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三 线性系统的时域分析在经典控制理论中，常用的分析方法有：时域分析法、根轨迹法和频域分析法。时域分析法是，在给系统输入端施加典型信号时，用系统输出响应的时间函数分析系统的品质。该方法直观、准确，但很烦琐。3-1 系统时间响应的性能指标1 典型输入信号(略)2 动态过程和稳态过程a) 动态过程(P78)，过渡过程，瞬态过程；b) 稳态过程，时，系统的运动状态，稳态响应。3 动态性能和稳态性能a) 动态性能通常以系统的单位阶跃响应来定义动态性能指标(特征量)。系统稳态值记为,常常规范成1。延迟时间(delay)首次满足的时间；上升时间(rise)首次满足的时间(有振荡)，或(无振荡)；*峰值时间(peek)到达第一个峰值的时间；*超调量调节时间(settle)满足，的最小。b) 稳态性能系统响应典型输入信号，若时间趋于无穷时，系统输出量与输入量间有差值，称系统存在稳态误差。稳态误差是衡量系统控制精度的一种度量。r(t) c(t) 0 t4 理想系统的阶跃响应，。3-2 一阶系统的时域分析1 典型一阶系统 ；典型一阶系统只有一个常数，时间常数；2 一阶系统的单位阶跃响应，；，； ，；。无超调和峰值时间。图3-3。3 一阶系统的单位脉冲响应，；，；，；图3-4。4 一阶系统的单位速度响应，；，。，；稳态误差 。，说明一阶系统跟踪速度输入信号时存在稳态误差，其数值等于。图3-5。5 一阶系统的单位加速度响应，；。当足够大时，说明一阶系统不能跟踪加速度输入信号。 线性定常系统的重要特性：(P83,第二段及表3-2)线性定常系统对输入信号导数的响应，等于系统对对该信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。(线性常微分方程两边同时积分或微分，方程仍然成立)。通常，只需研究系统对阶跃输入的响应。3-3 二阶系统的时域分析二阶系统是控制系统中的典型系统，它的时域分析在控制系统分析中有重要意义。1 典型的二阶系统，。式中 阻尼系数；无阻尼自振荡频率(nature)；典型二阶系统有两个参数。系统有两个极点：极点在平面上的位置不同(值，见图3-9)，系统的性质不同，对输入信号的响应过程不同。二阶系统的单位脉冲响应：,，系统响应是无阻尼(自由)振荡形式；，式中 衰减系数，阻尼振荡频率， 系统响应是衰减振荡形式(欠阻尼响应)；，系统响应是无振荡衰减形式(临界阻尼响应)；，。系统响应是无振荡衰减形式(过阻尼响应)；，系统的响应可对照前面三项，可知：系统的响应是发散的。2 二阶系统的单位阶跃响应(图3-10)2.1 ，欠阻尼响应：，式中 或。系统响应是衰减振荡形式，趋于1；若，则，自由振荡。2.2 ，临界阻尼响应：该式表明，此时系统单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程。2.3 ，过阻尼响应记，。，当较大时，近似为。3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析为了使系统的性能尽可能地接近理想系统的阶跃响应，通常都使系统具有适度的超调量，以便系统有较快的响应速度，一般取；注意，有些系统，如化工生产过程中的许多过程，不允许出现超调情况。特征量或时域指标的计算依据定义及欠阻尼响应来计算，式中 或。3.1 计算延迟时间是一个超越方程，很难计算，近似计算式为3.2 计算上升时间，解得。3.3 计算峰值时间单位阶跃响应取极值等价于单位脉冲响应取值为零，即，解得 。3.4 计算超调量，即。3.5 计算调节时间采用近似计算：，；或，。例3-1：依据方框图计算系统的闭环传递函数，；，；，；4 过阻尼二阶系统的动态过程分析(略)根据二阶系统阶跃响应和特征量的定义近似计算。例3-2：在无超调条件下，使响应速度最快，应取；，；。，.5 二阶系统的单位速度响应(略)5.1 欠阻尼单位速度响应(可由单位阶跃响应积分得)，；。响应有稳态误差，大小与系统参数有关。(其它计算略)注：(3-29)推导如下，二阶系统单位速度响应的拉氏分解式是正确的，拉氏反变换为5.2 临界阻尼单位速度响应(略)，。5.3 过阻尼单位速度响应(略)记 ，。；，。例3-3 (课时不够时，不用)解：，；时，；过阻尼响应，使用5.3的计算式，；，此时。系统近似为一阶系统，等效时间常数。，。时，；欠阻尼响应，使用5.1的计算式，；。误差响应峰值时间，。时，；欠阻尼响应，使用5.1的计算式，；。误差响应峰值时间，。6 二阶系统性能的改善典型二阶系统的性能由系统参数确定，改善系统性能就是采取一些措施改动闭环系统的参数，满足系统的性能指标要求。更多的内容将在第六章中讨论。7 非零初始条件下二阶系统的响应过程传递函数是在零初始状态条件下，对系统微分方程作拉氏变换求得的，传递函数只反映系统输出对系统输入的响应关系。在需要考虑初始状态对系统输出影响时，作如下处理：设二阶系统为 ，初始状态：，；有；。非零初始条件只是给出系统在零输入条件下的演变的初始值，并不影响演变模态；如果系统极点都具有负实部，则；即在时间距开始时刻较长时，初始状态的影响可以忽略。8 系统中负实零点对系统响应的作用具有一个负实零点的规范二阶系统为，；。阶跃响应为典型二阶系统的阶跃响应与乘有的脉冲响应之和。响应曲线是两条曲线叠加组成，负实零点对系统的作用为： 仅在过渡过程开始阶段有较大影响； 负实零点使系统响应速度加快(和减小)； 系统的超调量略有增大； 负实零点越接近虚轴，作用越强。9 系统中极点对系统响应的作用(参见P102,三阶系统的单位阶跃响应)系统增加一个极点，将升高系统的阶次，实质上，在信号传递线路上增加了一个惯性环节。这是典型三阶系统。相对典型二阶系统而言，该极点对系统的作用： 使系统响应速度减慢； 减小超调量； 越接近虚轴(较大)，作用越强。3-4 高阶系统的时域分析高阶系统时域分析非常困难。在工程应用中，常抓住主要因素分析系统；常常将高阶系统近似成低阶系统处理。*阶次的系统称为高阶系统。解析分析很困难，也无必要；*设计良好的闭环系统，通常能用二阶系统近似。1 三阶系统的单位阶跃响应(略)2 高阶系统的单位阶跃响应；设无重极点，则有，其中；设和是距离虚轴最近且附近无闭环零点的一对共轭复数极点，则有这表明：阶系统的单位阶跃响应有个模态，模态对应输入信号的极点，模态对应系统的极点。各模态对系统的输出都有贡献，各自对应的时间函数为：，。系统极点与系统特性间的关系，闭环极点对的作用：，的幅值随时间增加而增大，必然使系统输出在时间足够大后，幅值随时间增加而增大，称系统不稳定。高阶系统阶跃响应只讨论稳定系统。，的幅值随时间增加而减小，趋于零；若所有的，,则的暂态部分趋于零。且，即是系统的一个复数极点，它的共轭复数也是系统的极点，且模态的系数也是共轭复数，例如，。一对共轭模态是衰减的三角函数。只要有共轭模态，则就会有衰减振荡。若所有的，,则就不会出现振荡，可能有超调。一般，越大(离虚轴越远)，越小，对的贡献较小且衰减较快。对系统阶跃响应起主要作用的是离虚轴较近的一些极点。忽略作用较小的模态，高阶系统就可以用较低阶次的系统近似。3 闭环主导极点(P105，最后一段第二句)高阶系统能够用不具有零点的二阶系统近似的条件：有一对距离(记为)虚轴最近的共轭复数极点，且附近无闭环零点，其余的零点和极点远离()虚轴或零极点几乎相消。高阶系统可以近似为：，；。易知，系统的时域性能指标可以用典型二阶系统的计算公式近似计算。高阶系统能够用二阶系统近似的条件或三阶系统近似的条件(略)：4 高阶系统的动态性能估算(略)3-5 线性系统的稳定性分析1 稳定性的基本概念(参见P109，图3-29)*平衡状态(平衡点，工作点)：在无外力作用下，系统保持不变的(静止)状态。在动态性能分析时，只讨论系统输入输出变量相对平衡状态的偏移量；因此，平衡状态是指系统的输入输出变量的各阶导数均为零。*稳定的平衡状态：扰动使系统偏离平衡状态，当扰动消失后，系统能够返回的状态。*稳定域：系统最终能够返回原平衡状态的最大范围(线性系统为无穷大)。*系统的稳定性：(P110，第5段)具有稳定的平衡状态的系统是渐近稳定的，简称系统是稳定的。2 线性系统稳定的充分必要条件外力作用为零，系统的输出据初始状态演变，可看作是0时刻时的脉冲输入响应，仅分析单位脉冲响应(为便于说明，设系统无重极点)据系统稳定的定义，充分必要条件(P111，第三段)闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者，系统闭环极点均位于平面的左半部。3 劳思-赫尔维茨稳定判据求解高次代数方程的根很困难。挪威数学家阿贝尔(Abel,1802-1829)指出，五次及五次以上的代数方程无一般代数解。判断系统稳定性只需要知道闭环极点的分布情况。(1) 赫尔维茨(Hurwitz)稳定判据(略，不便于人工计算，有多次重复计算)(2) 劳思(Routh)稳定判据特征方程 劳思计算表：首行顺序排列下标为偶数的方程系数，第2行顺序列下标为奇数的方程系数，以后各行都是前两行运算结果，计算方法见表3-3。劳思判据：劳思计算表首列系数均大于零闭环系统稳定；若有小于零的系数，闭环系统不稳定；首列系数符号改变的次数与分布在S平面右半部的极点个数相同。(删P113最后1行P114例3-8前，递推劳思计算表与劳思计算表完全相同，仅种表现形式不同)。S4152S3340S211/32S126/110S02计算表首列系数变号未变号，该系统稳定。例3-8 S4135S3240S215S1-60S05计算表首列系数变号2次，该系统不稳定，有两个极点在S平面右半部。 4劳思稳定判据的特殊情况特殊情况是指某行的第一列系数为零。出现特殊情况时系统是不稳定的。(1) 第一列系数为零，其它系数不全为零。 处理方法：以很小的正数代替第一列系数，使运算能够继续。例：计算表首列系数变号2次，该系统不稳定，有两个极点在S平面右半部。，。(2) 某行系数全为零表明：系统可能有大小相等符号相反的实根、或实部大于零的共轭复根。处理方法：利用辅助方程求导得到的系数替换该行，使运算能够继续。例3-9 S61.0-2.0-7.0-4.0S51.0-3.0-4.0S41.0-3.0-4.0辅助方程；S30.00.00.0S34.0-6.00.0导数方程 ；S2-1.5-4首列系数变号一次，有一个极点处S平面的右半部。S1-16.70.0S0-4.0由辅助方程可知原方程可改写为；，。5 劳思稳定判据的应用(1) 基本应用：已知系统的特征方程，判断系统的稳定性；(2) 确定使系统满足稳定性要求的系统参数范围；(3) 确定使系统极点位于S平面某垂线左边的系统参数范围。例3-10 (P117)*比例-积分控制(器)：控制器输出是控制器输入(系统偏差)信号及其积分信号的线性函数。；，特征方程 ，劳思计算表见P117。使系统稳定的值范围当要求闭环极点全部在垂线左边时，作变量替换，即闭环极点全部在平面的左半部。替换后的特征方程 。劳思计算表见P118。3-6 线性系统的稳态误差计算控制系统的稳态误差，是系统控制准确度(精度)的一种度量，表示系统的稳态性能。1 误差与稳态误差误差的定义有两种：(参考P104图3-28)(1) 偏差信号(在输入端定义) ，；(2) 误差信号(在输出端定义) ，。在系统性能指标中使用误差信号，便于系统分析和设计。在计算系统的误差传递函数时，需采用图3-31的规范方框图，即反馈支路是一条直线(单位反馈)。计算误差函数的基本步骤：(1) 依据规范的方框图计算误差传递函数，形如：a) ；b) ；(2) 计算；(3) 计算。计算稳态误差的有3类方法：在满足终值定理条件时(的全部极点均在S平面左半部)，稳态误差为。称为终值误差，不能反映随时间的变化规律。例3-11：单位负反馈系统，；(1) ，；(2) ，；(1) ，虽然有极点在原点，认为极限存在，则有。；。(2) ，有两个极点在虚轴上，不满足使用终值定理的条件。可以解得：，在计算稳态误差时，一般不采用拉氏反变换，若条件允许，使用终值定理。2 (误差)系统类型(型别)稳态误差值与系统的误差传递函数(系统固有特性)和输入信号的形式密切相关。典型输入信号有阶跃信号、速度信号和加速度信号等。将系统按其无稳态误差响应典型输入信号的能力分类，对系统稳态性能的分析是很方便的。记，(要点)；，。式中 系统的特征多项式；误差传递函数的分子多项式；从中提取的公因子(即在分子多项式中，从常数项到项的系数都为零)。无稳态误差响应典型输入信号的能力。稳态误差是否等于0，取决于典型输入信号拉氏变换分母的幂次是否小于等于。的值称为系统响应输入信号的(误差)型别：值0123型别0型型型型0型误差系统，响应阶跃输入时，稳态误差为常数；不能跟踪速度输入及更快的输入信号；型误差系统，响应速度输入时，稳态误差为常数；响应阶跃输入时，稳态误差为零；不能跟踪加速度输入及更快的输入信号；型误差系统，响应加速度输入时，稳态误差为常数；响应阶跃输入和速度输入时，稳态误差为零；不能跟踪比加速度输入更快的输入信号；顾及系统的稳定性，很少使用型及型以上的误差系统。静态误差系数：使用误差定义(1)，分析中应用终值定理。直接用于单位负反馈。；开环传递函数，有时也采用。3 阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数；易知 。例3-12 某负反馈系统的，输入信号，试分别计算和时的稳态位置误差。解：；，；：； ：4 速度输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数；易知 。5 速度输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数；易知 。从静态误差系数的定义可以知道：一个稳定的线性定常系统只能有一个不等于零的静态误差系数，其余的静态误差系数不是等于零就是等于无穷大。例3-13 图3-34开环传递函数；，；响应典型输入时的稳态误差为：，；，；，。6 稳态误差级数和动态误差系数(足够大)要了解稳态误差随时间变化的情况，要使用稳态误差级数。误差传递函数在()的邻域内的泰勒级数为；， 。最后的表达式称为稳态误差级数，表示在足够大时，系统误差与时间的关系。称为动态误差系数。动态误差系数采用长除法(或多项式除法)计算，参见例3-14。计算稳态误差级数的基本步骤：(1) 正确计算误差传递函数；(2) 计算输入信号的各阶导数，；，。(3) 依据用长除法计算动态误差系数，；(4) 计算稳态误差。R(s) E(s) C(s) _例(3-14) 已知随动系统的方框图为输入信号，计算该随动系统的稳态误差。解：误差传递函数：；输入信号各阶导数：；，；计算动态误差系数：(分子多项式的常数项系数为零)，(长除法)；因为输入信号的高阶导数为零，无须计算其余的。稳态误差级数：。该例用终值定理也得到同样的结果。讲义上的例3-14不适合使用稳态误差级数，适合使用拉氏反变换求解。7 扰动作用下的稳态误差在理论上，扰动作用下的稳态误差的分析方法与输入作用下的分析方法相同，即在理论上将扰动信号看作是另一个输入信号。要点：扰动误差传递函数； 因为系统对扰动信号响应期望值为零，则*响应输入信号的误差系统型别：据讨论；*响应扰动信号的误差系统型别：据讨论；响应扰动信号的系统型别：；响应扰动信号的稳态误差级数：。 N(s)R(s) E(s) _ C(s) _例(3-15) 已知系统方框图如右图 所示。输入信号，扰动信号，计算该系统的稳态误差。解：误差传递函数：，；信号的各阶导数：；，；，。动态误差系数：，；由误差传递函数知，该系统是响应输入的型系统，响应扰动信号的0型系统。例3-15(P128，图3-37)已知系统框图及，；计算该系统的稳态误差。解：，；，；，；，；，；例3-16(P128，图3-37) 已知系统框图及，；计算该系统的稳态误差。解：,；，；，；，；。该系统的稳态误差是随时间变化的线性函数。8 减小或消除稳态误差的措施(1) 增大系统的开环增益(或扰动作用点之前的前向通道增益)参见例3-15和3-16的计算及P124的表3-15。该方法有可能使系统不稳定。(2) 在系统的前