高二立体几何单元复习.doc

高二数学立体几何全章复习基础知识1. 平面图形直观图的画法（斜二测画法）：我们为了使平面图形具有立体感觉，我们会用斜二侧画法来作图；具体规则如下： 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O； 画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴两轴交于O，使得xyO= ； 已知图形中平行x轴和y轴的线段，在直观图中分别画成 x轴或y轴的线段； 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度 ；已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中长度 。例1：画出水平放置边长为2的正三角形的直观图。 y例2：右图是AOB用斜二测画法画出的直观图AOB，4AxB42则AOB的面积是 2. 关于多面体的概念辨析：1）底面是正多边形的棱柱是正棱柱；2）多面体至少四个面；3）长方体的长宽高分别为a,b,c，则它的对角线长d = ；4）如果一个多面体的两个面相互平行，其他面都是平行四边形，那么这个多面体是棱柱；5）底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；6）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥；7）用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；8）一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是六棱锥；9）各侧棱相等的了棱锥是正棱锥；10）正四面体一定是正棱锥；3. 有关几何体的计算：1）正三棱锥P-ABC中，侧棱长为3，侧面三角形的顶角为450，从A绕棱锥侧面一周后回到A点，最近的距离为 ；2）正四面体的棱长为a，则它的高为 ；3）一个棱锥被平行底面的平面截成两部分，下面的棱台的上下底的对应边长之比为25，已知原棱锥的高为10，则棱台高为 ；4）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为 。5）如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体， 棱锥A1-ABCD的体积为 ； 棱锥C1-ABD的体积为 ； C1D1的中点为Q，则棱锥Q- AA1C的体积为 ； E、F分别是冷AA1和CC1的中点，则四棱锥A1-EBFD1的体积为 ； P是上底面上任一点，棱锥P-ABCD的体积为 ； 棱锥A1-BC1D的体积为 6）三棱锥A-BCD的两条棱AB，CD，满足AB=CD=6，其余各棱长均为5，（1）求三棱锥的全面积和体积； （2）求三棱锥内切球的半径。 总结：求一个几何体的外接球半径，一般需要先确定外接球的球心； 求一个几何体内切球的半径，一般不需要确定球心，可以利用体积V和全面积S得出半径。 计算公式为： 。4. 平面的基本性质：1）点、线、面关系的集合表示： 点与线： 点与面： 线与面： 面与面： 2）用以证明一条直线在一个平面上的公理： 用以作出两平面交线的公理： 例1：已知ABC的边AB，BC所在直线分别交面于点P，Q。若直线AC与PQ不平行，画出AC与平面的交点R，证明：点R、P、Q三点共线。 例2：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F是A1D1和C1D1的中点，证明：直线AE、CF、DD1共点。例3：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为边AB、AD的中点，F、G分别为边CB、CD上的中点。 （1）如AC = BD，则四边形为什么四边形？ （2）如ACBD，则EFGH为什么四边形？ （3）如AC = BD, ACBD，则EFGH为什么四边形？ （4）如BD = 2，AC = 4,则求EG2 + HF2的值。5. 空间两直线的位置关系：1）空间两直线位置关系：空间两直线的位置关系有： 将这三种关系按共面与否来划分： 按公共点个数划分： 例1：若a、b平行，b、c平行，则a、c的关系是 。 若a、b相交，b、c相交，则a、c的关系是 。若a、b异面，b、c异面，则a、c的关系是 。若a、b平行，b、c异面，则a、c的关系是 。例2:下列命题正确的是 空间两条不相交的直线为异面直线； 不在一个平面内的两条直线为异面直线；平面内和平面外的两直线互为异面直线； 垂直于同一直线的两直线可以是异面直线；2）异面直线的距离和夹角： 对于空间两条平行直线，我们可以用距离来描述它们的位置关系； 对于空间两条相交直线，我们可以用夹角来描述它们的位置关系，夹角范围为： ； 对于空间两条异面直线，我们可以用 和 来描述它们的位置关系。 注1：两异面直线的夹角的范围是： 注2：当a、b的夹角是 时，称两直线垂直，即ab。所有两直线垂直可以分为 垂直和 垂直两种。例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A A1= a，E，F分别是BC，DC的中点。 （1）求AB与CC1所成的角； （2）求AB1与CC1所成的角； （3）求异面直线AD1与EF所成的角的大小； （4）设Q为A1B1的中点，求BQ和AC所成的角的余弦值； （5）求EC1和B1D所成的角的余弦值。6. 线面位置关系：1）线面平行： （1）直线和平面平行的判定定理： 如果平面外 和平面内的 平行，那么这条直线和这个平面平行。 记为： （记忆口诀：线线平行 线面平行） 例1：如图，在三棱锥ABC-A1B1C1中，点D是AB的中点，求证：AC1/平面CDB1.例2：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B和AC上的点，且A1M = AN。求证：MN/平面BB1C1C。总结：在证明线面平行时，在平面内需要寻找一条与已知直线平行的直线，这条直线常是利用三角形中位线或平行四边形得到。 （2）直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的另一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 记为： （记忆口诀：线面平行 = 线线平行） 思考：若一条直线和一个平面平行，那么在平面上有 条直线与该直线平行。2）线面垂直：（1）直线和平面垂直的判定定理：思考：如果一条直线和平面内一直线垂直，那么直线一定能垂直这个平面吗？ 如果一条直线和平面内两平行直线垂直，那么直线一定能垂直这个平面吗？判定定理：如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。记为： （记忆口诀：线线垂直 = 线面垂直）反之，若直线和一个平面垂直，则直线垂直于平面内任一直线。记为： （记忆口诀：线面垂直 = 线线垂直）例1：如图SA面ABC，ABC= 900，AESB，AFSC,求证：（1）BC面SAB；（2）AE面SBC；（3）SCEF. 例2：在三棱锥O-ABC中，侧棱OA、OB、OC两两互相垂直。（1） 证明：OB面OAC；（2） G为ABC的垂心，求证：OG面ABC。 例3：如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点。（1）求证：MNCD；（2）若PDA= 450，求证：MN面PCD。总结：证明两条异面直线垂直，往往转化为证明线面垂直。需要构造一个过于其中一条直线的平面，证明该平面和另一直线垂直。要总结添加辅助线的一些规律。 （2）直线和平面垂直的性质定理：性质定理：如果两个直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行。记为： （记忆口诀：线面垂直= 面面垂直）关于线面垂直，除性质定理外，还有以下性质常用且可以直接使用： 若直线和两个平行平面中的一个平面垂直，则该直线也垂直另一个平面；记为： 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直该平面。记为： 7. 点到平面的距离：1）点到面的距离：我们知道：过平面外一点和平面垂直的直线有 条。这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离。若直线和平面平行，则直线上任一点到平面的距离均 相等。例1：正方形ABCD中，AB=20，E、F分别是AB、BC的中点，沿DE、EF、FD把图形翻折，使A、B、C三点重合于一点A。（1）求点A到面DEF得距离；（2）求三棱锥A-DEF的体积。注：此类问题称为翻折问题，关键是弄清楚翻折前后线段之间的关系。例2：已知ABCD为矩形，AB=3，AD=4,PA面ABCD，PA=4,Q为PA的中点。 （1）求点Q到BD的距离；（2）求点A到面BQD得距离；（3）求点P到面BQD的距离。注：计算点面距离关键是确定垂足的位置。有些点面距离，无法或很难直接计算（垂足不易确定），这时可用 法来计算距离，这种方法的关键是 。8. 面面关系：1）面面平行：（1）两平面平行的判定定理：如果一个平面内有 条 直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；记为： （记忆口诀：线面平行=面面平行）例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，求证：平面C1DB/平面AB1D1；例2：下列命题中正确的是 平行于同一条直线的两个平面平行； 平行于同一个平面的两个平面平行； 平行于两条相交直线的两个平面平行； 与无数条直线都平行的两个平面平行； 过平面外一点有无数条直线与已知平面平行； 过平面外两点有无数个平面与已知平面平行； （2）两平面平行的性质： 思考：如果两平面平行，那么一个平面内的直线和另一个平面的位置关系是 。 面面平行的性质： ；（可直接使用） 思考：如果两个平面平行，分别在这两个平面内的两条直线的位置关系为 。 两个平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时与 平面 ，则 平行。 记为： （记忆口诀：面面平行=线线平行）例3：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E=BF。求证：EF/面BB1C1C。注：证明线面平行，既可以由线面平行的判定定理证明，亦可考虑由面面平行证明。2）面面垂直： （1）面面垂直的性质： 思考：如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面？ 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的 ，则这两个平面垂直。 记为： （记忆口诀：线面垂直=面面垂直）平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于 的直线 于另一平面。 记为： （记忆口诀：面面垂直=线面垂直）我们可以看到，有了性质后，我们在一个平面内寻找另一个平面的垂线时，只需找到 。例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点。求证：平面B1DE平面B1BD。例2：在四棱柱P-ABCD中，ABC=ACD=900，BAD=CAD=600，PA平面ABCD，E为PD中点，PA=2AB=2，若F为PC中点，求证：面PCA面AEF。3)面面关系综合：例1：如图，矩形ABCD中，已知AB=2AD，E为CD中点，将AED沿AE折起，使DB=DC。 证明：平面ADE平面ABCE. 例2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是DAB=600且边长为a的菱形，侧面PAD垂直于底面ABCD，且PAC为正三角形。 （1）若G