1996年考研数学试题详解及评分参考.pdf

郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 1 页 1996 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考数学试题详解及评分参考 数数 学 试卷一 学 试卷一 一 填空题 本题共一 填空题 本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分 分 1 设 2 lim 8 x x xa xa 则a 答 答 应填 ln2 解 解 因 2 lim 8 x x xa xa 而 3 33 33 2333 lim lim 1 lim 1 1 x ax a a a xaaa aa xxx xaaaa e xaxaxaxa 故有 3 8 a e 即3ln8a 亦即ln2 a 2 设一平面经过原点及点 2 3 6 且与平面824 zyx垂直 则此平面方程为 答 答 应填 2230 xyz 解 解 由题意 所求平面的法向量为 4 1 2 6 3 2 4 4 6 n 又该平面过 原点 故所求平面为4460 xyz 即2230 xyz 3 微分方程 2 2 x yyye 的通解为 答 答 应填 12 cossin1 xx e CxCxe 解 解 因原方程对应齐次方程的特征方程为 2 220 特征根为 1 2 1 i 故 对应齐次方程的通解为 12 cossin x e CxCx 由于1 不是特征根 所以可设原方 程的特解为 x yAe 将其代入原方程得1 A 所以原方程的通解为 12 cossin xx yeCxCxe 4 函数 22 ln uxyz 在 1 0 1A处沿点A指向点 3 2 2B 方向的方向导数 为 答 答 应填 1 2 解 解 因 1 0 11 0 1 22 11 2 u x xyz 1 0 11 0 1 2222 1 0 uy y xyzyz 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 2 页 1 0 11 0 1 2222 11 2 uz y xyzyz 故 1 0 1 11 0 22 gradu 又 2 2 1 AB 其单位向量为 0 1 2 2 1 3 AB 于是所求方向导数为 0 1 0 1 1111 0 2 2 1 2232 graduAB 5 设A是4 3 矩阵 且A的秩 2r A 而 102 020 103 B 则 r AB 答 答 应填 2 解 解 易见 3r B 又 2r A 故由 3 min r Ar Br ABr A r B 得2 2r AB 即 2 r AB 二 选择题 本题共二 选择题 本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分 分 1 已知 2 xay dxydy xy 为某函数的全微分 则a等于 A 1 B 0 C 1 D 2 答 答 应选 D 解 解 令 2 xay P xy 2 y Q xy 则由PdxQdy 为某函数的全微分 知 PQ yx 即 2 2axayy 2 2 axay 所以有2a 故选 D 2 设 f x有二阶连续导数 且 0 0 f 0 lim1 x fx x 则 A 0 f是 f x的极大值 B 0 f是 f x的极小值 C 0 0 f是曲线 yf x 的拐点 D 0 f不是 f x的极值 0 0 f也不是曲线 yf x 的拐点 答 答 应选 B 解 解 因 0 lim1 x fx x 故由极限的保号性 知在0 x 的某去心邻域内 有 0fx 从而 fx 单调增加 又 0 0 f 因此 fx 在0 x 的左 右两侧由负变正 即 f x 在0 x 的左 右两侧有减变增 因而 f x在0 x 处取极小值 故选 B 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 3 页 3 设0 n a 1 2 n 且 1n n a收敛 常数 0 2 则级数 2 1 1 tan n n n na n A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 敛散性与 有关 答 答 应选 A 解 解 因n 时 有 2222 1 tan tan n nnnn nananaa nnn 而由正项 级数 1 n n a 收敛 知级数 2 1 n n a 收敛 因此有 2 1 1 tan n n n na n 绝对收敛 故选 A 4 设 f x有连续的导数 0 0f 0 0 f 22 0 x F xxtf t dt 且当0 x 时 F x 与 k x同阶无穷小 则k等于 A 1 B 2 C 3 D 4 答 答 应选 C 解 解 因 2222 000 xxx F xxtf t dtxf t dtt f t dt 故 22 00 2 2 xx F xxf t dtx f xx f xxf t dt 于是有 0 23 0000 2 2 1 0 limlimlim2lim 1 1 0 x kkkk xxxx xf t dt F xf xf xf xxkxkxx 3 0 1 2 0 lim 1 k x f kx 由 F x 与 k x同阶无穷小及 0 0 f 可见3k 故选 C 5 四阶行列式 44 33 22 11 00 00 00 00 ab ab ba ba 的值等于 A 12341 2 3 4 a a a abb b b B 1 2341 2 3 4 a a a abb b b C 121 2343 4 a abba ab b D 232 3141 4 a ab ba abb 答 答 应选 D 解 解 根据拉普拉斯展开定理 得 原式 22112 3 2 3 232 3141 4 3344 1 abab a ab ba abb baba 故选 D 三 本题共三 本题共 2 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 10 分 分 1 求心形线 cos1 ar的全长 其中0 a 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 4 页 解 解 sinra 2 分 22 dsrrd 22 1cos sin 2 cos 2 adad 3 分 利用对称性 所求心形线的全长 0 0 22 cos8 sin8 22 sadaa 5 分 2 设10 1 x nn xx 6 1 n 1 2 试证数列 n x极限存在 并求此极限 证 证 由 1 10 x 及 21 6164xx 知 12 xx 假设对某正整数k有 1kk xx 则有 112 66 kkkk xxxx 故由归纳法知 对 一切正整数n 都有 1nn xx 即 n x为单调减少数列 3 分 又由 1 6 nn xx 显见0 1 2 n xn 即 n x有下界 根据极限存在准则 知lim n n x 存在 4 分 令lim n n xa 对 1 6 nn xx 两边取极限 得6aa 从而 2 60aa 因此 32aa 或 因为0 1 2 n xn 所以0a 舍去2a 故极限值3a 5 分 四 本题共四 本题共 2 小题 每小题小题 每小题 6 分 满分分 满分 12 分 分 1 计算曲面积分 S zdxdydydzzx 2 其中 S 为有向曲面 22 yxz 10 z 其法向量与z轴正向的夹角为锐角 解一 解一 以 1 S表示法向量指向z轴负向的有向平面 22 1 1 zxy D为 1 S在XOY 平面上的投影区域 则 1 2 SD xz dxdyzdxdydxdy 2 分 记 表示由S和 1 S所围的空间区域 则由高斯公式知 1 2 2 1 S S xz dxdyzdxdydv 2 24 2111 31 0 000 3 36 6 242 r rr drdrdzrrdr 5 分 因此 1 3 2 22 S xz dxdyzdxdy 6 分 解二 解二 以 yzxy DD表示 S 在 YOZXOY平面平面上的投影区域 则 2 S x z dxdy zdxdy 2222 2 2 yzyzxy DDD zyzdydzzyz dydzxy dxdy 222 4 yzxy DD zy dydzxy dxdy 2 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 5 页 其中 2 3 111 222 2 10 4 1 3 yz y D z y dydzdyz y dzydy 4 2 0 44 3 1sin cos 33 4 2 24 yt tdt 21 222 00 2 xy D xydxdydrrdr 5 分 所以 1 2 4 222 S xz dxdyzdxdy 6 分 2 设变换 ayxv yxu2 可把方程06 2 22 2 2 y z yx z x x 简化为0 2 vu z 求常数a 解 解 2 zzzzzz a xuvyuv 1 分 2222 222 2 zzzz xuu vv 2222 22 2 2 zzzz aa x yuu vv 2222 2 222 44 zzzz aa yuu vv 4 分 将上述结果代入原方程 经整理后得 22 2 2 105 6 0 zz aaa u vv 依题意知a应满足 2 60 1050aaa 且 解之得3a 6 分 五 本题满分五 本题满分 7 分 分 求级数 2 2 2 1 1 n n n 的和 解 解 设 2 2 1 1 n n x S xx n 1 分 则 2 111 211 n n S xx nn 其中 1 221 111 11 nnn nnn xxxxx nnn 23 111 0 1 nn nn xxx nxn 3 分 设 1 1 n n g xx n 则 1 11 11 1 1 nn nn g xxxx nx 于是 00 0 ln 1 1 1 xxdt g xg xgg t dtxx t 从而 2 1 ln 1 ln 1 222 xx S xxxx x 2 21 ln 1 10 42 xx xxx x x 曲线 xfy 上点 xfx处的切线在y轴上 的截距等于 x dttf x 0 1 求 xf的一般表达式 解 解 曲线 yf x 上点 x f x处的切线方程为 Yf xfx Xx 1 分 令0X 得截距 Yf xxfx 3 分 由题意 知 0 1 x f t dtf xxfx x 即 0 x f t dtx f xxfx 上式对x求导 化简得 0 xfxf x 5 分 即 0 d xfx dx 积分得 1 x fxC 因此 12 lnf xCxC 其中 12 C C为任意常数 7 分 七 本题满分七 本题满分 8 分 分 设 xf在 1 0上具有二阶导数 且满足条件axf bxf 其中ba 都是非负常数 c是 0 1内的任意一点 证明 2 2 b acf 证 证 2 2 fxc f xf cf c xc 其中 01cxc 2 分 在 式中令0 x 则有 2 1 1 0 0 0 01 2 fc ff cfccc 在 式中令1x 则有 2 2 2 1 1 1 01 2 fc ff cfccc 时 有 fxM 故由拉格朗日中值定理 当xX 时 有 f xf XfxXM xX 即 f xf XM xX 因此lim x f x 故选 D 4 在区间 内 方程 11 42 cos0 xxx A 无实根 B 有且仅有一个实根 C 有且仅有二个实根 D 有无穷多个实根 答 答 应选 C 解 解 令 11 42 cosf xxxx 知 f x为偶函数 故曲线 yf x 关于y轴对 称 因此可先考虑 0f x 在 0 内实根的情况 由于0 x 时 有 31 42 11 sin 42 fxxxx 所以当 0 x 时 0fx 即 f x在 0 内单 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 12 页 增 而 0 10f 因此 0f x 在 0 上有唯一实根 而当x 时 显然有 0f x 所以 f x在 无实根 因此 f x在 0 上有唯一实根 再利用 f x关于y轴对称的性 知 0f x 在 上有且仅有两个实根 故选 C 5 设 f x g x在区间 a b上连续 且 g xf xm m为常数 则曲线 yg x yf x xa 及xb 所围成图形绕直线ym 旋转而成的旋转体体积为 A b a dxxgxfxgxfm 2 B b a dxxgxfxgxfm 2 C b a dxxgxfxgxfm D b a dxxgxfxgxfm 答 答 应选 B 解 解 由题意 22 2 dVm g xmf xdxmf xg xf xg x 所以所求旋转体的体积为 2 b a Vmf xg xf xg x dx 故选 B 三 本题共三 本题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分 分 1 计算 2ln 0 2 1dxe x 解一 解一 原式 ln2 ln2ln2 22 200 0 11 1 x xxxx x e dx eedxee e 3 分 ln2 2 0 33 ln 1 ln 23 22 xx ee 5 分 解二 解二 令sin x et 则 cos sin t dxdt t 原式 2 222 666 cos1 sin sinsin t dtdttdt tt 3 分 2 6 33 ln csccot ln 23 22 tt 5 分 2 求 x dx sin1 解一 解一 原式 2 1 sin cos x dx x 2 分 1 tan cos xC x 5 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 13 页 解二 解二 原式 2 22 sec 2 cossin 1tan 222 x dx dx xxx 3 分 2 1tan 2 2 2 1tan 1tan 22 x d C xx 5 分 3 设 2 0 22 t xf u du yf t 其中 f u具有二阶导数 且 0f u 求 2 2 d y dx 解 解 2 dx f t dt 22 4 dy tf tf t dt 所以 22 2 2 4 4 dy dytf tf t dt tf t dx dxf t dt 2 分 2222 22 14 2 d yddyf tt ft dx dxdt dxf t dt 5 分 4 求函数 f x x x 1 1 在0 x 点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式 解 解 2 1 1 f x x 1 1 2 1 2 1 1 k k k k fxkn x 3 分 故 1 21 2 2 122 1 2 1 1 n nnn n x f xxxx 在0与x之间 5分 5 求微分方程 2 xyy 的通解 解一 解一 对应的齐次方程的特征方程为 2 0 解之得0 1 故齐次方程的通解为 12 x yCC e 2 分 设非齐次方程的特解为 2 x axbxC 代入原方程得 1 1 2 3 abc 因此 原方程的通解为 32 12 1 2 3 x yxxxCC e 5 分 解二 解二 令p y 代入原方程得 2 ppx 2 分 故 22 00 22 xxxxxx pex e dxCex exeeC 再积分得到 2 0 22 x yxxc edx 32 12 1 2 3 x xxxCC e 5 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 14 页 解三 解三 原方程为 2 yyx 两边积分得 3 0 1 3 yyxC 3 分 3 02 1 3 xx yexC e dxC 32 02 1 366 3 xxxxxx ex ex exeeC eC 32 12 1 2 3 x xxxCC e 5 分 6 设有一正椭圆柱体 其底面的长 短轴分别为22ab 用过此柱 体底面的短轴且与底面成 解 2 0 2 1612 21 1 21 3 2 xx xx xx xf 1 写出 f x的反函数 g x的表达式 2 问 g x是否有间断点与不可导点 若有 指出这些点 解 解 1 由题设 f x的反函数为 3 1 1 2 18 16 8 12 x x g xxx x x 4 分 2 g x在 内处处连续 没有间断点 5 分 g x的不可导点是 01xx 及 8 分 注 注 多写一个不可导点8x 扣 1 分 六 本题满分六 本题满分 8 分 分 设函数 yy x 由方程1222 223 xxyyy所确定 试求 yy x 的驻点 并判 别它们是否为极值点 解 解 对原方程两边求导可得 2 320 y yyyxyyx 2 分 令0y 得y x 将此代入原方程有 32 210 xx 从而解得唯一的驻点1x 5 分 式两边求导 得 22 32 2 31 210yyx yyyy 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 16 页 因此 1 1 1 0 2 y 故驻点1x 是 yy x 的极小值点 8 分 七 本题满分七 本题满分 8 分 分 设 f x在区间 a b上具有二阶导数 且 0f af b 0 fa fb 证明存在 a b 和 ba 使 0f 及0 f 证一 证一 先用反证法证明存在 a b 使 0f 若不存在 a b 使 0f 则在区间 a b内恒有 0f x 或 0f x 对 0f x 对 0 0faf b lim0 xb f x xb 故存在 11 xa a 和 22 xbb 使 1 0f x 及 2 0f x 其中 12 为充分小的正数 显然 12 xx 在区间 12 x x上应用介值定理知 存在一点 12 x xa b 使得 0f 5 分 以下同证一 八 本题满分八 本题满分 8 分 分 设 f x为连续函数 1 求初值问题 0 0 x yayf x y 的解 yy x 其中a是正常数 2 若 f xk k为常数 证明 当0 x时 有 1 ax k y xe a 证一 证一 1 原方程的通解为 axaxax y xef x e dxCeF xC 2 分 其中 F x是 ax f x e的任一原函数 由 0 0y 得 0 CF 故 0 0 x axaxat y xeF xFef t e dt 4 分 2 0 x axat y xef t e dt 6 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 17 页 0 x axat kee dt 1 1 0 axaxax kk eeex aa 8 分 证二 证二 在原方程的两端同乘以 ax e 得 axaxax y eayef x e 从而 axax yef x e 2 分 所以 0 x axat yef t e dt 或 0 x axat yef t e dt 4 分 2 同证一 数数 学 试卷四 学 试卷四 一 填空题 本题共一 填空题 本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分 分 1 设方程 y yx 确定y是x的函数 则dy 答 答 应填 1 ln dx xy 解 解 方程两边取对数 有lnlnxyy 再两边对x求导 得 11 lnyyyy xy 解得 1 1ln y xy 于是有 1 ln dx dyy dx xy 2 设 cxdxxxfarcsin 则 xf dx 答 答 应填 2 3 1 1 3 xC 解 解 在等式 arcsinxf x dxxC 两边对x求导 得 2 1 1 xf x x 于是有 2222 3 11 11 1 1 23 dx xx dxx dxxC f x 3 设 00 xy是抛物线cbxaxy 2 上的一点 若在该点的切线过原点 则系数 a b c 应满足的关系是 答 答 应填 0 c a 或 2 0 axc b任意 解 解 由 00 xy是cbxaxy 2 上的点 知 2 000 yaxbxc 又2yaxb 00 2y xaxb 故过 00 xy的切线方程为 2 0000 2 yaxbxcaxb xx 因此切线过原点 所以有 22 0000 2axbxcaxbx 即 2 0 axc 因此系数 a b c满 足的关系式为0 c a 或 2 0 axc b任意 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 18 页 4 设A 123 2222 123 1111 123 1111 n n nnnn n aaaa aaaa aaaa X 1 2 3 n x x x x B 1 1 1 1 其中 1 2 ij aa ij i jn 则线性方程组BXAT 的解是 答 答 应填 1 0 0 T X 解 解 易见 A是范德蒙行列式 故由 1 2 ij aa ij i jn 知 1 0 T ij j i n AAaa 由克莱姆法则 知 T A XB 有唯一解 且其解为 1 2 j j T D xjn A 其中 j D是把 T A中第j列元素用B代替后所得行列式 显然 1 T DA 2 0 n DD 故 T A XB 的解为 1 0 0 T X 5 设由来自正态总体 2 0 9 XN 为9的简单随机样本 得样本均值5 X 则未知参 数 的置信度为0 95的置信区间是 答 答 应填 4 412 5 588 解 解 因总体 2 0 9 XN 故 0 1 0 99 X ZN 所以当置信度为10 95 时 标准正态分布的分位数 20 025 1 96ZZ 因此 的置信度为 0 95 的置信区间为 22 0 90 9 51 96 51 96 4 412 5 588 99 XuXu nn 二 选择题 本题共二 选择题 本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分 分 1 累次积分drrrrfd 2 0 cos 0 sin cos 可以写成 A dxyxfdy yy 1 00 2 B dxyxfdy y 1 0 1 0 2 C dyyxfdx 1 0 1 0 D dyyxfdx xx 1 00 2 答 答 应选 D 解 解 由题意 在极坐标系下累次积分的积分区域 0 0cos 2 Drr 由0cosr 知 2 0cosrr 即 22 0 xyx 所以在直角坐标系下 有 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 19 页 2 01 0 Dx yxyxx 从而原式 2 1 00 x x dxf x y dy 故选 D 2 下述各选项正确的是 A 若 2 1 n n u 和 2 1 n n v 都收敛 则 2 1 nn n uv 收敛 B 若 1 n n n uv 收敛 则 2 1 n n u 和 2 1 n n v 都收敛 C 若级数 1 n n u 发散 则 1 n u n D 若级数 1 n n u 收敛 且 nn uv 1 2 n 则级数 1 n n v 也收敛 答 答 应选 A 解 解 对选项 A 因 222 2 nnnnnn uvuvu v 而由 2 1 n n u 和 2 1 n n v 收敛 及 22 2 nnnn u vuv 知 1 2 nn n u v 绝对收敛 从而 2 1 nn n uv 收敛 故选 A 注 注 利用反例 2 1 n u n 1 n v n 可排除选项 B 利用反例 1 2 n u n 可排除选项 C 由于选项 D 缺少 正项 这一前提 因而也应排除 3 设n阶矩阵A非奇异 2 n A是矩阵A的伴随矩阵 则 A 1 n AAA B 1 n AAA C 2 n AAA D 2 n AAA 答 答 应选 C 解 解 由矩阵A非奇异 知A可逆 所以有 1 AA A 于是 12 1 111111 nn AA AA AA AAAAAAA 故选 C 4 设有任意两个n维向量组 12 m 和 12 m 若存在两组不全为零的 12 m 和 12 m k kk 使 111111 0 mmmmmm kkkk 则 A 12 m 和 12 m 都线性相关 B 12 m 和 12 m 都线性无关 C 11221122 mmmm 线性无关 D 11221122 mmmm 线性相关 答 答 应选 D 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 20 页 解 解 因存在两组不全为零的 12 m 和 12 m k kk 使得 111111 0 mmmmmm kkkk 即 111111 0 mmmmmm kk 故由向量组线性相关定义 知 11221122 mmmm 线性相关 故选 D 5 已知0 1P B 1 求p在何范围变化时 使相应销售额增加或减少 2 要使销售额最大 商品单价p应取何值 最大销售额是多少 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 23 页 解 解 1 设售出商品的销售额为R 则 a RPQPc ab 令 2 2 0 abc Pb R pb 得 0 0 abb pbabc cc 2 分 当 0 b pabc c 所以随p的增加 相应的销售额也增加 4 分 当 b pabc c 时 有0R 时 原方程化为 2 1 dz zxzz dx 2 1 dzdx x z 3 分 其通解为 22 1 ln 1 ln1 C zzxCzz x 或 5 分 代回原变量 得通解 22 0 yxyC x 6 分 当0 x 时相同 九 本题满分九 本题满分 8 分 分 设矩阵A 0100 1000 001 0012 y 1 已知A的一个特征值为3 试求y 2 求矩阵P 使 T APAP为对角矩阵 解 解 1 因为 22 1 2 21 0IAyy 当3 时 代入上式解得2y 3 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 24 页 于是 0100 1000 0021 0012 A 2 由 T AA 得 2 TT APAPP A P 而矩阵 2 1000 0100 0054 0045 A 4 分 考虑二次型 222222222 12343412344 49 5585 55 T X A Xxxxxx xxxxxx 6 分 令 112233444 4 5 yx yxyxxyx 即 11 22 33 44 1000 0100 0014 5 0001 xy xy xy xy 取 1000 0100 4 001 5 0001 P 则有 1000 0100 0050 9 00 0 5 T APAP 8 分 2 另解 另解 2 A的特征值为 1 1 三重 2 9 5 分 对应于 1 1 的特征向量为 123 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 TTT 经正交标准 化后 得向量组 123 11 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 22 TTT 6 分 对应于 2 9 的特征向量为 4 0 0 1 1 T 经单位化后 得 4 11 0 0 22 T 7 分 令 1234 1000 0100 11 00 22 11 00 22 P 则 2 1000 0100 0010 00 09 TT P A PAPAP 8 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 25 页 十 本题满分十 本题满分 8 分 分 设向量 12 t 是齐次线性方程组0AX 的一个基础解系 向量 不是方程组 0AX 的解 即0A 试证明向量组 12 t 线性无关 解 解 设有一组数 12 t k k kk 使得 1 0 t ii i kk 1 分 即 11 tt iii ii kkk 1 2 分 上式两边同时左乘矩阵A 有 11 0 tt iii ii kk Ak A 因为0A 故 1 0 t i i kk 2 4 分 从而 由 1 式得 1 0 t ii i k 由于向量组 1 t 是基础解系 所以 12 0 t kkk 6 分 因而由 2 式得0k 因此向量组 12 t 线性无关 8 分 十一 本题满分十一 本题满分 7 分 分 假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0 2 机器发生故障时全天停止工作 若一周 5 个工作日里无故障 可获得利润 10 万元 发生一次故障仍可获得利润 5 万元 发生二次 故障多获得利润 0元 发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元 求一周内期望利润是多少 解 解 以X表示一周五天内机器发生故障的天数 则X服从参数为 5 0 2 的二项分布 即 5 5 0 20 8 0 1 2 3 4 5 kkk P XkCk 2 分 于是 5 0 0 80 328P X 14 5 1 0 2 0 80 410P XC 3 分 223 5 2 0 20 80 205P XC 3 1 0 1 2 0 057P XP xP xP x 4 分 以 Y 表示所获利润 则 Yf X 10 0 5 1 0 2 2 3 X X X X 若 若 若 若 5 分 所以10 0 3285 0 4100 0 2052 0 0575 216EY 万元 7 分 十二 本题满分十二 本题满分 6 分 分 考虑一元二次方程 2 0 xBxC 其中 B C分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 26 页 的点数 求方程有实根的概率p和有重根的概率q 解 解 一枚色子 骰子 掷两次 其基本事件总数为 36 方程组有实根的充分必要条件是 2 2 4 4 B BC C 2 分 易见 B 1 2 3 4 5 6 使 2 4CB 的基本事件个数 0 1 2 4 6 6 使 2 4CB 的基本事件个数 0 1 0 1 0 0 4 分 因此 使方程组有实根的基本事件个数为1246619 于是 19 36 p 5 分 同理 使方程组有重根的基本事件个数为1 12 于是 21 3618 q 6 分 十三 本题满分十三 本题满分 6 分 分 设 12 n XXX 独立且与X同分布 k k EX 1 2 3 4 k 求证 当n充分大时 n i i n X n z 1 2 1 近似服从正态分布 并求出其分布参数 解 解 依题意 12 n XXX 独立同分布 于是 222 12 n XXX 也独立同分布 由 1 2 3 4 k k EXk 有 1 分 2 2i EX 24222 42 iii DXEXEX 2 分 2 2 1 1 n ni i EZEX n 3 分 22 42 2 1 11 n ni i DZDX nn 4 分 根据中心极限定理 2 2 42 n n Z U n 的极限分布是标准正态分布 即当n充分大时 n Z近似服从参数为 2 42 2 aa a n 的正态分布 6 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 27 页 数 学 试卷五 数 学 试卷五 一 填空题 本题共一 填空题 本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分 分 1 同数学四 第一 1 题 2 同数学四 第一 2 题 3 设 1ln 2 xxy 则 3x y 答 答 应填 5 32 解 解 因 222 121 1 12 11 x y xxxx 2 32 3 2 2 1 1 xx y xx 355 2222 222 3 1 1 2 1 21 2 yxxxxxx 故 3 5 32 x y 4 五阶行列式 1000 1100 0110 0011 00011 aa aa aa aa a 答 答 应填 2345 1 aaaaa 解 解 按第 1 列展开 得递推关系式 543 1 Da DaD 于是有 2 54332332 1 1 1 1 1 Da DaDaa DaDaDaaDaa D 222 21221 1 1 1 1 1 1 aaa DaDaa Daa DaaaD 22222 21 1 1 1 1 1 1 1 1 aa DaaaDaaaaaaaa 222345 1 1 1 1 aaaaaaaaaa 5 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件 第i个零件是不合格品的概率 1 1 2 3 1 i pi i 以X表示3个零件中合格品的个数 则 2 P X 答 答 应填 11 24 解 解 设 i A表示第i个零件为不合格品 1 2 3 i 则依题意 知 123 A A A相互独立 且 1 1 2 P A 2 1 3 P A 3 1 4 P A 于是有 123123123 2 P XP A A AA A AA A A 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 28 页 123123123 11 24 P A P A P AP A P A P AP A P A P A 二 选择题 本题共二 选择题 本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分 分 1 设0 00 xfxf 0 0 x f 则下列选项正确的是 A 0 x f 是 x f 的极大值 B 0 xf是 xf的极大值 C 0 xf是 xf的极小值 D 00 xfx是曲线 xfy 的拐点 答 答 应选 D 解 解 对选项 A 由 0 0fx 及0 0 x f 知 0 x f 是 x f 的极小值 故排除 对选项 B 和 C 由 0 0fx 知 0 x是 xf的驻点 但由于 0 0fx 无法判断该 驻点是否极值点 所以选项 B 和 C 也应排除 对选项 D 由 0 0fx 及 0 0fx 知 00 0 0 00 limlim0 xxxx fxfxfx fx xxxx 于是在 0 x的某邻域内 有 0 0 fx xx 因此在 0 x的左侧 0fx 曲线凹 此表明 00 xfx是曲线 xfy 的拐点 故选 D 2 同数学三 第二 3 题 3 同数学四 第二 3 题 4 同数学四 第二 4 题 5 设 A B为任意两个事件 且AB 0P B 则下列选项必然成立的是 A P AP A B D P AP A B 答 答 应选 B 解 解 由AB 知ABA 故由0 1P B 得 P ABP A P A BP A P BP B 因而选 B 三 本题满分三 本题满分 6 分 分 同数学四 第三题 四 本题满分四 本题满分 7 分 分 设 2 0 xy t f x yedt 求 2 22 2 2 2 y f x y yx f x f y x 解解 22 x y f ye x 2 分 22 x y f xe y 22 2 3 2 2 x y f xy e x 4 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1996 年数学试题详解及评分参考 1996 年 第 29 页 22 2 3 2 2 x y f x ye y 22 2 22 12 x y f x ye x y 6 分 于是 22 222 22 22 x y xffyf e yxx yxy 7 分 五 本题满分五 本题满分 6 分 分 同数学四 第五题 六 本题满分六 本题满分 7 分 分 同数学四 第七题 分值不同 七 本题满分七 本题满分 9 分 分 已知一抛物线