弹性棒及弯曲变形.doc

此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 弹性棒的弯曲变形研究弹性棒的弯曲变形研究 案例背景 对于某一均匀圆柱形细长弹性棒 在棒的两端施加方向相反大小相等 等于 F 的轴向压力 实验表明 当且仅当 F 大于某力 F1 时 棒才会发生弯曲 这个 力 F1 称为临界力 而当 F F2 2F1 时 棒的平衡状态如示意图 1 那样 棒的两 个端点重合 假设棒仍处在弹性限度之内 试建立数学模型来验证实验的结果 并且完 成以下任务 一 计算力学特征 1 临界力 F1 的表达式 2 F2 F1 的精确的理论比值 二 计算 F F2 时棒的平衡状态曲线的几何特征 1 宽度与棒长之比 2 高度与棒长之比 3 端点重合处的夹角 单位 度 示意图 1 一 问题的分析 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 仔细思考问题的条件和要求 思考如下 1 工作前奏 概念理解 F2 F1 的精确的理论比值 通过对材料力学和数学的理解 并查阅了相关资料 认为它 是指相对于给定的 这里的精确不是指误差为 0 而是指在允许的范围内较 2 更为精确的 比值 比值越精确 模型越是合理 2 中心任务 建立在作用下弹性棒的的曲线方程并求解 2 F 1 问题转化 问题要求确定一个精确比值 以及计算出 F F2 时棒的平衡 21 FF 状态曲线的几何特征 即使要求建立一个合理的曲线方程模型来表示弹性棒的变形 并通过解此方程球的相应的几何特征 2 具体方法 具体方法是否得当 不仅仅是该模型建立本身的合理性 逻辑严密性 而且要求该模型具有可解性 即该模型能够通过现有的数学手段求解 从F1 的求解入手 层层递进 使模型逐步优化 1 按照纯弯曲理论 对细长杆小变形压杆失稳用梁挠曲线近似微分方程式按照材料 力学公式求解 即欧拉公式 2 在 1 的基础上 对大变形理想弹性棒进行分析 据结构力学对称性分析 将F2 作用下的弹性棒简化为一端固定 一端自由的弹性棒 类比欧拉公式 得出其挠 曲线微分方程 3 对该方程进行进一步分析和简化 发现其是不可积方程 故对该方程利用进行优 化 通过在固定端的近似求解 将弹性棒的变形曲线分解成两段 通过边界条件 近似解出该方程 3 目标工作 得到该方程后 代入相应条件 得出曲线的几何特征 4 模型反思 在支座附近曲线求解上采取了近似处理 将整个棒上弯矩取为常数自由端弯矩 事实上 并非常数 截断点离固端越近 求解越是精确 二 模型假设 1 棒是均匀的 圆柱形的 细长弹性的 2 棒的截面尺寸相对于其长度为无穷小 3 在模型 中 弹性棒发生的是纯弯曲变形 轴力和剪力对弹性棒的变形不起作用 4 在模型 中 在作用下 棒处于临界状态 可认为杆发生了极其微小的侧向位移 1 F 5 在模型 中 不同杆长所形成的曲线是相似的 即不同杆长所形成的曲线的相应几何特 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 征之比应等于杆长之比 三 符号约定 弹性棒的截面抗弯刚度 其中为弹性模量 I 为截面惯性矩 EIE M 截面弯矩 规定以逆时针为正 曲率半径 F 压力 曲线上任一点的斜率 u 四 模型的设计和求解 根据问题分析 问题先转化为平衡状态曲线方程的确立 再以此确定相应的 F 值和几何特 征 1 模型 1 模型的建立和求解 根据问题分析 可将该弹性细长棒等效为两端用球形铰支座支承的细长杆 在它的两端作 用轴向压力 当 F 的的大小到达时杆因水平方向的微小干扰而产生微小弯曲 并在F 1 F 此微弯状态下保持平衡 因属于小变形 可以梁挠曲线的近似微分方程式描述 即 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 图一 临界状态条件下 1 1 2 2 d yM x dxEI 由图 在任意截面处杆的玩具 M X 有 代入 1 1 式得 1 M x F yA 令 则 1 F y y EI A 2 k 1 F EI 1 2 2 y k y 0 其通解为 代入边界条件y A sinkx B coskxAA X 0 Y 0 X L Y 0 解得 B 0 KL N N 为整数 代入 得 2 k 1 F EI 1 3 22 1 2 n EI F l 取 N 1 即得临界荷载 1 4 2 1 2 EI F l 即为欧拉公式 此公式由欧拉导出 2 模型 模型 只能解决小变形问题 在作用下棒的弯曲属于大弯曲问题 须从梁在纯弯曲时绕 2 F 曲线的曲率公式从头推起 1 模型的建立 根据结构力学对称性分析可将细长弹性棒简化为如图所示 取上半段进行研究 梁在纯弯曲时绕曲线的曲率公式为 1 5 1M EI 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 图二 状态下 2 F 在这里 M 已不是常量 而是 X 的函数 可将上式改写为 1 6 1M x x EI 而 1 7 3 2 3 1 1 y x y 代入 得 3 2 3 M x EI 1 y y 考虑到 M X 0 4 2 22 kkD 1 x 1 0 22 0 xD 有假设 5 取 L 1 理论上则可通过 MATLAB 编程得到 K D 的解 具体算法如 2 8 4 3 kD 下 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 开 始 将 k D 代入方程中 得出曲线方程 不成立 则 返回 结束 判断等式 1 11 是否成立 成立 则输出 K D 的 值 给定 K D 的值 代入方程组 1 11 3 通过编程运行发现 得不出想要的结果 通过对方程组 1 11 进行分析发现 由于被积函数在 X D 的奇异性 使得函数无论通过符号还是数值都无法求解 故 模型失败 3模型 模型 无法求解 是因为被积函数存在奇异性 且在在理论上是不可积函数 故而须用近 似的模型代替模型 进行求解 但是近似模型必须具有足够的精度 故而有了模型 1 模型的建立 奇异点的处理 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 图三 D D 段的近似计算 在 B 点附近 如 D 点 弯矩 M 已经足够大 从 D 到 B 点 M 增量相对于总量可忽略不计 即将 M 近似为常数 设 L 可通过模型 求出 在 D D 段 由纯弯曲理论 D x 1D yt 不难得 1 12 c 3 2 3 M EI 1 y y 其中 同理可解得 D2 M F l 1 13 2 22 dyklx u dx 1 k l x 则 D D 的长度 为 1 14 可积 1 1 t c c 2 22 t klx t dx 1 k l x 理论上 只要 D 点越靠近 B 点 就越精确 c c t 在 A D 区域 仍采用模型 的函数 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 2 解模 算法 A D 的曲线长度为 ll 2 2 22 00 2 1 t 1 u dx dx kDkx 1 1 22 D 点纵坐标 1 t D y 2 2 l 2 0 22 kkD x 1 22 dx kkD 1 x 1 22 弹性棒总长度为 L 2 1 15 2 t c c t 方程 1 15 虽含有两个未知数 K D 但还是可以通过计算机算法求解 因为这里在 建模时就已经认为 A B 点在同一水平面 这是隐含的一个条件 同模型 可用 MATLAB 编程进行循环搜索 算法流程图如下 开 始 将 k D 代入方程中 得出曲线方程 不成立 则 返回 结束 判断等式 1 15 是否成立 成立 则输出 K D 的 值 给定 K D 的值 代入方程组 1 11 初步计算结果 经过编制程序 1 计算 初步得出结果如下 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 组 数 KD 1 t L 119 478327481851910 409103286551800 11934150144689 1 00926702107444 219 578327481851910 40805716292769 0 119036331657011 00668043730346 319 678327481851910 407019023649680 118733491019391 00411366877309 419 778327481851910 405988767666730 118432950055971 00156646338761 519 878327481851910 404966295709280 118134679808330 99903857352555 619 978327481851910 403951510249060 117838651826030 99652975593795 720 078327481851910 402944315460010 117544838155190 99403977164943 820 178327481851910 401944617180280 11725321132740 99156838586200 可以发现 K 值得精确解应该在 19 4 20 2 之间 D 的精确解应该在 0 40 左右 的精 1 t 确解应该在 0 11 0 12 之间 计算结果优化 编制程序 2 在 K 在 9 4 20 2 之间和 D 在 0 4 附近对结果进行进一步优化 优化结果如下 部分数据 组数KD 1 t L 119 223 0 3970 0094553006881 9 0 99991892959063 219 2240 3970 0094830040720 0 0 99999655550612 319 2250 3970 0095107094713 1 1 00007420031572 419 2260 3970 0095384168870 7 1 00015186402596 519 2270 3970 0095661263202 4 1 00022954664339 上面五组数据是所有数据最合理的解 选择最优解 故最后结果可取 K 19 224 D 0 397 将其带入原函数解得将其带入原函数解得 0 2315 0 12671853039940 c x c y A 0 30 5939 从而得到原问题的解 1 2 1 2 EI F l 2 F2 F1 1 948 2 k 3 宽度与棒长之比 即D 为0 397 4 高度与棒长之比即2 0 253436 取0 253 c y 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 5 端点重合处的夹角 单位 度 2 A 0 71 598 进一步优化 由假设可知 到 D 点越靠近 B 点时 计算结果越是精确 故在程序二的基础上将 D 点 向 B 点靠近 取 L 0 385 得到程序三 部分优化结果如下 组数KD 1 t L 1 20 981 0 3960 0472652366350 1 00001343189113 220 8520 3970 048692716554931 00003448116483 320 4710 4000 052452069591460 99997896825555 420 5970 3990 051276285898061 00001561056472 5 20 8510 3970 048659791347410 99994593507208 上面五组数据是所有数据最精确的解 最后结果可取上面五组数据的平均值 即得 K 20 7504 D 0 3978 将其带入原函数解得将其带入原函数解得 0 2487 0 12610908614516 c x c y A 0 39 5540 从而得到原问题的解 1 2 1 2 EI F l 2 F2 F1 2 1024 取 2 10 2 k 3 宽度与棒长之比 即D 为0 3978 4 高度与棒长之比即2 0 252218 取0 252 c y 5 端点重合处的夹角 单位 度 2 即 79 86 度 A 0 79 5120 模型的最后优化 上面得到 D 0 3978 故可取 0 390 同上 将程序三做微小改变 得程序四 得如 D x 下数据 组数KD 1 t L 120 7645 0 3975 0 03688617058714 0 99999176154476 220 76500 39750 036902766125491 00003587991195 320 76550 39750 036919362743201 00008000291076 420 82850 39700 035865992906080 99992892320689 520 82900 39700 03588256886970 99997298214455 故得最终结果 K 20 7645 D 0 3975 将其带入原函数解得将其带入原函数解得 0 2484 0 12629213699851 c x c y A 0 39 826 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 从而得到原问题的解 1 2 1 2 EI F l 2 F2 F1 2 1039 取 2 10 2 k 3 宽度与棒长之比 即D 为0 3975 4 高度与棒长之比即2 0 252584 取0 2526 c y 5 端点重合处的夹角 单位 度 2 79 65 度 A 此时精度已足够高 故可以此为最优解 五 问题的进一步分析 上述模型解决了在纯弯曲条件下弹性棒在作用下的变形曲线 但是实际情况下 弹性棒 2 F 变形时受多方面影响的 从以下几个方面说明 1 轴力和剪力对变形曲线的影响 弯矩能引起结构的弯曲变形 在轴力和剪力作用下 构件会发生相应的拉压和剪切变 形 对曲线将会有一定的影响