九年级相似三角形动点问题.doc

相似三角形动点问题一选择题（共1小题）1如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形在如图55的方格中，作格点三角形和ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（）A0.5，2.5B0.5，5C1，2.5D1，5二填空题（共10小题）2（2013平顶山三模）如图，P是RtABC斜边AB上的动点（P异于A、B），C=90，B=30，过点P的直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，当=_时，截得的三角形面积为ABC面积的3如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x=_时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似4平面直角坐标系中，已知点O（0，0）、A（0，2）、B（1，0），点P是反比例函数图象上的一个动点，过点P作PQx轴，垂足为点Q若以点O、P、Q为顶点的三角形与OAB相似，则点P的坐标是_5如图，点A的坐标为（1，1），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CDx轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，若以B，E，F为顶点的三角形与OFE相似，B点的坐标是_6（2012泉州）在ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）（1）如图，A=90，B=C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的ABC的相似线（其中l1BC，l2AC），此外，还有_条；（2）如图，C=90，B=30，当=_时，P（lx）截得的三角形面积为ABC面积的7以图中的格点为顶点，画一个与已知ABC相似的三角形（相似比不为1）8如图，已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（1，0），过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH垂直OB于点H，若PB=5t，且0t1，存在使P，H，Q为顶点的三角形与三角形COQ相似的t的值有_9（2004枣庄）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形在如图55的方格纸中，以A、B为顶点作格点三角形与OAB相似（相似比不能为1），则另一个顶点C的坐标为_10（2006荆门）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形在如图55的方格中，作格点ABC和OAB相似（相似比不为1），则点C的坐标是_11如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是_三解答题（共19小题）12如图，在ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由13在如图所附的格点图中画出两个相似的三角形14在如图的正方形网格中有一个格点三角形ABC请在图中画一个与ABC相似且相似比不等于1的格点三角形，并写出它们的相似比15（2003绍兴）已知AOB=90，OM是AOB的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D在图甲中，证明：PC=PD；在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求POD与PDG的面积之比；（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长16（2012镇江模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动设运动的时间为t秒解答下列问题：（1）当0t3时，以A、P、Q为顶点的三角形能与ADE相似吗？（不必说理由）（2）连接DQ，试求当t为何值时？ADQ为等腰三角形（3）求t为何值时？直线PQ平分矩形ABCD的面积17已知：RtOAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把RtOAB分割成两部分在图上画出所有线段PC，使分割得到的三角形与RtOAB相似，并直接写出点C的坐标18在ABC中，C=90（1）如图1，P是AC上的点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似例如：过点P作PDBC交AB于D，则截得的ADP与ABC相似请你在图中画出所有满足条件的直线（2）如图2，Q是BC上异于点B，C的动点，过点Q作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，直接写出满足条件的直线的条数（不要求画出具体的直线） 19（2006肇庆）如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由20如图是一个1010格点正方形组成的网格ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面问题，在图中画出与ABC相似的格点A1B1C1和A2B2C2，且A1B1C1与ABC的相似比是2，A2B2C2与ABC的相似比是21（2006防城港）在ABC中，ACB=90，O为AC上的动点（1）当OA=AC时，以O为圆心，OA的长为半径的圆与AB交于D，连接CD（如图），则图中相似的三角形有_；（2）当OA满足ACOAAC时，以O为圆心，OA的长为半径的圆交AB于D，交AC的延长线于E（如图）请你在图中适当添加一条辅助线，然后找出图中相似三角形（注：相似三角形只限于使用图中的六个字母），并加以证明；若O的半径为5，AD=8，求tanB22已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连结MC，把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO（1）直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQx轴于点Q，连结OP若以O、P、Q为顶点的三角形与DAO相似，试求出点P的坐标23RtABC中，C=90，AC=6厘米，BC=8厘米，动点P从点A开始在线段AC上以1厘米/秒的速度向点C移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以2厘米/秒的速度向点A移动，当一个动点先运动到终点时，整个运动过程结束设点P、Q移动的时间为t秒（1）设APQ的面积为y（厘米2），请你求出y与t的函数关系式，写出自变量t的取值范围，并求出当t为何值时，APQ的面积最大；（2）在整个运动过程中，是否会存在以点A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请你求出此时t的值；若不存在，请你说明理由24已知：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在图中画出一个与格点DEF相似但相似比不等于1的格点三角形25如图，在正方形网格上有若干个三角形，找出与ABC相似的三角形26如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动（1）经过多少时间，AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使A、M、N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由27如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=2，BC=10，对角线AC=4，动点E从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，运动时间为t（s）（0t5）那么当t为何值时，以A、E、C为顶点的三角形与ADC相似28如图，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm动点M从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC向终点C移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，设移动时间为t（单位：秒，0t2.5）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与ABC相似？29已知：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，点A（6，0），BAO=30（1）求点B的坐标；（2）点P是线段AB上的动点，若使POA为等腰三角形，求点P的坐标；（3）在第一象限内是否存在点Q，使得以Q、O、B为顶点的三角形与OAB相似？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由30（2013黔西南州）如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2014年1月Sissi的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形在如图55的方格中，作格点三角形和ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（）A0.5，2.5B0.5，5C1，2.5D1，5考点：相似三角形的性质；勾股定理716358 专题：网格型分析：作出面积最小和面积最大的格点三角形，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以此题只要求得两三角形的一组对应边的比即可根据格点三角形边长的求解方法，易得AB，DE与GH的长即可得出问题的解解答：解：如图所示，DEF和GHI分别是面积最小和面积最大的三角形因为DEF，GHI和ABC都相似，AB=，DE=1，GH=，所以它们的相似比为DE：AB=1：，GH：AB=：，又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而ABC的面积为21=1，故DEF和GHI面积分别为0.5，5故选B点评：此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方解此题还要注意格点三角形边长的求解方法：用勾股定理求解二填空题（共10小题）2（2013平顶山三模）如图，P是RtABC斜边AB上的动点（P异于A、B），C=90，B=30，过点P的直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，当=或或时，截得的三角形面积为ABC面积的考点：相似三角形的判定与性质716358 分析：根据相似三角形的性质，可得符合条件的直线有4条，再分别讨论，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案，解题时注意不要漏解解答：解：设P（lx）截得的三角形面积为S，S=SABC，则相似比为1：2，第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1AC，第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2BC，第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，第4条l4，此时AP与AC为对应边，且 ，=，=，当=或或时，截得的三角形面积为RtABC面积的，故答案为：或或点评：此题考查了相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用3如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x=或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似考点：相似三角形的性质；正方形的性质716358 专题：分类讨论分析：根据正方形的四条边都相等求出CN的长度，再根据相似三角形对应边成比例，分CN与BM是对应边，CN与AB是对应边两种情况列式求解即可解答：解：，AB=1，CN=1=，BM=x，CM=1x，当CN与BM是对应边时，=，即=，解得x=，当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=综上所述，x的值是或故答案为：或点评：本题考查了正方形的四条边都相等，相似三角形的对应边成比例的性质，因为对应边没有明确，注意要分情况讨论求解，避免漏解而导致出错4平面直角坐标系中，已知点O（0，0）、A（0，2）、B（1，0），点P是反比例函数图象上的一个动点，过点P作PQx轴，垂足为点Q若以点O、P、Q为顶点的三角形与OAB相似，则点P的坐标是（，）或（，）或（，）或（，）考点：反比例函数综合题716358 分析：由A（0，2）、B（1，0），可求得OA与OB的长，然后分别从当，即OQ=2PQ时，OPQABO与当，即PQ=2OQ时，OPQBAO去分析求解即可求得答案解答：解：A（0，2）、B（1，0），OA=2，OB=1，PQx轴，PQO=AOB=90，当，即OQ=2PQ时，OPQABO，设点P（x，x），x=，解得：x=，点P的坐标是：（，）或（，）；当，即PQ=2OQ时，OPQBAO，设点P（x，2x），2x=，解得：x=，点P的坐标是：（，）或（，）综上可得：点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）故答案为：（，）或（，）或（，）或（，）点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数上点的性质此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用5如图，点A的坐标为（1，1），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CDx轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，若以B，E，F为顶点的三角形与OFE相似，B点的坐标是（，0）或（3，0）考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质；正方形的性质716358 专题：压轴题；推理填空题分析：根据点A坐标是（1，1）可以确定AOB=45，又四边形CDEF是正方形，所以0D=CD=DE，即可证明OFE的边OE=2EF，再根据“以B，E，F为顶点的三角形与OFE相似”分EF=2EB，EB=2EF两种情况讨论，根据ACF与AOB相似，相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式计算即可求出正方形的边长，从而OB的长亦可求出解答：解：过点A作AHOB，点A的坐标为（1，1），AH=OH=1，AOB=45，OD=CD，设CF=x，四边形CDEF是正方形，CFDE，CD=CF=EF=DE，CD=CF=EF=DE=x，OE=OD+DE=2EF，以B，E，F为顶点的三角形与OFE相似，EF=2EB，则EB=x，OB=OE+EB=2x+x=x，CFDE，ACFAOB，=，即=1x，解得x=，OB=，点B的坐标为（，0），EB=2EF时，则EB=2x，OB=OE+EB=2x+2x=4x，CFDE，ACFAOB，=，即=1x，解得x=，OB=4x=4=3，点B的坐标为（3，0）综上所述，点B的坐标是（，0）或（3，0）故答案为：（，0）或（3，0）点评：此题考查了相似三角形的性质对应高的比等于对应边的比的性质，解题的关键是根据点A的坐标（1，1）确定出OE=2EF，注意要分情况讨论，避免漏解6（2012泉州）在ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）（1）如图，A=90，B=C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的ABC的相似线（其中l1BC，l2AC），此外，还有1条；（2）如图，C=90，B=30，当=或或时，P（lx）截得的三角形面积为ABC面积的考点：相似三角形的判定与性质716358 专题：压轴题分析：（1）过点P作l3BC交AC于Q，则APQABC，l3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线总共有4条，注意不要遗漏解答：解：（1）存在另外 1 条相似线如图1所示，过点P作l3BC交AC于Q，则APQABC；故答案为：1；（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=SABC，则相似比为1：2如图2所示，共有4条相似线：第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1AC，=；第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2BC，=；第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，=；第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，=，=故答案为：或或点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏7以图中的格点为顶点，画一个与已知ABC相似的三角形（相似比不为1）考点：作图相似变换716358 专题：作图题分析：可让相似比为1：，把原各边长都乘以后画出各边即可解答：解：ABC就是所求的三角形点评：本题考查了相似作图，得到相应的相似比是解决本题的关键8如图，已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（1，0），过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH垂直OB于点H，若PB=5t，且0t1，存在使P，H，Q为顶点的三角形与三角形COQ相似的t的值有考点：二次函数综合题716358 专题：压轴题分析：由于直线过C点，因此C点的坐标为（0，3），那么抛物线的解析式中c=3，然后将A点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出b的值；根据CQ所在直线的解析式即可求出Q的坐标，也就得出了OQ的长，然后求OH的长利用抛物线的解析式，那么可求出B的坐标在直角三角形BPH中，可根据BP=5t以及CBO的正弦值（可在直角三角形COB中求出）得出BH的长，根据OB的长即可求出OH的长然后OH，OQ的差的绝对值就是QH的长；再分当H在Q、B之间在H在O，Q之间两种情况进行讨论；根据不同的对应角得出的不同的对应成比例线段来求出t的值解答：解：根据题意过点C的直线与x轴交于点Q，得出C点坐标为：（0，3），将A点的坐标为（1，0），C（0，3）代入二次函数解析式求出：b=，c=3；得y=x2x3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）OB=4，又OC=3，BC=5由题意，得BHPBOC，OC：OB：BC=3：4：5，HP：HB：BP=3：4：5，PB=5t，HB=4t，HP=3tOH=OBHB=44t由y=x3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）OQ=4t当H在Q、B之间时，QH=OHOQ=（44t）4t=48t当H在O、Q之间时，QH=OQOH=4t（44t）=8t4综合，得QH=|48t|；当H在Q、B之间时，QH=48t，若QHPCOQ，则QH：CO=HP：OQ，得=，解得：t=；若PHQCOQ，则PH：CO=HQ：OQ，得=，即t2+2t1=0解得：t1=1，t2=1（舍去），当H在O、Q之间时，QH=8t4若QHPCOQ，则QH：CO=HP：OQ，得=，解得：t=；若PHQCOQ，则PH：CO=HQ：OQ，得=，即t22t+1=0t1=t2=1（舍去）综上所述，存在t的值，t1=1，t2=，t3=，故答案为：1，点评：本题主要考查了二次函数的性质、三角形相似等重要知识点，要注意要分Q的不同位置进行分类讨论，而在每种分类情况下又要根据不同的对应相似三角形进一步分类讨论，不要漏解9（2004枣庄）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形在如图55的方格纸中，以A、B为顶点作格点三角形与OAB相似（相似比不能为1），则另一个顶点C的坐标为（5，2），（4，4）考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质716358 专题：压轴题；分类讨论分析：要求ABC与OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知OAB的边AB不能与ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可解答：解：OA=2，OB=1，AB=当AB与AC对应时，有=或者=AC=或AC=5C在格点上AC=不合题意，则AC=5C点坐标为（5，2）同理当AB与BC对应时，可求得BC=或者BC=5，也是只有后者符合题意，此时C点坐标为（4，4）C点坐标为（5，2）或者（4，4）点评：本题结合坐标系，重点考查了相似三角形的判定的理解及运用10（2006荆门）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形在如图55的方格中，作格点ABC和OAB相似（相似比不为1），则点C的坐标是（4，0）或（3，2）考点：坐标与图形性质；相似三角形的判定716358 专题：压轴题；网格型分析：ABC和OAB相似，并且AB=，OA=2，OB=1，ABC和OAB相似应分两种情况讨论，当BCAOAB时和当ABCOBA时，根据相似三角形的性质求得AC，BC的值后，分别以A，B为圆心，AC，BC为半径作圆，两圆的交点即为C，易得到点C的坐标解答：解：ABC和OAB相似，并且AB=，OA=2，OB=1，ABC和OAB相似应分两种情况讨论，当BCAOAB时，=，即=，解得AC=5，BC=2，分别以A，B为圆心，5，2为半径作圆，两圆的交点C的坐标是（3，2）；同理当ABCOBA时，圆心坐标是（4，0）故本题答案为：（4，0）或（3，2）点评：分两种情况进行讨论，理解圆心是圆的弦的垂直平分线的交点是解决本题的关键11如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒考点：相似三角形的性质716358 专题：动点型；分类讨论分析：如果以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：D与B对应；D与C对应根据相似三角形的性质分别作答解答：解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AD=t，CE=2t，AE=ACCE=122t当D与B对应时，有ADEABCAD：AB=AE：AC，t：6=（122t）：12，t=3；当D与C对应时，有ADEACBAD：AC=AE：AB，t：12=（122t）：6，t=4.8故当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒点评：主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，有两种情况是解决问题的关键三解答题（共19小题）12如图，在ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的性质716358 专题：动点型分析：首先设经过t秒时，AMN与ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=122t（0t6），然后分别从当MNBC时，AMNABC与当AMN=C时，ANMABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案解答：解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似（无此过程不扣分）设经过t秒时，AMN与ABC相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=122t（0t6），（1）当MNBC时，AMNABC，（1分）则，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）当AMN=C时，ANMABC，（6分）则，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值为3秒或4.8秒（11分）点评：此题考查了平行线的性质与判定此题难度适中，解此题的关键是分类讨论思想与数形结合思想的应用13在如图所附的格点图中画出两个相似的三角形考点：作图相似变换；相似三角形的性质716358 专题：网格型；开放型分析：根据相似三角形的性质只要对应边的比相等，对应角相等就行所以在本题中我们可以把图形的各边都放大2倍解答：解：点评：本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等，14在如图的正方形网格中有一个格点三角形ABC请在图中画一个与ABC相似且相似比不等于1的格点三角形，并写出它们的相似比考点：作图相似变换716358 分析：根据画一个与ABC相似且相似比不等于1的格点三角形，可以将三角形缩小变为原来的，进而得出它们的相似比解答：解：如图所示：将各边缩小为原来的一半即可得出答案相似比为：点评：此题主要考查了相似三角形的画法以及相似比的求法，根据题意画出缩小为原来一半的三角形是解决问题的关键15（2003绍兴）已知AOB=90，OM是AOB的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D在图甲中，证明：PC=PD；在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求POD与PDG的面积之比；（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长考点：相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理；直角三角形全等的判定；角平分线的性质716358 专题：代数几何综合题；压轴题；数形结合；分类讨论分析：（1）可通过构建全等三角形来求解；可根据相似比来求面积比（2）分两种情况进行讨论：当C在OA上上时；当C在OA延长线上时；解答：解：（1）证明：过P作PHOA，PNOB，垂足分别为H，N，得HPN=90HPC+CPN=90CPN+NPD=90HPC=NPDOM是AOB的平分线PH=PN又PHC=PND=90PCHPDNPC=PDPC=PDPDG=45POD=45PDG=PODGPD=DPOPODPDG（2）若PC与边OA相交，PDECDO令PDEOCDCDO=PEDCE=CDCOEDOE=ODOP=ED=OD=1若PC与边OA的反向延长线相交过P作PHOA，PNOB，垂足分别为H，N，PEDEDC令PDEODCPDE=ODCOEC=PEDPDE=HCPPH=PN，RtPHCRtPNDHC=ND，PC=PDPDC=45PDO=PCH=22.5OPC=180POCOCP=22.5OP=OC设OP=x，则OH=ON=HC=DN=ODON=1HC=HO+OC=+x1=+xx=即OP=点评：本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，根据三角形相似或全等得出线段之间以及角之间的关系是解题的关键16（2012镇江模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动设运动的时间为t秒解答下列问题：（1）当0t3时，以A、P、Q为顶点的三角形能与ADE相似吗？（不必说理由）（2）连接DQ，试求当t为何值时？ADQ为等腰三角形（3）求t为何值时？直线PQ平分矩形ABCD的面积考点：相似形综合题716358 分析：（1）不能相似，因为相似时，只能AQP=90，QPA=30，而ADE中的锐角不能为30；（2）分为三种情况：当AD=AQ=3cm时，当DA=DQ时，过D作DMAE于M，当QA=QD时，求出AQ长即可；（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，根据ROCPOA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t2，EQ=5t，根据RQEPQA得出=，代入求出即可解答：解：（1）不能相似；（2）四边形ABCD是矩形，DC=AB=6cm，ADC=90，分为三种情况：当AD=AQ=3cm时，此时t=3； 当DA=DQ时，过D作DMAE于M，在RtADE中，AD=3，DE=DCCE=6cm2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，由三角形的面积公式得：SADE=ADDE=AEDM，DM=cm，在RtADM中，由勾股定理得：AM=（cm），DMAQ，AD=DQ，AQ=2AM=cm（三线合一定理），即t=； 当QA=QD时，过Q作QNAD于N，则AN=ND=，ADC=ANQ=90QNDC，DN=AN，EQ=AQ=AE=5cm=cm，即t=综合上述，当t为3秒或秒或秒时，ADQ是等腰三角形（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，四边形ABCD是矩形，DCAB，OCR=OAP，在ROC和POA中，ROCPOA（ASA），CR=AP=2t，CE=2，RE=2t2，EQ=5t，DCAB，RQEPQA，=，=，解得：t1=3，t2=0（舍去）即t=3秒时，直线PQ平分矩形ABCD的面积点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，平行线的性质等知识点的综合运用，用了分类讨论思想和方程思想，难度偏大17已知：RtOAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把RtOAB分割成两部分在图上画出所有线段PC，使分割得到的三角形与RtOAB相似，并直接写出点C的坐标考点：作图相似变换716358 专题：作图题；分类讨论分析：根据平行于三角形一边的直线分成的三角形与原三角形相似，可得PCAB，PCOA时，分割得到的三角形与RtOAB相似，根据网格结构写出此时点C的坐标即可；又当PCOB时，分割得到的三角形与RtOAB也相似，根据网格结构，利用勾股定理求出OB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长度，再求出AC的长度，从而得到此时点C的坐标解答：解：如图，PCAB时，OCPOAB，此时点C的坐标为（3，0），PCOA时，PCBOAB，此时点C的坐标为（6，4），PCOB时，CPBOAB，根据勾股定理得，OB=10，P（3，4）为OB的中点，PB=OB=5，=，即=，解得BC=，AC=ABBC=8=，此时点C的坐标为（6，），综上所述，点C的坐标为（3，0），（6，4），（6，）点评：本题考查了利用相似变换作图，相似三角形的判定，需要特别注意“PCOB”的情况容易漏掉而导致出错18在ABC中，C=90（1）如图1，P是AC上的点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似例如：过点P作PDBC交AB于D，则截得的ADP与ABC相似请你在图中画出所有满足条件的直线（2）如图2，Q是BC上异于点B，C的动点，过点Q作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，直接写出满足条件的直线的条数（不要求画出具体的直线） 考点：相似三角形的判定716358 分析：（1）根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可以作DPBC，PEAB；又由有两个角对应相等的三角形相似，可以过点P作PGAB交AC于点G，过点P作PFC=A即可；（2）本题需要根据BQ的取值范围不同，所画的直线条数不同讨论即可解答：解：（1）如图所示：（2）当0BQ时，满足条件的直线有3条；当BQ6时，满足条件的直线有4条点评：此题考查了三角形相似的判定方法：平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似注意数形结合思想的应用19（2006肇庆）如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定；一元二次方程的应用；分式方程的应用；正方形的性质716358 专题：压轴题；动点型分析：（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在解答：解：（1）设经过x秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（62x）x=36，即x23x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似，由矩形ABCD，可得CDA=MAN=90，因此有或（5分）即，或（6分）解，得t=；解，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似（8分）点评：主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程要掌握正方形和相似三角形的性质，才会灵活的运用注意：一般关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可20如图是一个1010格点正方形组成的网格ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面问题，在图中画出与ABC相似的格点A1B1C1和A2B2C2，且A1B1C1与ABC的相似比是2，A2B2C2与ABC的相似比是 考点：作图相似变换；勾股定理；相似三角形的判定716358 分析：根据A1B1C1与ABC的相似比是2，A2B2C2与ABC的相似比是，分别得出三角形的边长画出图形即可解答：解：A1B1C1与ABC的相似比是2，A2B2C2与ABC的相似比是，A1C1=4，B1C1=4，A2C2=，B2C2=，即可得出图象，如图所示： 点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理的应用和相似变换，根据已知得出三角形的边长是解题关键21（2006防城港）在ABC中，ACB=90，O为AC上的动点（1）当OA=AC时，以O为圆心，OA的长为半径的圆与AB交于D，连接CD（如图），则图中相似的三角形有3对；（2）当OA满足ACOAAC时，以O为圆心，OA的长为半径的圆交AB于D，交AC的延长线于E（如图）请你在图中适当添加一条辅助线，然后找出图中相似三角形（注：相似三角形只限于使用图中的六个字母），并加以证明；若O的半径为5，AD=8，求tanB考点：勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质716358 专题：压轴题；动点型；探究型分析：（1）连接CD，易得OA=AC，且AC是圆的直径，根据直径所对的圆周角就得到CDB=90，而ACB=90，所以图中就有三对相似三角形；（2）当OA满足ACOAAC时，连接DE，则ADEACBAE是圆的直径可以得到ADE=90，再根据已知ACB=90，就可以证明ADEACB了首先利用勾股定理求出DE，然后利用相似三角形的对应边成比例求出tanB的值了解答：解：（1）ACDABC，ACDCBD，ABCCBD（3分）（2）连接DE，则ADEACB，理由如下：（5分）AE是O的直径，ADE=90（6分）ACB=90，ADE=ACB（7分）A=A，ADEACB（8分）（9分）由知ADEACB，（10分）（11分）（12分）点评：此题是探究性试题，要理解OA满足的限制条件，根据条件去探究才能正确得到结论此题主要考查了相似三角形的判定与性质22已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连结MC，把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO（1）直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQx轴于点Q，连结OP若以O、P、Q为顶点的三角形与DAO相似，试