立体几何中向量法与传统方法的比较研究.doc

立体几何中向量法与传统方法的比较研究德化一中徐高挺在向量被引入中学数学教材以前，立体几何空间图形的抽象性让大多数学生望而生畏传统教材中，几何元素的位置关系的确定必须通过严密的逻辑证明来完成的，角和距离的求解也因为其解证的烦琐而让人感到困难重重向量的引入在很大程度上改变了这种状况它既反映现实世界的数量关系，又体现几何图形的位置关系，具有代数形式和几何形式的“双重性”，它将数和形有机地结合起来，为立体几何解题提供了新的工具，其主要思想是合理地构造向量,充分利用向量的基本性质、基本运算,特别是利用向量共线、垂直解决立体几何中位置关系的证明，利用数量积公式解决空间角及利用距离公式解决空间距离问题。向量思想开拓了从另一个角度探究立体几何中各几何量之间联系的新途径，把传统方法和向量方法两者并举，为更快更好地解决立体几何问题提供了新思路本文并不想在向量方法和传统方法中厚此薄彼，主要用意是通过对两者的比较研究，寻求立体几何解题方法的最优化，进而形成了融合向量知识与传统知识的创新思维，为学生研究立体几何开拓了新的领域一、 在位置关系证明方面的比较平行和垂直是空间中两种重要的位置关系对于平行和垂直的论证，传统方法是通过严密的逻辑推理来完成的，而向量法则是通过求解来完成的它在证明中通常用到以下的结论：设直线m、n的方向向量分别是a、b，平面的法向量为n1 ,平面的法向量为n 2mna、b是共线向量a=b (是唯一确定的非零常数)；mn ab ab=0；man1 ,即a=n1；若m在平面外，则m an1,即an1 = 0； n1n2,即n1=n2； n1n2,即n1 n2= 0下面以正方体为模型对两者在解题中的应用进行比较研究把传统方法记为方法一，把向量法记为方法二，下同例1正方体ABCD-AD1中，证明：平面ADB1平面BCD1（如图1）证明:方法一 证明：由得AB1CD1，又BC平面ABB1A1，BCAB1，且CD1BCC，AB1平面BCD1，又AB1平面ADB1,平面ADB1平面BCD1方法二 建立如图1的空间直角坐标系，并设平面ADB1的法向量m(x,y,z)，A(2,0,0),D(0,0,0),B1(2,2,2),则，故取m(0,1,1)同理可以求得平面BCD1的法向量n=(0,1,1),mn=0,平面ADB1平面BCD1通过以上证题过程的比较，我们可以看出：传统方法和向量法在证明立体几何中元素的位置关系时各有所长传统方法证题过程短小精悍，证明时需要有清晰的思路，以及严密的逻辑思维能力，擅长逻辑推理的学生使用该法十分合适，在证题中无处不在的数学美也对提高学生的数学素质有着十分重要的作用而向量法则是通过将几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的向量运算，以算代证，以值定形，这种方法减少了对复杂的空间结构的分析，使得它的思路明了简洁，运算直接，迅速地准确地解决问题，而倍受大多数解题者的青睐有着较强计算能力的学生选择此法对于提高解题质量有较大帮助二、 在求解空间角方面的比较立体几何中的空间角主要包括异面直线所成的角、直线和平面所成的角，二面角在求解这些角时，传统的方法通常采用了“作证求”三个步骤而向量法在求解中经常用到以下结论进行求解：若两直线所成的角为，它们的方向向量所成的角为，则与相等或互补；若n是平面的法向量, a是直线l的方向向量,则l与所成的角或-于是,因此设n1 、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，则二面角-l-的大小与法向量n1 、n2夹角相等或互补例2在四棱锥S-ABCD中，DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2求二面角A-SD-C的大小 （如图2）解：方法一取AD的中点E，连结CE，过E作EFSD，连结CF，SA平面ABCD，SAAB，又ABAD，ADSAA， AB平面SAD，由得CEAB，CE平面SAD，又EFSD，由三垂线定理得CFSDCFE就是二面角A-SD-C的平面角在SAD中，DEFDSA，易求得EF在RtCEF中，二面角A-SD-C的大小是方法二如图2建立空间直角坐标系A-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1） 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由,得 取n1=(1,1,2) 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0) 于是二面角A-SD-C的大小满足 二面角A-SD-C的大小为比较传统方法和向量法求解空间角，我们发现传统方法的主要缺点是找到（或者作出）相应的角，并且证明这个角就是所求的角的过程（即作证的过程）比较繁杂，一些较为复杂几何图形甚至很难找到所要求的角所以空间角的求解在传统解法中有着较大的难度而向量法在这个方面的优势十分明显，它不需要去寻求所要求解的角，只需合理建立空间直角坐标系，运用向量的夹角公式进行求解，虽然解题过程有时显得篇幅过长，但因为思路清晰，逻辑思维的份量较少，在这个过程中，向量法把用“形”难解的问题转化为“数”的运算，降低了思维的难度，同时提高了解题速度。因而在解题实践中，学生往往比较喜欢用向量法求解，当然，向量法也并不十全十美，比如在求二面角的大小时，所要求的角与两方向向量所成角的关系在有些图形中较难确定，这必须依赖于学生对立体图形的理解和丰富的空间想象能力三、 在求解空间距离方面的比较立体几何的空间距离种类较多，比较常见的有异面直线间的距离、点到平面的距离、两平行平面间的距离等应用传统方法求距离和求角类似，必须经过“作证求”三个环节，对一些难以找到公垂线段的还经常应用三棱锥的等体积法而向量法在求解时，比较经常用到以下结论：若a、b是两条异面直线，设、分别为异面直线a、b的方向向量,并设，则异面直线a、b的距离设A，又设平面的法向量为m,则点A到平面的距离d例3如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,ACB=90, AA1=,求B1到面A1BC的距离（如图3）解：方法一B1C1BC，B1C1平面A1BC，点B1到平面A1BC的距离等于点C1到平面A1BC的距离，BCAC，BCCC1且ACCC1CBC平面AA1CC1平面A1BC平面AA1CC1过C1作C1DA1C，则C1D平面A1BCC1D就是点C1到平面A1BC的距离，也就是点B1到平面A1BC的距离，在RtA1C1C中，易求得C1D方法二解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1,) 设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得 取n=(-,0,1) , 从上面的解题中，我们可以注意到传统方法在求距离时，“作”和“证”仍然是“两只最大的拦路虎”，它要求答题者要具有严密的逻辑思维能力，但它在最后求距离的步骤中通常只需花很少的精力向量法在求距离中的应用比求空间角的应用要好得多，特别是传统做法中不易找到所求公垂线段的困难在向量法中被轻易避过了它回避了立体几何中错综复杂的位置关系的演化，而变成了纯粹的运算，思维的难度大大地降低了，但向量法在解题时也有它的缺陷，即解答过程比较烦琐综合上面的比