关于公式d的证明与应用教学设计1.doc

录像课教学设计课题:关于公式的证明与应用教学目标：(1) 知识与技能 理解公式的证明，会根据公式计算“点到面”、“线到面”、“面到面”、“两条异面直线”距离。(2) 过程与方法体验公式的证明过程，理解其推导思路，掌握公式的应用。（3）用平面的“斜向量”和“法向量”将“几何问题”转化为“坐标问题”， 实现“形”到“数”的转化，树立和培养学生的转化意识和创新精神。教学重点和难点(1) 重点: 公式的应用。 (2) 难点:公式的证明过程，理解其推导思路。教学方法：共同探讨，总结公式，边讲边练。教学工具：多媒体，课件（几何画板软件制作）教与学互动设计 创设情境，导入新课引理：设是平面的任意一个法向量，点 与斜交，点A到平面的距离为d，与所成的角为（为锐角或钝角），求证：一、公式的证明：当为锐角时（图1），cos=，当为钝角时（图2），cos=，综上可得小结：无论法向量的方向指向平面的哪侧，所形成的角是钝角还是锐角，并不影响最终解题。二、公式的应用:分别从“点到面”、“ 线到面”、“面到面”及“两条异面直线”的距离进行说明例1、已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别为AB和AD的中点，过平面外一点G，作GC平面ABCD于C，GC=2，求点B到平面GEF的距离。思路导析:本题利用几何法去找点B到平面GEF的距离相对于向量方法,较为困难.因此建立空间直角坐标系,求出相应点和向量的坐标,以及利用数量积,方可直接利用所证明了的公式,求出距离。解：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz, 如图（右）则B(0,4,0),E（2,4,0),G（0,0,2)，F(4,2,0), =(2,0,0), =(2,4,-2), =(4,2,-2)设平面GEF的一个法向量为=(x,y,z), 则,即,令z=1,得=().设点B到平面GEF的距离为d,则=小结 ：点到面的距离即求“斜向量”在平面的“法向量”上的射影长，即可用公式。 例2如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN2C1N，求点B1到平面AMN的距离。（06年高考湖北卷第二问）思路导析：本题是在直三棱柱中求点到面的距离，也能用几何法直接解答，但是利用线面的垂直关系恰当建立空间直角坐标系，用向量很迅速的得到解决。解：建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得（0,0,1），M（0,0）,N (0,1,) , A ()所以，,。设=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量，则由得 即 令z=1,故所以到平面AMN的距离为d,则=1小结：点到面的距离即求“斜向量”在平面的“法向量”上的射影长，即可用公式。例3，在棱长为2的正方体AC1中，G为AA1的中点，求BD与面GB1D1的距离。思路导析：本题可以采用几何法，也可以建立空间直角坐标系用向量法，相对而言，用向量法，更为简捷。解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，如图（右）则B(2,2,0)，G(2,0,1)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，=(2,2,0), =(2,0,-1), =(0,0,2).设平面GB1D1的一个法向量为=(x,y,z), 由,则，即，令z=1，得=(1,-1，2)设BD到平面GB1D1的距离为d,则=.小结：“线面距离“转化为”点面“即求“斜向量”在平面的“法向量 ”上的射影长， 即可用公式。迁移与巩固:1、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点，求平面AA1F1F与平面CC1E1E之间的距离。思路导析：本题如果采用几何法，必须先做出两平面的公垂线段，较为繁琐，但是,建立空间直角坐标系用向量法解答，相比较而言，更为简捷。解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，如图（右）则A(2,0,0)，A1(2,0,2),F(0,1,0) ,E(2,1,0),=(0,0,2), =(-2,1,0),=(0,1,0),设平面AA1F1F的一个法向量为=(x,y,z),则 即，即，令y=2，得=(1,2，0)设平面AA1F1F与平面CC1E1E之间的距离为d,则=小结：“面面距离”转化为“点面“即求“斜向量”在平面的“法向量”上的射影长， 即可用公式。迁移与巩固:2、如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD底面ABCD，M是AS的中点，SB=，求异面直线DM与SB的距离。思路导析：采用几何法解决此题，很难找到它们的公垂线段的长，因此利用线面的垂直关系恰当建立空间直角坐标系，利用边长计算出相应的点的坐标，再利用公式解题。解：由已知SD=1，且DA、DC、DS两两垂直。如图（右）建立空间直角坐标系D-xyz，则，D(0,0,0,),B(1,1,0)，S(0,0,1)，M()，设为DM与SB的公垂线的方向向量，则且即 令，则，。 设异面直线DM与SB的距离小结：“异面直线间的距离”转化为“斜向量”在异面直线的公垂线的“方向向量”上的射影长，即可用公式。总结反思: 纵观近几年高考试题，利用向量求解空间距离是高考的热点和亮点，也是学生的难点，因此在训练时，教会学生无论是在长方体、正方体、棱柱还是棱锥当中，只要是在满足建立空间直角坐标系和坐标容易求解的前提条件下，都能尽量快速利用公式求解 “点到面”、“线到面”、“面到面”及