?S偶?等比数列中还有以下性质须注意：（1）若an是等比数列，则?an(?0)，|an|也是等比数列，公比分别（2）若an是等比数列，则三、判定方法：（1）等差数列的判定方法：1an，an也是等比数列，公比分别 ； ；2定义法：an?1?an?d或an?an?1?d(n?2)（d为常数）?an是等差数列 中项公式法：2an?1?an?an?2?an是等差数列通项公式法：an?pn?q（p,q为常数）?an是等差数列 前n项和公式法：Sn?An2?Bn（A,B为常数）?an是等差数列 注意：是用来证明an（2）等比数列的判定方法：定义法：an?1an?q或anan?1?d(n?2)（q是不为零的常数）?an是等比数列中项公式法：an?1?an?an?2(anan?1an?2?0)?an是等差数列n通项公式法：an?cq（c,q是不为零常数）?an是等差数列22前n项和公式法：Sn?kq?k（k?a1q?1是常数）?an是等差数列注意：是用来证明an四、数列的通项求法： （1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，（2）21，203，2005，20007， （2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。递推式为an?1?an?d及an?1?qan（d,q为常数）：直接运用等差（比）数列。 递推式为an?1?an?f(n)：迭加法 如：已知an中a1?12，an?1?an?14n?12，求an递推式为an?1?f(n)an：迭乘法 如：已知an中a1?2，an?1?n?1nan，求an递推式为an?1?pan?q（p,q为常数）：?an?1?pan?q构造法：、由?相减得(an?2?an?1)?p(an?1?an)，则a?pa?qn?1?n?2an?1?an为等比数列。、设(an?1?t)?p(an?t)，得到pt?t?q，t?为等比数列。如：已知a1?1,an?1?2an?5，求an 递推式为an?1?pan?qn（p,q为常数）：两边同时除去qn?1得再用法解决。 如：已知an中，a1?56qp?1，则an?qp?1an?1qn?1?pq?anqn?1q，令bn?anqn，转化为bn?1?pqbn?1q，an?1?11n?1an?()，求an 32递推式为an?2?pan?1?qan（p,q为常数）：将an?2?pan?1?qan变形为an?2?tan?1?s(an?1?tan)，可得出?s,t，于是an?1?tan是公比为s的等比数列。?s?t?p?st?q解出如：已知an中，a1?1,a2?2，an?2?S1,n?1?（3）公式法：运用an?Sn?Sn?1,n?223an?1?13an，求an2已知Sn?3n?5n?1，求an；已知an中， Sn?3?2an，求an；已知an中，a1?1,an?五、数列的求和法：2Sn22Sn?1(n?2)，求an（1）公式法：等差（比）数列前n项和公式：1?2?3?n?；1?2?3?n?（2）倒序相加（乘）法：012n如：求和：Sn?Cn?2Cn?3Cn?(n?1)Cn；2222n(n?1)(2n?1)6；1?2?3?n?3333n(n?1)22篇三：高中数学数列知识点总结(经典)数列基础知识点和方法归纳1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n在变化过程中的联系，初步归纳公式。（2）公式法：等差数列与等比数列。?S1,(n?1)（3）利用Sn与an的关系求an：an? S?S,(n?2)n?1?n2. 等差数列的定义与性质定义：an?1?an?d（d为常数），通项：an?a1?n?1?d?am?(n?m)d等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y前n项和Sna1?an?n?na2n?n?1?d 1?2性质：?an?是等差数列（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；（2）数列?a2n?1?,a2n?,a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n仍为等差数列，公差为n2d；（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?dSn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项，?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值. ?an?1?0?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值. a?0?n?1.（3）kan也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.(5)a1?a2?am,am?1?am?1?a2m,a2m?1?a2m?1?a3m?仍成等差数列.(8)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；3. 等比数列的定义与性质定义：an?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1?amqn?m .an等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G?前n项和：?na1 (q?1)?na1 (q?1)?Sn?a1?anqa1(1?qn)?a1n（要注意！） a1?q? (q?1)? (q?1)?1?q?1?q1?q1?q?性质：?an?是等比数列（1）若m?n?p?q，则aman?apaq（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n仍为等比数列,公比为qn.注意：由Sn求an时应注意什么？n?1时，a1?S1；n?2时，an?Sn?Sn?1.（3）|an|、kan成等比数列；an、bn成等比数列?anbn成等比数列.（4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.（5）a1?a2?am,ak?ak?1?ak?m?1,?成等比数列.（6）数列?a2n?1?,a2n?,a2n?1?仍为等比数列，