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文档简介

10 2多元函数的偏导数 10 2 1偏导数 偏导数的定义 的偏导数 设二元函数 对于n元函数 若极限 存在 则称为 1 例1 对变量x求导 解 将y看作常数 二元函数 同理有 2 例2 解 三元函数 偏导数存在与连续 VeryImportant 例3 无极限 不连续 偏导数存在 3 例4 初等函数 连续 不存在 而 方向导数 存在 若 记作 方向导数与偏导数间的关系 设 方向的方向导数就是偏导数 4 10 2 2高阶偏导数 定理 若在某点其两个二 一般来说 高阶混合偏导数与求导顺序有关 什么情况下 混合偏导数与求导次序无关呢 对于n元函数 阶混合偏导函数 证明 记 只对二元函数证明 则相等 5 则 同理 6 例 7 10 3多元函数的微分 10 3 1微分的概念 一元函数微分的概念 多元函数的可微与微分 称为微分 定理 特别地 记 则 在 8 证明 时 10 3 2函数可微的充分条件 9 定理 证明 若函数f各偏导函数 在某点都连续 则在该点可微 10 一元函数微分 多元函数微分 式中a称为导数 由上面定理知 函数沿梯度方向的方向导数最大 例5 求 解 记作 11 例6 切向量的方向导数 解 在 1 2 切向量 单位化 梯度与微分的几何意义 表示平面 12 表示平面 记作 称为曲面 梯度与微分的几何意义 13 例7 1 在 1 1 处切平面 2 即 14 例8 研究该函数在原点是否存在偏导数 是否可微 解 所以 15 下面证明该函数在原点不可微 则f x y 在 0 0 的微分是 若该函数在原点可微 根据微分定义 但是容易证明 16 事实上 因此根据微分定义推出该函数在原点不可微 17 例9 考察该函数在原点是否可微 偏导数是否连续 1 证明函数在原点可微 计算得到 容易看出 在原点自变量的改变量是 18 所以 并且 19 2 证明该函数的偏导数在原点不连续 20 没有极限 从而 同样的方法可以证明 21 10 3 4二元函数的原函数问题 设函数连续 问 是否某个函数的微分 全微分 若是 则称是的一个原函数 必要条件 若有连续的偏导数 且 有原函数 则 证明 二阶混合偏导连续时必相等 22 例10 求的原函数 解 从而有 因为 所以 即 23 数学名家介绍 二 泰勒 Taylor Brook 1665 8 18 1731 12 29 英国数学家 生于埃德蒙顿 卒于伦敦 1709年获法学博士学位 1712年当选为皇家学会会员 他和哈雷 牛顿是亲密的朋友 在数学方面 他主要从事函数性质的研究 于1715年出版了 增量方法及其逆 一书 书中发表了将函数展成级数的一般公式 这一级数后来被称为泰勒级数 他还研究了插值法的某些原理 并用这种计算方法研究弦振动问题 光程微分方程的确定问题等 泰勒在音乐和绘画方面也极有才能 另外 还撰有哲
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