函数与导数及其应用.doc

第二章函数、导数及其应用第一节 函数及其表示1函数映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数1解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则2易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数3误把分段函数理解为几种函数组成试一试1(2013苏锡常镇一调)已知常数t是负实数，则函数f(x)的定义域是_解析：因为f(x)，则(x3t)(x4t)0.又t0，所以x3t，4t答案：3t，4t2(2013扬州期末)已知函数f(x)则f(f(0)_.解析：因为f(0)301，所以f(f(0)f(1)log210.答案：0求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)练一练1设g(x)2x3，g(x2)f(x)，则f(x)等于_解析：f(x)g(x2)2(x2)32x7.答案：2x72若f(x)x2bxc，且f(1)0，f(3)0，则f(x)_.解析：由题意得解得f(x)x24x3.答案：x24x3考点一函数与映射的概念1.下列四组函数中，表示同一函数的是_(填写序号)yx1与yy与yy4lg x与y2lg x2 ylg x2与ylg答案： 类题通法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示同一函数考点二函数的定义域问题函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分.归纳起来常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域；(2)已知f(x)的定义域，求f(g(x)的定义域；(3)已知定义域确定参数问题.角度一求给定函数解析式的定义域1(1)(2013山东高考改编)函数f(x) 的定义域为_(2)(2013安徽高考)函数yln的定义域为_解析：(1)由题意，自变量x应满足解得，3x0.(2)要使函数有意义，需即即解得00，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg(x1)(3)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xR)(4)当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代x，得2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)，得f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1) 针对训练1已知f(1)x2，求f(x)的解析式解：法一：设t1，则x(t1)2(t1)；代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21(x1)法二：x2()2211(1)21，f(1)(1)21(11)，即f(x)x21(x1)2设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，44c0，c1，故f(x)x22x1.考点四分段函数典例(2011江苏高考)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析当a0时，1a1.这时f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)得2a13a，解得a.不合题意，舍去当a1,1a4，则x的取值范围是_解析：当x4，得2x4，即x4得x24，所以x2或x2.综上可得x2.答案：(，2)(2，)课堂练通考点1(2013南京一模)函数y的定义域是_解析：由2xx20得0x2，故函数的定义域为0,2答案：0,22(2013苏北四市二调)若函数f(x)则函数yf(f(x)的值域是_解析：当x0时，f(x)2x(1,0)，故yf(f(x)2f(x)，从而原函数的值域为.答案：3函数y(x1)0ln(x)的定义域为_解析：由题意知，x(，1)(1,0)答案：(，1)(1,0)4已知f(x)x2pxq满足f(1)f(2)0，则f(1)_.解析：由f(1)f(2)0，得所以故f(x)x23x2.所以f(1)(1)2326.答案：6 课下提升考能第组：全员必做题1 (2014南昌模拟测试)函数f(x)的定义域是_解析：由题意得解得x且x1.答案：x|x且x12(2014温州高三第一次适应性测试)设函数f(x)，那么f(2 013)_.解析：根据题意，当x5时，f(x)f(x5)，f(2 013)f(3)，而当0x3a2，则a的取值范围是_解析：由题知，f(1)213，f(f(1)f(3)326a，若f(f(1)3a2，则96a3a2，即a22a30，解得1a3.答案：(1,3)5设函数f(x)若f(a)f(1)2，则a_.解析：若a0，则12，解得a1；若a0，则12，解得a1.故a1.答案：16二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.则f(x)_.解析：设二次函数f(x)ax2bxc(a0)f(0)1，c1.把f(x)的表达式代入f(x1)f(x)2x，有a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x.2axab2x.a1，b1.f(x)x2x1.答案：x2x17.若函数f(x)，则(1)_. (2)f(3)f(4)f(2 012)fff_.解析：(1)f(x)f0，1(x1)，1.(2)又f(3)f0，f(4)f0，f(2 012)f0，f(3)f(4)f(2 012)ff0. 答案：(1)1(2)0第二节 函数的单调性与最值1增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f(x2)2单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间3函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) M结论M为最大值M为最小值1函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结2两函数f(x)，g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但f(x)g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比试一试1(2013苏锡常镇二调)函数f(x)2xlog2x(x1,2)的值域为_解析：因为y2x，ylog2x在定义域内均为增函数，所以y2xlog2x在1,2上单调递增，故f(x)2,5答案：2,52函数f(x)x22x(x2,4)的单调增区间为_；f(x)max_.解析：函数f(x)的对称轴x1，单调增区间为1,4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：1,481判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性2求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域考点一求函数的单调区间1.函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_解析：要使ylog5(2x1)有意义，则2x10，即x，而ylog5u为(0，)上的增函数，当x时，u2x1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是.答案：2函数yx|1x|的单调增区间为_解析：yx|1x|作出该函数的图像如图所示由图像可知，该函数的单调增区间是(，1答案：(，13设函数yf(x)在(，)内有定义对于给定的正数k，定义函数fk(x)取函数f(x)2|x|.当k时，函数fk(x)的单调递增区间为_解析：由f(x)，得1x”或“”)解析：函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.答案：f(3a)的解集为_解析：作出函数f(x)的图像，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的由f(a24)f(3a)，可得a243a，整理得a23a40，即(a1)(a4)0，解得1a4，所以不等式的解集为(1,4)答案：(1,4)角度四求参数的取值范围或值4已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内2比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图像法求解课堂练通考点1(2013无锡期末)已知函数ylog2(ax1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围为_解析：令max1，则函数ylog2(ax1)在(1,2)上单调递增等价于max1在(1,2)上单调递增，且ax10在(1,2)上恒成立，所以即a1.答案：1，)2函数f(x)|x2|x的单调减区间是_解析：由于f(x)|x2|x结合图像可知函数的单调减区间是1,2答案：1,23函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_解析：由于yx在R上递减，ylog2(x2)在1,1上递增，所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3.答案：34函数f(x)在区间(2，)上是递增的，求实数a的取值范围解：f(x)a.任取x1，x2(2，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).函数f(x)在区间(2，)上是递增的，f(x1)f(x2)0，x120，x220，12a，即实数a的取值范围是.课下提升考能第组：全员必做题1(2013苏北四市三调)已知函数f(x)为奇函数，则ab_.解析：当x0时，x0，由题意得f(x)f(x)，所以x2xax2bx，从而a1，b1，ab0.答案：02若函数f(x)4x2mx5在2，)上递增，在(，2上递减，则f(1)_.解析：依题意，知函数图像的对称轴为x2，即 m16，从而f(x)4x216x5，f(1)416525.答案：253.定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于_解析：由已知得当2x1时，f(x)x2，当10.a的取值范围是(0,1答案：(0,156已知函数f(x)(a0，x0)，若f(x)在上的值域为，则a_.解析：由反比例函数的性质知函数f(x)(a0，x0)在上单调递增，所以即解得a.答案：7设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_解析：g(x)如图所示，其递减区间是0,1)答案：0,1)8使函数y与ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是_解析：由ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数，故在(3，)上是增函数又函数y2，使其在(3，)上是增函数，故4k0，得k4.答案：(，4)10、若函数f(x)|logax|(0a1)在区间(a,3a1)上单调递减，则实数a的取值范围是_解析：由于f(x)|logax|(0a1)的递减区间是(0,1，所以有0a3a11，解得0)练一练已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f，且f(1)2，则f(2 014)_.解析：f(x)f，f(x3)fff(x)f(x)是以3为周期的周期函数则f(2 014)f(67131)f(1)2.答案：2考点一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)f(x)解：(1)由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)函数f(x)的定义域为，不关于坐标原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)f(x)的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(4)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(5)易知函数的定义域为(，0)(0，)关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数 类题通法判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质(1)“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇奇”是偶；(2)“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶；(3)“奇偶”是奇，“奇偶”是奇.考点二函数奇偶性的应用典例(1)已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.(2)已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，求满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围解析(1)yf(x)x2是奇函数，且x1时，y2，当x1时，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.(2)f(x)的定义域为2,2，解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(x)在2,2上递减，f(1m)m21，即2m1.综合可知，1m1m.即m1或m2.由例(2)知10时，由f(a)f(2)可得a2，当a0时，由f(a)f(2)f(2)，可得a2.所以实数a的取值范围是(，22，)答案：(，22，)2(2013苏北四市期中)已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，且f(2)1，若f(xa)1对x1,1恒成立，则实数a的取值范围是_解析：由题意得2xa2对x1,1恒成立，即2xa2x对x1,1恒成立当x1,1时，(2x)max2(1)1，(2x)min211，所以实数a的取值范围是1,1答案：1,1考点三函数的周期性及其应用典例已知函数f(x)对任意的实数满足：f(x3)，且当3x1时，f(x)(x2)2，当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 014)_.解析对任意xR，都有f(x3)，f(x6)f(x33)f(x)，f(x)是以6为周期的周期函数，当3x1时，f(x)(x2)2，当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0.f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)1335.而f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(1)f(2)f(3)f(4)12102，f(1)f(2)f(2 014)3352337.答案337 类题通法函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期课堂练通考点1设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f_.解析：f(x)是周期为2的奇函数，ffff2.答案：2(2010江苏高考)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_解析：设g(x)x，h(x)exaex，因为函数g(x)x是奇函数，则由题意知，函数h(x)exaex为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，h(0)0，解得a1.答案：13设函数f(x)x3cos x1.若f(a)11，则f(a)_.解析：观察可知，yx3cos x为奇函数，且f(a)a3cos a111，故a3cos a10.则f(a)a3cos a11019.答案：94若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：法一：f(x)f(x)对于xR恒成立，|xa|xa|对于xR恒成立，两边平方整理得ax0对于xR恒成立，故a0.法二：由f(1)f(1)，得|a1|a1|得a0.答案：05设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间2,0上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解：由偶函数性质知f(x)在0,2上单调递增，且f(1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)，因此f(1m)f(m)等价于解得：0时，f(x)x，则f(4)的值是_解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(4)f(4)42.答案：25若偶函数yf(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)(x1)(xa)(3x3)，则f(6)等于_解析：yf(x)为偶函数，且f(x)(x1)(xa)(3x3)，f(x)x2(1a)xa,1a0.a1.f(x)(x1)(x1)(3x3)f(6)f(66)f(0)1.答案：16已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)x，则f(1)，g(0)，g(1)之间的大小关系是_解析：在f(x)g(x)x中，用x替换x，得f(x)g(x)2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此得f(x)g(x)2x.于是解得f(x)，g(x)，于是f(1)，g(0)1，g(1)，故f(1)g(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)7(2013南京二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(2 016)_.解析：x0时，f(x)f(x1)f(x2)，f(x1)f(x)f(x1)，相加得f(x1)f(x2)，即f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)f(x)，进而f(2 016)f(3366)f(0)31.答案：第四节函数的图像1利用描点法作函数图像其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线2利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换： (2)伸缩变换： (3)对称变换： (4)翻折变换：1在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图像对应的解析式，这样才能避免出错2明确一个函数的图像关于y轴对称与两个函数的图像关于y轴对称的不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系试一试函数ylog2(|x|1)的图像大致是_(填写序号)解析：首先判断定义域为R.又f(x)f(x)所以函数ylog2(|x|1)为偶函数，当x0时，ylog2(x1)答案：1数形结合思想借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图像，还可以判断方程f(x)g(x)的解的个数、求不等式的解集等2分类讨论思想画函数图像时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图像练一练若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_解析：由题意a|x|x令y|x|x图像如图所示，故要使a|x|x只有一解则a0.答案：(0，)考点一作函数的图像分别画出下列函数的图像：(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1.解：(1)y图像如图1.(2)将y2x的图像向左平移2个单位图像如图2.(3)y图像如图3. 类题通法画函数图像的一般方法有(1)直接法当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图像变换法若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响考点二函数图像的应用函数图像是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来图像的应用常见的命题角度有：(1)确定方程根的个数；(2)求参数的取值范围；(3)求不等式的解集.角度一确定方程根的个数1(2013镇江期末)方程xlg(x2)1有_个不同的实数根解析：依题意本题x0，原式等价于lg(x2)，在同一直角坐标系中画出ylg(x2)，y(x2且x0)，如图所示，所以本题有2个不同实数根答案：2角度二求参数的取值范围2对实数a和b，定义运算“”：ab设函数(x22)(x1)，xR.若函数yf(x)c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是_解析：ab函数f(x)(x22)(x1)结合图像可知，当c(2，1(1,2时，函数f(x)与yc的图像有两个公共点，c的取值范围是(2，1(1,2答案：(2，1(1,2角度三求不等式的解集3函数f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图像如图所示，那么不等式0，在上ycos x0.由f(x)的图像知在上0，因为f(x)为偶函数，ycos x也是偶函数，所以y为偶函数，所以0的解集为.答案： 类题通法1研究函数性质时一般要借助于函数图像，体现了数形结合思想；2有些不等式问题常转化为两函数图像的上、下关系来解决；3方程解的问题常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来解决课堂练通考点1(2014盐城一调)设方程2ln x72x的解为x0，则关于x的不等式x2x0的最大整数解为_解析：设函数y1ln x，y2x，所以原方程的解即为这两个函数图像交点的横坐标由图像(如图)可得x0(2,3)，所以x0时，函数g(x)log f(x)有意义，由函数f(x)的图像知满足f(x)0的x(2,8答案：(2,85设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范