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4 高阶微商与高阶微分 1高阶微商物体运动规律瞬时速度 瞬时加速度 ，或 由此产生了高阶导数的概念一般地，设在可导，则仍是上的函数若也在可导，则称的微商为的二阶微商(二阶导数)，记为或或类似地可定义的微商为的三阶微商(三阶导数)，记为 或或定义的微商为的阶微商(阶导数)，记为 或下面给出几个常用的阶导公式设 (是正整数)， 若，则 若，则 例1 例2 设，求解 ，。研究规律，得 ， ， 由此我们不难归纳出 对于，则 例3 设，求解 ；方程两边再对求导并注意是的函数，得 2()； ；若，则 由数学归纳法得 例4 高阶微商的运算法则：若都是的函数1、 2、若，则 ，1，2 （莱布尼兹公式） 这里，函数的零阶导数理解为函数本身下面用数学归纳法证明事实上，时就是导数的乘积公式，设公式对成立，则 （令） 其中用等式 ， 由数学归纳法知公式对一切正整数成立。例4 设，求。解 由上面的规律易见，若 ，其中是正整数，则若，则 若，则 例6 设，求解 ， 故 注意，对用莱布尼兹公式当然可以，但显然是自找麻烦2高阶微分 函数的一阶微分是 其中和是两个独立的变量，现在把一阶微分视为的函数，如果它是可微的，则再求一次微分得 .上式称为函数的二阶微分，记为。把记为，即有 注意： 是自变量微分的平方，是函数的微分， 应理解为的二阶微分 类似地，可以定义的三阶微分 一般地， 的阶微分为 ，于是 这正是阶导数符号的由来。应搞清楚、和的差别阶微分的运算法则设都是的函数，则 ， 一阶微分具有形式不变性，即不论是对中间变量，还是对自变量，都有 ， 高阶微分是否也具有形式不变性呢?当是自变量时， ，当是自变量时， 是否仍成立？请看下例：设，当是自变量时有 又若，则复合函数为，故 但 可见当是中间变量时，不再成立，它少了一项所以高阶微分不再具有形式不变性 般地若，由一阶微分形式不变性有 由于这时是中间变量，故和不再独立，它们都是自变量的函数，在求二阶微分时应该用乘积的微分法则，即 与是自变量情形比较，它多了第二项，这就说明了高阶微分不具有形式
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