2008年考研数二真题、标准答案及解析.pdf

钻石卡高级辅导系统 全程 全方位 系统化解决考研所有问题 成功率趋近 100 1 20082008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设 2 1 2 f xxxx 则 fx的零点个数为 A0 B1 C2 D3 2 曲线方程为 yf x 函数在区间 0 a上有连续导数 则定积分 0 a t afx dx A曲边梯形ABCD面积 B梯形ABCD面积 C曲边三角形ACD面积 D三角形ACD面积 3 在下列微分方程中 以 123 cos2sin2 x yC eCxCx 123 C C C为任意常数 为通解的是 A 440yyyy B 440yyyy C 440yyyy D 440yyyy 5 设函数 f x在 内单调有界 n x为数列 下列命题正确的是 A若 n x收敛 则 n f x收敛 B若 n x单调 则 n f x收敛 C若 n f x收敛 则 n x收敛 D若 n f x单调 则 n x收敛 6 设函数f连续 若 22 22 uv D f xy F u vdxdy xy 其中区域 uv D为图中阴影部分 则 F u A 2 vf u B 2 v f u u C vf u D v f u u 7 设A为n阶非零矩阵 E为n阶单位矩阵 若 3 0A 则 AEA 不可逆 EA 不可逆 BEA 不可逆 EA 可逆 CEA 可逆 EA 可逆 DEA 可逆 EA 不可逆 钻石卡高级辅导系统 全程 全方位 系统化解决考研所有问题 成功率趋近 100 2 8 设 12 21 A 则在实数域上与A合同的矩阵为 A 21 12 B 21 12 C 21 12 D 12 21 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 已知函数 f x连续 且 2 0 1 cos lim1 1 x x xf x ef x 则 0 f 10 微分方程 2 0 x yx edxxdy 的通解是 y 11 曲线 sinlnxyyxx 在点 0 1处的切线方程为 12 曲线 2 3 5 yxx 的拐点坐标为 13 设 x y y z x 则 1 2 z x 14 设 3 阶矩阵A的特征值为2 3 若行列式248A 则 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出文字说明 证明过程或解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤演算步骤 15 本题满分 9 分 求极限 4 0 sinsin sinsin lim x xxx x 16 本题满分 10 分 设函数 yy x 由参数方程 2 0 ln 1 t xx t yu du 确定 其中 x t是初值问题 0 20 0 x t dx te dt x 的解 求 2 2 y x 17 本题满分 9 分 求积分 1 20 arcsin 1 xxdx x 18 本题满分 11 分 求二重积分max 1 D xydxdy 其中 02 02 Dx yxy 19 本题满分 11 分 钻石卡高级辅导系统 全程 全方位 系统化解决考研所有问题 成功率趋近 100 3 设 f x是区间 0 上具有连续导数的单调增加函数 且 0 1f 对任意的 0 t 直线 0 xxt 曲线 yf x 以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体 若该旋转体的侧面积 在数值上等于其体积的 2 倍 求函数 f x的表达式 20 本题满分 11 分 1 证明积分中值定理 若函数 f x在闭区间 a b上连续 则至少存在一点 a b 使得 b a f x dxfba 2 若 函 数 x 具 有 二 阶 导 数 且 满 足 3 2 2 1 2 x dx 证 明 至 少 存 在 一 点 1 3 0 使得 21 本题满分 11 分 求函数 222 uxyz 在约束条件 22 zxy 和4xyz 下的最大值与最小值 22 本题满分 12 分 设 矩 阵 2 2 21 2 1 2 n n a aa A aa 现 矩 阵A满 足 方 程A XB 其 中 1 T n Xxx 1 0 0B 1 求证 1 n Ana 2 a为何值 方程组有唯一解 并求 1 x 3 a为何值 方程组有无穷多解 并求通解 23 本题满分 10 分 设A为 3 阶矩阵 12 为A的分别属于特征值1 1 特征向量 向量 3 满足 323 A 1 证明 123 线性无关 2 令 123 P 求 1 P AP 钻石卡高级辅导系统 全程 全方位 系统化解决考研所有问题 成功率趋近 100 4 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学二二试题试题解析解析 一 选择题一 选择题 1 答案 D 详解 因为 0 1 2 0fff 由罗尔定理知至少有 1 0 1 2 1 2 使 12 0ff 所以 fx 至少有两个零点 又 fx 中含有因子x 故0 x 也是 fx 的零点 D 正确 本题的难度值为 0 719 2 答案 C 详解 0 0000 aaaa a xfx dxxdf xxf xf x dx af af x dx 其中 af a是矩形 ABOC 面积 0 a f x dx 为曲边梯形 ABOD 的面积 所以 0 a xfx dx 为曲边三角形的面 积 本题的难度值为 0 829 3 答案 D 详解 由微分方程的通解中含有 x e cos2x sin2x知齐次线性方程所对应的特征方程有根 1 2rri 所以特征方程为 1 2 2 0rri ri 即 32 440rrr 故以已知函数为通解的 微分方程是40yyy 本题的难度值为 0 832 4 答案 A 详解 0 1xx 时 f x无定义 故0 1xx 是函数的间断点 因为 0000 ln11 lim limlimlim csc 1 csc cot xxxx xx f x xxxx 2 00 sin limlim0 coscos xx xx xxx 同理 0 lim 0 x f x 又 1111 ln1 lim limlimsinlimsin1sin1 1 xxxx x f xx xx 所以 0 x 是可去间断点 1x 是跳跃间断点 本题的难度值为 0 486 5 答案 B 详解 因为 f x在 内单调有界 且 n x单调 所以 n f x单调且有界 故 n f x一定存在 钻石卡高级辅导系统 全程 全方位 系统化解决考研所有问题 成功率趋近 100 5 极限 本题的难度值为 0 537 6 答案 A 详解 用极坐标得 2 22 2 22011 vuu f r r D f uv F u vdudvdvrdrvf r dr uv 所以 2 F vf u u 本题的难度值为 0 638 7 答案 C 详解 23 EA EAAEAE 23 EA EAAEAE 故 EA EA 均可逆 本题的难度值为 0 663 8 答案 D 详解 记 12 21 D 则 2 12 14 21 ED 又 2 12 14 21 EA 所以A和D有相同的特征多项式 所以A和D有相同的特征值 又A和D为同阶实对称矩阵 所以A和D相似 由于实对称矩阵相似必合同 故D正确 本题的难度值为 0 759 二 填空题二 填空题 9 答案 2 详解 2 22 22 000 1 cos 2sin 2 2sin 2 limlimlim 2 4 1 x xxx xf xxf xxf xf x x f xxf x ef x 0 11 lim 0 1 22 x f xf 所以 0 2f 本题的难度值为 0 828 10 答案 x xeC 详解 微分方程 2 0 x yx edxxdy 可变形为 x dyy xe dxx 所以 11 1 dxdx xxx xx yexe edxCxxedxCxeC x 本题的难度值为 0 617 钻石卡高级辅导系统 全程 全方位 系统化解决考研所有问题 成功率趋近 100 6 11 答案 1yx 详解 设 sin ln F x yxyyxx 则 1 cos 1 1 cos x y yxy Fdyyx dxF xxy yx 将 0 1y 代入得 0 1 x dy dx 所以切线方程为10yx 即1yx 本题的难度值为 0 759 12 答案 1 6 详解 5 32 3 5yxx 2 31 3 1 3 51010 2 333 x yxx x 1 34 3 4 3 101010 1 999 x yxx x 1x 时 0y 0 x 时 y 不存在 在1x 左右近旁 y 异号 在0 x 左右近旁0y 且 1 6y 故曲线的拐点为 1 6 本题的难度值为 0 501 13 答案 2 ln2 1 2 详解 设 yx uv xy 则 v zu 所以 1 2 1 ln vv zzuzvy vuuu xuxvxxy 2 ln1 1 ln x y v vyuyy u uxyxyx 所以 1 2 2 ln2 1 2 z x 本题的难度值为 0 575 14 答案 1 详解 2 36A 3 2 2 AA 钻石卡高级辅导系统 全程 全方位 系统化解决考研所有问题 成功率趋近 100 7 3 2648 1 本题的难度值为 0 839 三 解答题三 解答题 15 详解 方法一方法一 43 00 sinsin sin sinsinsin sin limlim xx xxxxx xx 2 222 000 1 sin coscos sin cos1 cos sin 1 2 limlimlim 3336 xxx x xxxx xxx 方法二方法二 33 1 sin 6 xxxo x 33 1 sin sin sinsin sin 6 xxxox 44 444 00 sinsin sin sinsin sin 1 limlim 66 xx xxxxox xxx 本题的难度值为 0 823 16 详解 方法一方法一 由20 x dx te dt 得2 x e dxtdt 积分并由条件 0t x 得 2 1 x et 即 2 ln 1 xt 所以 2 22 2 ln 1 2 1 ln 1 2 1 dy dytt dt tt dxt dx dtt 22 22 2 2 1 ln 1 2 ln 1 2 2 1 d tt d yddyttt dt dxt dxdxdx dtt 22 1 ln 1 1 tt 方法二方法二 由20 x dx te dt 得2 x e dxtdt 积分并由条件 0t x 得 2 1 x et 即 2 ln 1 xt 所以 2 22 2 ln 1 2 1 ln 1 2 1 x dy dytt dt tte x dxt dx dtt 所以 2 2 1 x d y ex dx 本题的难度值为 0 742 17 详解 方法一方法一 由于 2 2 1 arcsin lim 1 x xx x 故 2 1 20 arcsin 1 xxdx x 是反常积分 钻石卡高级辅导系统 全程 全方位 系统化解决考研所有问题 成功率趋近 100 8 令arcsinxt 有sinxt 0 2 t 22 1 2 222 20000 arcsinsincos2 cossin cos22 1 xxttttt dxtdtttdtdt t x 22 2 2 22 00 0 0 1sin21 sin2sin2 441644 ttt tdttdt 22 2 0 11 cos2 168164 t 方法二 方法二 2 1 20 arcsin 1 xxdx x 1 22 0 1 arcsin 2 x dx 1 2 11 2222 00 0 1 arcsin arcsin arcsin 28 xxxx dxxx dx 令arcsinxt 有sinxt 0 2 t 1 22 22 000 11 arcsin sin2cos2 24 xx dxtdtt dt 2 2 2 2 0 0 111 cos2 cos2 42164 ttttdt 故 原式 2 1 164 本题的难度值为 0 631 18 详解 曲线1xy 将区域分成两 个区域 1 D和 23 DD 为了便于计算继续对 区域分割 最后为 max 1 D xydxdy 123 DDD xydxdydxdydxdy 11 2222 2 111 000 22 11 x x dxdydxdydxxydy 15 12ln2ln2 4 19 ln2 4 本题的难度值为 0 524 O 0 5 2 x D1 D3 D2 钻石卡高级辅导系统 全程 全方位 系统化解决考研所有问题 成功率趋近 100 9 19 详解 旋转体的体积 2 0 t Vfx dx 侧面积 2 0 2 1 t Sf xfx dx 由题设条件知 22 00 1 tt fx dxf xfx dx 上式两端对t求导得 22 1 ftf tft 即 2 1yy 由分离变量法解得 2 1 l n 1 yytC 即 2 1 t yyC e 将 0 1y 代入知1C 故 2 1 t yye 1 2 tt yee 于是所求函数为 1 2 xx yf xee 本题的难度值为 0 497 20 详解 I 设M与m是连续函数 f x在 a b上的最大值与最小值 即 mf xM xa b 由定积分性质 有 b a m baf x dxM ba 即 b a f x dx mM ba 由连续函数介值定理 至少存在一点 a b 使得 b a f x dx f ba 即 b a f x dxfba II 由 I 的结论可知至少存在一点 2 3 使 3 2 32 x dx 又由 3 2 2 x dx 知 23 对 x 在 1 2 2 上分别应用拉格朗日中值定理 并注意到 1 2 2 得 1 2 1 0 2 1 1 12 2 2 0 2 1 23 在 12 上对导函数 x 应用拉格朗日中值定理 有 21 21 0 12 1 3 本题的难度值为 0 719 21 详解 钻石卡高级辅导系统 全程 全方位 系统化解决考研所有问题 成功率趋近 100 10 方法一方法一 作拉格朗日函数 22222 4 F x y zxyzxyzxyz 令 22 220 220 20 0 40 x y z Fxx Fyy Fz Fxyz Fxyz 解方程组得 111222 1 1 2 2 2 8 x y zxy z 故所求的最大值为 72 最小值为 6 方法二方法二 问题可转化为求 224224 2uxyxx yy 在 22 4xyxy 条件下的最值 设 44222222 2 4 F x yuxyx yxyxyxy 令 32 32 22 442 1 2 0 442 1 2 0 40 x y Fxxyxx Fyx yyy Fxyxy 解得 1122 1 1 2 2 x yxy 代入 22 zxy 得 12 2 8zz 故所求的最大值为 72 最小值为 6 本题的难度值为 0 486 22 详解 I 证法一证法一 2 2 2 21 2 2 21 21 3 2101 2 2 1 2 2 1 1 2 2 a a a aa aa aa Arar aa aa 1 21 3 01 2 4 0134 1 2 1 3 23 1 1 0 n nn a a a naana rarana nn na n 证法二证法二 记 n DA 下面用数学归纳法证明 1 n n Dna 钻石卡高级辅导系统 全程 全方位 系统化解决考研所有问题 成功率趋近 100 11 当1n 时 1 2Da 结论成立 当2n 时 2 2 2 21 3 2 a Da aa 结论成立 假设结论对小于n的情况成立 将 n D按第 1 行展开得 2 2 1 2 1 021 21 2 1 2 nn a a aa DaD aa 2122 12 22 1 1 nnn nn aDa Danaanana 故 1 n Ana 证法三证法三 记 n DA 将其按第一列展开得 2 12 2 nnn DaDa D 所以 2 11212 nnnnnn DaDaDa Da DaD 22 2321 nn nn aDaDaDaDa 即 12 122 2 nnnn nnnn DaaDaa aaDaa D 21 21 2 1 nnnn naaDnaaD 1 1 2 1 nnn naaana II 因为方程组有唯一解 所以由AxB 知0A 又 1 n Ana 故0a 由克莱姆法则 将 n D的第 1 列换成b 得行列式为 2 22 1 1 22 1 1 1121 02121 22 11 22 n n n nnn a aaa