高中数学圆锥曲线和导数知识点总结.doc

此文档收集于网络，如有侵权，请 联系网站删除圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程及其性质.1. 椭圆的第一定义：椭圆的第二定义：，点P到定点F的距离,d为点P到直线l的距离其中F为椭圆焦点，l为椭圆准线椭圆的标准方程：的参数方程为（）（现在了解，后面选修4-4要详细讲）.通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为设椭圆：上弦AB的中点为M(x0,y0),则斜率kAB=,对椭圆：, 则kAB=弦长若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（可用余弦定理与推导）. 若是双曲线，则面积为.二、双曲线方程及其性质.1. 双曲线的第一定义：双曲线的第二定义：，点P到定点F的距离,d为点P到直线l的距离其中F为双曲线的焦点，l为双曲线的准线2.双曲线的简单几何性质：标准方程（）（）图 象关系范 围顶 点对 称 性关于轴成轴对称、关于原点成中心对称渐 近 线x离 心 率焦 点准 线 等轴双曲线：x2-y22(0),它的渐近线方程为yx,离心率e.注：双曲线标准方程：. 参数方程：或 . （现在了解，后面选修4-4要详细讲）通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为焦半径：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点）“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） 构成满足 设双曲线：上弦AB的中点为M(x0,y0),则斜率kAB=,对双曲线：, 则kAB=弦长常设与渐近线相同的双曲线方程为；常设渐近线方程为的双曲线方程为例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b直线与双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，讨论方程二次项系数和三、抛物线方程及其性质.抛物线的定义：，为点P到定点F的距离,d为点P到直线l的距离其中F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点 （0，0）离心率焦半径注：抛物线通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.（或）的参数方程为（或）（为参数）. （现在了解，后面选修4-4要详细讲）4.抛物线的焦半径、焦点弦.（抛物线中常用结论和方法）如图所示，抛物线方程为y22px(p0)(1)焦半径设A点在准线上的射影为A1，设A(x1，y1)，准线方程为x，由抛物线定义|AF|AA1|x1. 抛物线上任意一条弦的弦长为(2)关于抛物线焦点弦的几个结论设AB为过抛物线y22px(p0)焦点的弦，A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB中点为，直线AB的倾斜角为，则x1x2，y1y2p2，时，有|AB|x1x2p=，以AB为直径的圆与准线相切；焦点F对A、B在准线上射影的张角为90；.四、圆锥曲线的统一定义.4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为圆（，当时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹1到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.方程标准方程(0)(a0,b0)y2=2px参数方程(t为参数)范围axa，byb|x| a，yRx0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)焦距2c （c=）2c （c=）离心率e=1准线x=x=渐近线y=x焦半径通径2p导数的基础知识一导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：求函数的增量：；求平均变化率：；取极限得导数：（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：； ； 法则1：；(口诀：和差的导数等于导数的和差).法则2：(口诀：左导右不导+左不导右导)法则3：(口诀：(上导下不导-上不导下导) 下平方)（2）复合函数的导数求法：(理科必须掌握)换元，令，则分别求导再相乘回代题型一、导数定义的理解题型二：导数运算1、已知，则 2、若，则 3.=ax3+3x2+2 ，则a=（）三导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，即有。2.表示即时速度。表示加速度。四导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。题型三用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：（2）曲线过点处切线(有可能点P不在曲线上)：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（1）当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0五函数的单调性：设函数在某个区间内可导，（1）该区间内为增函数； （2）该区间内为减函数；注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：步骤： （1）求导数 (2)判断导函数在区间上的符号(3)下结论该区间内为增函数； 该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数单调区间的步骤为：（1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以例题若函数，若则( ) A. a b c B. c b a C. c a b D. b a 0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+).（2）f（x）在R内单调递增，0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex0，a0.（3） 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.=0,即e0-a=0,a=1.例2. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 当x=时，y=f(x)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.当x变化时，y ,y的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8单调递增13单调递减单调递增4 y=f（x）在-3，1上的最大值为13，最小值为例3.当 ，证明不等式.证明：，则，当时。在内是增函数，即，又，当时，在内是减函数，即，因此，当时，不等式成立.点评：由题意构造出两个函数，.利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.例4 设函数在及时取得极值（）求a、b的值； （）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围解答过程：（），因为函数在及取得极值，则有，即解得，（）由（）可知， 令,有,解得,