计划生育的数学原理与应用.pdf

计划生育理论的数学原理与应用计划生育理论的数学原理与应用 一 人口数量结构 一 人口数量结构 决定人口数量结构的两个指标 平均育龄平均育龄 平均寿命平均寿命 注 1 人口数量结构包括人口数量和人口比例两个方面 2 对于多胎生育来讲 依然存在一个总平均育龄 我们把它称为等效平均育龄 设共生育n 胎 其中第i胎的平均育龄为 i 则等效平均育龄 n n i i 1 平均育龄是人口数量结构中人口划代的直接依据 一代人的时间长度就等于平均育龄 平均育龄和平均寿命的比值 则描述了人口数量结构中的人口的总代数 由这两个指标即 完全勾勒出整个的人口数量结构人口数量结构 由以下各个年龄区间上的人口数量构成 代第 代第 代第 代第 1 22 01 注 1 x是取整函数 函数值为不大于x的最大整数 特别地 对于0 x的情形 x就是x 的整数部分 同时 xx 就是x的小数部分 2 第 1 代是生育人口 由他们繁衍后代 其余各代都是非生育人口 3 第 代对应现实中年龄大于或等于 的人口数量 4 除了第 代的时间间隔为 年 以外 其余各代的时间间隔都是 年 所以 各代的时长比为 1 1 1 5 第 代不存在当且仅当 为整数 6 假设每一代中的人口年龄分布均匀且男女比例均衡 二 人口数量变化 二 人口数量变化 决定人口数量变化趋势的指标是平均生育率平均生育率 其含义是平均一对夫妇共生育 个 孩子 显然 从理论上 当20 时 对应于一胎政策 人口数量将趋于减少 当2 时 对 应于二孩政策 人口数量将趋于不变 当2 时 对应于多胎政策 人口数量将趋于增 加 三 计划生育模式 三 计划生育模式 计划生育的目的是控制人口总量和优化人口结构 其基本模式必然分为两个阶段 第一阶段 减少 增加 人口数量 第二阶段 稳定人口数量于目标人口总量目标人口总量 M 四 数量结构估算 四 数量结构估算 首先 计划生育第二阶段必然是实施二孩政策 这是因为 假设某个时刻的人口数量结构中假设某个时刻的人口数量结构中 的 第 一 代 人 口 数 量 为的 第 一 代 人 口 数 量 为b 1 0 那 么 在 二 孩 政 策 下 我 们 断 定 只 要 再 经 过 那 么 在 二 孩 政 策 下 我 们 断 定 只 要 再 经 过 不为整数 为整数 1 0 y代 人口总量便稳定于代 人口总量便稳定于M b 1 0 并且人口结构达到并保持 并且人口结构达到并保持 绝对平衡绝对平衡 111 21 代第代第代第代第 由此可知 只要严格执行以上两阶段计划生育模式 不但必然使得人口数量达到并稳定于目 标人口总量 而且人口比例同时达到并保持绝对平衡 所以 计划生育理论是科学合理的人 口控制策略 上述结论实际上源于人口数量结构递推公式 一般地 设初始人口数量结构 用向量表示 为 aaaa 00 2 0 1 0 平均生育率为 0 其中第i个分量表示人口数量结构中第i代 的人口数量 2 1 i 又设第j代的平均生育率为 j 2 1 j 那么对于 经 过n代 后 的 人 口 数 量 结 构 我 们 有 人 口 数 量 结 构 递 推 公 式人 口 数 量 结 构 递 推 公 式 aaaaaaaa nnnn n nnnn 1 1 1 1 1 1 1 1 21 2 2 1 n 这递推公式实际上是对以下简单事实的数学描述 经过一代后 新的总人口中的第 1 代是上 一代中的第 1 代所生育的孩子 第 2 代是上一代中的第 1 代 第 代是上一代中 的第 1 代 第 代是上一代中的第 代的 倍 从理论上 利用这人口数量结构递推公式便可计算出经过任意n代后的人口数量结构 这当 然包括前面所讨论的在初始人口数量结构为 bbbb 00 2 0 1 0 的二孩政策 平均生育 率保持2 不变 下的人口数量结构的演变 由此不难验证相应结论的正确性 现在剩下的问题是 计划生育的第一阶段究竟应该实行几代 实际上 在本节的一开始我们 已经在事实上给出了这一问题的答案 那就是 当总人口中的第当总人口中的第 1 代人口数量变化至代人口数量变化至 M b 1 0 时时 也就是说 对于此问题 我们只需要关注人口数量结构中的第 1 代人口的变 化规律就行了 而这变化规律正是前面已经给出的人口数量结构递推公式中的第一个分量的 递推公式 aa n n n 1 1 1 1 2 2 1 n 由此易知 在初始人口数量结构为 aaaa 00 2 0 1 0 平均生育率保持 不变的条件 下 经过n代后的新的人口数量结构中第 1 代的人口数量为 aa n n 1 0 1 2 所以 在此条 件下 人口数量结构中的第 1 代人口的变化规律是呈指数变化的 令M ba x 1 0 1 0 2 解得 a M x 1 0 2 0 log 这就是说 计划生育的第一阶段需执 行 计划生育的第一阶段需执 行 a M x 1 0 2 0 log 代代 而此时的人口数量结构就是计划生育第二阶段的初始人口数量结构 它可以计算如下 aaabbbb xxx M 000 2 2 00 2 0 1 0 这里 00 xx 不为整数 为整数 0 1 0 00 0 x x aa k x k x k 2 k 其中的道理就是 利用人口数量结构递推公式求得任意n代后的人口数量结构作为实测数据 它是以代为单位 的离散数据 之后再用折线连接各点 即用折线函数来近似人口数量结构向量中各分量的连 续变化规律 而在每一段折线上其变化规律是线性的 当然 此处只要计算至经过只要计算至经过 不为整数 为整数 00 00 0 1xx xx z代后的人口数量结构就行了 然后在代后的人口数量结构就行了 然后在 0 x不为整数的情形下分别 用折线连接第 不为整数的情形下分别 用折线连接第 0 x代和第代和第 1 0 x代人口数量结构向量中除第一个分量以外的其余各个分 量 以这两代之间的人口线性变化规律近似代替其实际变化规律 代人口数量结构向量中除第一个分量以外的其余各个分 量 以这两代之间的人口线性变化规律近似代替其实际变化规律 在求得计划生育第二阶 段的人口数量结构的初始数据后 再利用人口数量结构递推公式便可进一步精细地考察每经 过一代后的人口数量结构 总之 计划生育第一阶段执行总之 计划生育第一阶段执行 a M x 1 0 2 0 log 代后就应该进入计划生育第二阶段 显然代后就应该进入计划生育第二阶段 显然 只 要 目 标 人 口 总 量只 要 目 标 人 口 总 量M不 变 第 二 阶 段 是 要 永 久 执 行 的 但 只 要 再 经 过不 变 第 二 阶 段 是 要 永 久 执 行 的 但 只 要 再 经 过 不为整数 为整数 1 0 y代也就是总共经过代也就是总共经过 00 yx 代后 便能使人口总量达到并保持目 标人口总量 同时人口比例亦达到并保持绝对平衡 代后 便能使人口总量达到并保持目 标人口总量 同时人口比例亦达到并保持绝对平衡 例例 根据当前 2015 年 的人口统计数据 我国人口的平均生育年龄为 25 岁 平均寿命为 75 岁 人口数量结构如下 亿代第 亿代第 亿代第 79 4 75 503 75 5 50 252 15 3 25 01 设计划生育第一阶段 一胎政策 的平均生育率为 1 试问 1 设目标人口总量为M 亿 那么计划生育第一阶段 一胎政策 需执行几代 同时计划 生育第二阶段 二孩政策 执行几代后人口数量便达到并稳定于目标人口总量而且使得人口 比例达到并保持绝对平衡 特别地 分别取6 5 4 3 M 相应的计划生育第一阶段 一胎 政策 分别需执行几代 并考察当3 M时在这一过程中人口数量结构的演变 2 如果现在就开放二孩政策 那么人口总量最终稳定于多少 至少需要经过多少代 3 如果要将现在占人口总量 90 的汉族人口降至 3 亿 而保持少数民族人口不变 应如何制 定计划生育政策 假设汉族人口数量结构与上面总人口的数量结构一致 只是相应各年龄段 的人数变为原来的 90 于是初始汉族人口数量结构中第 1 代的人口数量为 2 8 亿 解 1 根据相应结论 计划生育第一阶段 一胎政策 需执行 a M ogx 1 0 2 0 1 代 将 1 3 15 3 75 25 1 0 M a 代入 得M M x 2 2 10 log24 3 45 9 log 特别地 分别取6 5 4 3 M 则66 0 92 0 24 1 65 1 0 x 也就是说 要使人口降低并分别稳定于 3 4 5 6 亿 计划生育第一阶段 一胎政策 分别需要执行 41 31 23 17 年 根据相应结论 计划生育第二阶段 二孩政策 执行 不为整数 为整数 1 0 y代后人口 数量便达到并稳定于目标人口总量而且使得人口比例达到并保持绝对平衡 将 75 25 代入 即知计划生育第二阶段 二孩政策 执行 2 代即 50 年后人口数量便 达到并稳定于目标人口总量而且使得人口比例达到并保持绝对平衡 下面讨论当3 M时在这一过程中人口数量结构的演变 初始人口数量结构为 79 4 75 5 15 3 3 0 2 0 1 0 aaa 由此看出初始人口总量为13 69亿 人口比例为5 1 8 1 1 又因为 165 1 0 x 所以需要先计算出分别经过一代和二代后的人口数量结构 根据人口数量结构递推公式 我们有 75 5 15 3 58 1 2 1 2 0 1 0 1 0 3 1 2 1 1 1 aaaaaa 15 3 58 1 79 0 2 1 2 1 1 1 1 1 3 2 2 2 1 2 aaaaaa 这表明 经过一代后 人口总量降为 10 48 亿 人口比例为6 3 9 1 1 经过两代后 人口总量降为 5 52 亿 人口比例为 1 2 3 9 于是 根据相关公式 计划生育第一阶段 一胎政策 执行 1 65 代即 41 年后的人口数量结 构 也 就 是 计 划 生 育 第 二 阶 段 二 孩 政 策 的 初 始 人 口 数 量 结 构 为 06 4 13 2 16 265 0 75 5 57 1 65 0 15 3 1 3 0 2 0 1 0 bbb 即经过 1 65 代后 人口总量降为 7 19 亿 人口比例为1 4 1 2 1 此时开始执行计划生育第二阶段 二孩政策 根据前面的结论 由此再经过 2 代即 50 年后 人口数量便达到并稳定于目标人口总量 3 亿而且使得人口比例达到并保持绝对平衡 根 据 人 口 数 量 结 构 递 推 公 式 我 们 有 13 2 1 1 2 0 1 0 1 0 3 1 2 1 1 1 bbbbbb 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 2 2 2 1 2 bbbbbb 这表明 计划生育第二阶段 二孩政策 经过一代即计 划生育总共经过 2 65 代后 人口总量降为 4 13 亿 人口比例为 1 1 2 1 计划生育第二阶段 二孩政策 经过两代即计划生育总共经过 3 65 代即 91 年后 达到目标人口总量 3 亿 同 时人口比例达到绝对平衡为 1 1 1 而此后将保持这种人口数量结构 2 根据相关公式 b M 1 0 而要达到这一目标 至少需要经过 不为整数 为整数 1 0 y 代 将15