第九章概率模型习题解答.doc

萧澜 8题目：已知成品材的规定长度和粗轧后钢材长度的均方差，确定粗轧后钢材长度的均值，使得当轧机调整到进行粗轧，再通过精轧以得到成品材时总的费用最小。刚才粗轧后，长度在之间的可降级使用，长度小于的才整根报废。试选用合适的目标函数建立优化模型，使某种意义下的浪费量最小。模型假设：粗轧后钢材长度记为，是均值为，均方差为的正态随机变量，的概率密度记为，由课本知识，已知，待定。当成品材的规定长度给定后，记的概率为，即。轧制过程中的浪费由两部分组成，一是当时，精轧时要切掉长-的钢材；二是当长度在与之间时可降级使用，即只有长度小于时才算报废。所以必然存在一个最佳的，使得两部分的浪费综合起来最小。模型的建立与求解：这是一个优化模型，建模的关键是选择合适的目标函数，并用已知的和待定的量，把目标函数表示出来。设=，每次粗轧一根钢材浪费的平均长度为若先轧根钢材，则成品材有根，设每一根降级材可折合（1）根成品材（就效益而言），那么选用每一根成品材浪费的平均长度为目标函数，则 令 则 ， 所以目标函数可化为：粗轧后，长度在之间的可降级使用，长度小于的才整根报废，这种情况比较复杂不过浪费量达到了最小。轧钢问题一、问题 在9.4节中若钢材粗轧后，长度在与之间的可降级使用，长度小于的才整根报废。试选用合适的目标函数建立优化模型，使某种意义下的浪费量最小。二、模型假设 如图，设，每粗扎一根钢材浪费的平均长度为 若先轧根钢材，则成品材有根，降级材有根，设每一根降级材折合a(1)根成品材(就效益而言)，那么，选用每一根成品材浪费的平均长度为目标函数，则=。令，则=， =三、模型构成 粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧根得成品材 根得到一根成品材平均浪费长度，记目标函数为 =四、模型求解 解： 因为 所以， 又因为 所以因为 所以又因为所以即 所以 =2题目：在报童问题中若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？ 对于此题不再具体分析其模型直接套用书中建立的报童最优决策的模型 因为b=0.75,a=1,c=0.6,N(500,5O),由要求最大收入就对关于n求导解方程我们把a,b,c,和密度函数带入其中得到n=u+0.32=516,最高收入为117元。钢材轧钢浪费优化问题：已知成品材的规定长度和粗轧后钢材长度的均方差，确定粗轧后钢材长度的均值，使得当轧机调整到进行粗轧，再通过精轧以得到成品材时总的费用最小。刚才粗轧后，长度在之间的可降级使用，长度小于的才整根报废。试选用合适的目标函数建立优化模型，使某种意义下的浪费量最小。解:一 问题分析 粗轧后钢材长度记为，是均值为，均方差为的正态随机变量，的概率密度记为，由课本知识，已知，待定。当成品材的规定长度给定后，记的概率为，即。轧制过程中的浪费由两部分组成，一是当时，精轧时要切掉长-的钢材；二是当长度在与之间时可降级使用，即只有长度小于时才算报废。所以必然存在一个最佳的，使得两部分的浪费综合起来最小。二 建立模型与求解这是一个优化模型，建模的关键是选择合适的目标函数，并用已知的和待定的量，把目标函数表示出来。设=，每次粗轧一根钢材浪费的平均长度为若先轧根钢材，则成品材有根，设每一根降级材可折合（1）根成品材（就效益而言），那么选用每一根成品材浪费的平均长度为目标函数，则 令 则 ， 所以目标函数可化为：三 评注 粗轧后，长度在之间的可降级使用，长度小于的才整根报废，这种情况比较复杂不过浪费量达到了最小。题目1：传送系统的效率一、问题：在机械化生产车间里你可以看到这样的情景；排列整齐的工作台旁工人们紧张地生产同一种产品，工作台上方一条传送带在运转，带上设置着若干钩子，工人们将产品挂在经过他上方的钩子带走，当生产进入稳定状态后，每个工人生产出一件产品所需要时间是不变的，而他要挂产品的时刻却是随机的。衡量这种传送系统的效率可以看它能否及时地把工人们生产的产品带走。构造一个衡量传送系统效率的指标，并且在一些简单假设下建立一个模型来描述这个指标与工人数目、钩子数量等参数的关系。二、模型假设：1）有个工人，他们的生产是相互独立的，生产周期是常数，个工作台均匀排列。2）生产已经进入稳态，即每个工人生产出一件产品的时刻在一周期内是等可能的。、3）在一周期内有个钩子通过每一工作台上方，钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子都是空的。4）每个工人在任何时刻都能触到一只钩子，也只能触到一只钩子，于是在他生产出一件产品的瞬间，如果他能触到的那只钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果那只钩子是非空（已被他前面的工人挂上了产品），则他只能将这个产品放在地上。而产品一旦放在地上，就永远退出了这个传送系统。三、模型建立：将传送系统效率定义为一周期内带走的产品数与生产的全部产品数之比，记作。设带走的产品数为，生产的全部产品数显然为，于是，只需求出就行了。如果从工人的角度考虑，分析每个工人能将自己的产品挂上钩子的概率，那么这个概率显然与工人所在的位置有关（如第1个工人一定可以挂上），这样就使问题复杂化。我们从钩子的角度考虑，在稳态下钩子没有次序，处于同等的地位。对一周期内的只钩子，每只钩子非空（即挂上产品）的概率为，则: 得到的步骤如下：（均对一周期内而言） 任一只钩子被一名工人触到的概率是； 任一只钩子不被一名工人触到的概率是; 有工人生产的独立性，任一只钩子不被所有个工人挂上产品的概率，即任一只钩子为空钩的概率是；任一只钩子非空的概率是p=1-. 这样，传送系统效率指标为:D=四、模型求解：为了得到比较简单的结果，在钩子数目相对于工人数较大，既较小的情况下，将多项式展开后只取前三项，程序如下:Expand,3 结果为:所以有：如果将一周内未带走的产品数与全部产品数之比记作，再度假定，则有：7题目：已知成品材的规定长度和粗轧后刚才长度的均方差，确定粗轧后钢材长度的均值，使得当轧机调整到进行粗轧，再通过精轧以得到成品材时总的费用最小。若才粗轧后，长度在之间的可降级使用，长度小于的才整根报废。试选用合适的目标函数建立优化模型，使某种意义下的浪费量最小。问题分析 粗轧后钢材长度记为，是均值为，均方差为的正态随机变量，的概率密度记为，由课本知识，已知，待定。当成品材的规定长度给定后，记的概率为，即。轧制过程中的浪费由两部分组成，一是当时，精轧时要切掉长-的钢材；二是当长度在与之间时可降级使用，即只有长度小于时才算报废。所以必然存在一个最佳的，使得两部分的浪费综合起来最小。建立模型与求解这是一个优化模型，建模的关键是选择合适的目标函数，并用已知的和待定的量，把目标函数表示出来。设=，每次粗轧一根钢材浪费的平均长度为若先轧根钢材，则成品材有根，设每一根降级材可折合（1）根成品材（就效益而言），那么选用每一根成品材浪费的平均长度为目标函数，则 令 则 ， 所以目标函数可化为：评注 粗轧后，长度在之间的可降级使用，长度小于的才整根报废，这种情况比较复杂不过浪费量达到了最小。题目12（随机人口模型问题） 考察一种既不同于指数模型,也不同于阻塞增长模型的情况:人口为X(t),最大允许人口为Xm, t到t+t时间内人口增长量与Xm-X(t)成正比.1) 建立确定性模型,将结果作图,与指数模型和阻塞增长模型的结果进行比较.2) 作出适当的假设,建立相应的随机性模型,求出人口的期望,并解释其与(1)中的X(t)在形式上完全一致的意义.解：（1）=（-），0，（0）=，解为（）=-（-）.其图形及其他模型比较如图.(2)()定义同9.5节,假设只考虑出生,不考虑死亡,在9.5节的假设4中将=改为=(-),则()满足=-(-1)-(-)可得期望()满足=-+,(0)=, 解为()=-(-),与(1)中结果()形式上一致.在随机模型中,是单位时间内出生一人的概率中的比例系数,在平均意义下,与(1)中的系数是一致的.5题目：建立交货时间为随机变量的存贮模型.设商品定货费为C1,每件商品单位时间的贮存费为C2缺货费为C3单位时间的需求量为R下图中L为订货点.当贮存量降至L是订货,而交货时间X是随机的,如图中的X1,X2设X的概率密度函数为P(x)。订货量使下一周期初的贮存量达到固定值Q。为了使总费用最小，选择合适的目标函数建立模型，确立最佳订货点L.答案如下：由贮存量Q(t)的图形可以写出一个交货周期的期望费为C(L)=C1+可以算出显然0，所以当L=Q时C(L)最小，这个结果是自然的实际上，本题的指标函数应取单位时间的期望费用。因为进货期望为T(L)=,因为进货期望为其中E(x)为交货时间的期望，所以可定义指数函数S(L)=由可以解出L*-由C(L)求L*的图解法如图：先作出C(L)的图形（计算C(L)可知C(L)由下凸变上凸），然后由L=Q+RE(x)的点N作出的切线，切点M的横坐标即为L*。另一条切线（右图虚线）得到的L*1不是极小值点。概率模型：你到过轧钢厂吗？把粗大的刚坯变成合格的钢材通常要经过两道工序，第一道是粗轧，形成钢材的皱形；第二道是精轧，得到规定长度的成品材。粗轧时由于设备、环境等方面众多因素的影响，得到的钢材的长度是随机，大体上呈正态分布，其均值可以在轧制过程中由轧钢机调整，而均方差则是由设备的精度决定的，不能随意改变。如果粗轧后的钢材长度大于规定长度，精轧时把多出的部分切掉，造成浪费；如果粗轧后的钢材已经比规定长度短，则整根报废，造成更大的浪费。显然，应该综合考虑这两种情况，使得总的浪费最小。若钢材粗轧后，长度在之间的可降级使用，长度小于的才整根报废。试选用合适的目标函数建立优化模型，使某种意义下的浪费量最小。问题分析粗轧后钢材长度记为，是均值均方差的正态随机变量，的概率密度记作如下图所示，其中已知，待定。当成品材的规定长度给定后，记的概率为，即。轧制过程中的浪费由两部分构成。一是当时，精轧时要切掉长的钢材；二是当时，长的整根钢材报废。由图可以看，变大时曲线右移，概率增加，第一部分的浪费随之增加，而第二部分的浪费将减少；反之，当变小时曲线左移，虽然被切掉的部分减少了，但是整根报废的可能将增加。于是必然存在一个最佳的，使得两部分的浪费综合起来最小。这是一个优化模型，建摸的关键是选择合适的目标函数，并且已知的和待确定的量，把目标函数表示出来。一种很自然的想法是直接写出上面分析的两部分浪费，以二者之和作为目标函数，于是容易得到总的浪费长度为 利用，和，（1）式可化简为 其实，式可以用更直接的办法得到。设想共粗轧了根钢材（很大），所用钢材总长为，根中可以轧出成品材的只有根，成品材总长为，于是浪费的总长度为，平均每粗轧一根钢材浪费长度为 问题在于是否合适轧钢的最终产品是成品材，如果粗轧车间追求的是效益而不是产量的话，那么浪费的多少不应以每粗支一根钢材的平均浪费量为标准，而应该用每得到一根成品材浪费的平均长度来衡量。为了将目标函数从前者改成后者，只需将式中的分母改为成品材总数即可。建摸与求解 以每得到一根成品材所浪费钢材的平均长度为目标函数。因为当粗轧根钢材时浪费的总长度是，而只得到根成品材，所以目标函数为 因为是已知常数，所以目标函数可等价地只取上式右端第一项，记作 式中表示概率是的函数。实际上，恰是平均每得到一根成品材所需钢材的长度。 下面求使达到最小。对于表达式 ， 作变量代换 并令 ， 则式可表为 其中是标准正态变量的分布函数，即 ， 是标准正态变量的密度函数。再设 用微分法解函数 的极值问题。注意到，不难推出最优值应满足方程 记 可根据标准正态分布的 函数值和制成表格如下，由表格可以得到方程的根，再代回（11）和（8）式即得到的最优值-30-.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.5227.056.7917.107.2063.4771.68000.51.01.52.02.51.2530.8760.6560.5160.4200.355 以式给出的为目标函数，由式算出，接出方程的负根为，如下图所示。再由、式算得，此即最佳均值。又可算出，每根成品材的浪费量为比原来的0.45减少甚多。评注 模型中假定当粗轧后钢材长度小于规定长度时就整根报废，实际上这种钢材还常常能轧成较小规格如长的成品材。只有当时才报废。或者当时可以降级使用这样就可以减少浪费。9题目：随机人口模型 我们曾经讨论的人口模型都是确定性的，已知初始人口并且给定了生育率,死亡率等数据后,可以确切得预测未来得人口.但是事实上,一个人得出生和死亡应该说是随机事件,无法确切预测.之所以能用确定性模型描述人口得发展,是因为考察得是一个国家和地区数量很大得人口,用对总数而言得平均生育率,死亡率代替出生,死亡得概率,将人口作为连续变量处理.如果研究对象是一个自然村落或一个家族得人口,数量不大,需作为离散随机变量看待时,就要利用随机人口模型来描述其变化过程了. 时刻t得人口用随机变量X(t)表示,X(t)只取整数值.记Pn(t)为X(t)=n得概率,n=0,1,2.下面要在对出生和死亡得概率作出适当假设得基础上,寻求Pn(t)得变化规律,并由此得出人口X(t)得期望和方差,用他们在随机意义下描述人口得发展状况.模型假设:若X(t)=n,对人口在t到t+得出生和死亡作如下假设(很小)1.出生一人得概率与成正比,记做bn;出生2人及2人以上得概率为()*.2.死亡一人得概率与成正比,记做dn;死亡2人及2人以上得概率为()3.出生和死亡时相互独立得随机事件4.进一步设bn和dn均与n成正比,记bn=n,dn=,与分别是单位时间内n=1时一个人出生和死亡得概率建模与求解: 为了得到Pn(t)得方程,考察随机事件X(t+)=n.将它分解为以下一些互不相容得时间之和,并且根据假设1-3,可以得到这些事件得概率:1.X(t)=n-1,且内出生1人,概率为Pn-1(t)bn-1;2.X(t)=n+1,且内死亡1人,概率为Pn+1(t)dn+1;3.X(t)=n,且内没有人出生或死亡,概率为Pn(t)1-bn-dn;4.X(t)=n-k(k2),内出生k人,或X(t)=n+k(k2),内死亡k人,或X(t)=n,内出生且死亡k人(k1),这些事件得概率均为().按照全概率事件公式有Pn(t+)=Pn-1(t)bn-1+Pn+1(t)dn+1+Pn(t)(1-bn-dn)+() (1)由此可得关于Pn(t)得微分方程:(2)特别的,在假设4下方程为: (3)若初始时刻(t=0)人口确定数量n0,则Pn(t)的初始条件为 (4)(3)式对于不同的n式一组递推方程,在条件(4)下的求解过程非常复杂,并且没有简单的结果.幸而,通常人们对(3)式的解Pn(t)并不关心,感兴趣的只是X(t)的期望E(X(t)(以下简记做E(t)和方差D(t),而他们可以由(3),(4)直接得到.因为按照期望的定义, (5)对(5)求导并将(3)代入得 (6)注意到,代入(6)式并利用(5)式,则有(7)由(4)可以写出E(t)得初始条件 E(0)=n0 (8)显然,方程(7)在(8)下得解为E(t)=n0ert,r=-(9)这个结果与1.5节(3)式代表得指数模型. x(t)=x0ert(10) 形式上完全一致.从含义上看,随机性模型(9)中出生概率与死亡概率之差r可称为净增长概率,人口得期望值E(t)呈指数增长.在人口数量很多得情况下如果将r视为平均意义上得净增长率,那么E(t)就可以看成确定性模型(10)中得人口总数x(t)了.对于方差D(t),按照定义 (11)可以求出 (12)D(t)的大小表示了人口X(t)在期望值E(t)附近的波动范围.(12)式说明这个范围不仅随着事件的延续和净增长概率r= 的增加而变大,而且即使当r不变时,它也随着和的上升而增长.这就是说,当出生和死亡频繁出现时,人口的波动范围变大.8题目另解： 已知成品材的规定长度和粗轧后钢材长度的均方差，确定粗轧后钢材长度的均值，使得当轧机调整到进行粗轧，再通过精轧以得到成品材时总的费用最小。刚才粗轧后，长度在之间的可降级使用，长度小于的才整根报废。试选用合适的目标函数建立优化模型，使某种意义下的浪费量最小。解:一 问题分析 粗轧后钢材长度记为，是均值为，均方差为的正态随机变量，的概率密度记为，由课本知识，已知，待定。当成品材的规定长度给定后，记的概率为，即。轧制过程中的浪费由两部分组成，一是当时，精轧时要切掉长-的钢材；二是当长度在与之间时可降级使用，即只有长度小于时才算报废。所以必然存在一个最佳的，使得两部分的浪费综合起来最小。二 建立模型与求解这是一个优化模型，建模的关键是选择合适的目标函数，并用已知的和待定的量，把目标函数表示出来。设=，每次粗轧一根钢材浪费的平均长度为若先轧根钢材，则成品材有根，设每一根降级材可折合（1）根成品材（就效益而言），那么选用每一根成品材浪费的平均长度为目标函数，则 令 则 ， 所以目标函数可化为：三 评注 粗轧后，长度在之间的可降级使用，长度小于的才整根报废，这种情况比较复杂不过浪费量达到了最小。6题目：在9.4接2中的例子中我们来证明方程（13）当他只有哟个负值的时候，并Z给出（12）的J（Z）的极小值。背景常用的概率方程公式:和它的方差:最小极值分布极