第3章 插值法与最小二乘法.doc

第3章 插值法与最小二乘法教学目的与要求1理解插值的基本概念、插值多项式的存在唯一性；2掌握拉格郎日插值多项式的构造、插值余项的证明；3掌握差商的定义、性质、计算，掌握牛顿插值多项式的构造；4理解埃特金逐步插值法思想及构造；5掌握埃尔米特插值法插值多项式的构造及其余项的证明；6掌握曲线拟合的最小二乘法。主要内容5.1 插值的基本概念5.2 拉格郎日插值法5.3 埃特金逐步插值法5.4牛顿插值法5.5 分段插值5.6 埃尔米特插值法5.7 曲线拟合的最小二乘法重点与难点重点：拉格郎日插值、牛顿插值、埃尔米特插值。难点：埃尔米特插值。学时安排8学时授课内容本章主要问题1、函数f(x)没有明确的表达式，以一组离散数据表示其关系；2、函数f(x)表达式复杂。解决方法构造一个简单的连续函数g(x)近似的替代f(x)。f(x)：被逼近函数g(x)：逼近函数。若要求g(x)取给定的离散数据，即： g(xi) = f(xi) (i=0,1,2n)f(x)：被插值函数。g(x)：插值函数，若g(x)为代数多项式，称为多项式插值3.1 插值法一、插值问题已知函数y=f(x)在区间a,b上n+1个互异节点的函数值为，求作一个次数不高于n的代数多项式P(x),使其满足：f(x)：被插值函数Pn(x)：插值函数：插值节点a,b：插值区间定理：n+1个互异的插值节点上满足的次数不高于n的代数多项式存在且唯一。证明：由插值条件 得到如下线性代数方程组：此方程组的系数行列式为范得蒙行列式 又因为 ，所以 V0，故方程组存在唯一的一组解a0, a1, an。即Pn(x)存在且唯一二、拉格朗日插值法1、线形插值设插值函数为，则函数满足：点斜式：改写为：记：则：即：例：已知有y=f(x)的函数表x13y12求其近似表达式解：例：用线性插值求 （x* = 10.723805）解：设，取x0 = 100，x1 = 121则 y0 = 10 y1 = 11从而：2、抛物插值设二次插值多项式为：则插值基函数满足：由（I）式知，x1, x2是l0 (x)的根，所以有： 又由,得：所以：同理可得：这样例：已知有y=f(x)的函数表x123y726求其近似表达式解：例：用抛物插值求，（x* = 10.7238）解：设，函数表为x100121144y1011123、 拉格朗日插值设插值多项式为：则插值基函数满足：由上式知，除xk外所有节点都是lk (x)的根，所以有： 又由lk (xk) = 1，得： 所以有： Lagrange插值公式记：则：例：已知有y=f(x)的函数表x1234y7269求其近似表达式解：3.2 插值多项式中的误差一、Lagrange插值余项f (x)Pn(x)称为用插值多项式Pn(x)代替f (x)的余项，误差或插值余项，记为 ：引理：若f1(x)与f2(x)存在n+1个等式(函数相等或导函数相等)，则存在中值，使证明：设，则g(x)存在n+1个零点，由罗尔定理可知存在n个零点，反复用罗尔定理，则存在一个零点，即存在中值有即：定理：设区间a, b含有n+1个互异的节点，而f(x)在a, b内有直到n+1阶导数，且已给，则当xa, b时，有如下估计： 证明：令可验证在x0, x1, xn , x上，g(t)=f(t)所以存在，使因此：整理得：例：求f(x)=3x5-4x2+1在节点1,2,3,4,5,6,7上的Lagrange插值多项式。解：就是其本身例：设f(x)是一个不高于n次的代数多项式，求证它的n次Lagrange插值多项式就是它本身。证明：设f(x)的n次证明：由插值多项式的唯一性可知，f(x)的n次Lagrange插值多项式为,则：又因为f(x)是一个不高于n次的代数多项式，所以： 即：所以：n次例：证明证明：设f(x)=1，则其n次Lagrange插值多项式为： 由插值多项式的唯一性可知，f(x)的n次Lagrange插值多项式为其本身 故例：证明证明： 设则f(x)的n次Lagrange插值多项式为其本身因此：令P=x，则例：设，且，证明： 证明： 函数在时取得最大值为，因此二、高次插值多项式的问题主要问题：当插值区间a,b很大插值节点多插值多项式次数高产生Runge现象误差大龙格现象：当插值多项式次数很高时，多项式曲线会在插值区间两端剧烈地震动。解决方法：分段低次插值(将大区间分为若干个小区间，每个区间使用低次插值)3.3 分段插值法一、分段插值的方法(1)将a,b作一划分 (2)在每个小区间 上构造插值多项式(3)将拼接在一起记为g(x)，则g(x)为f(x)在a,b上的插值函数。二、分段线性插值分段线性插值的误差:证明：3.4 牛顿插值一、差商的定义一阶差商二阶差商k阶差商二、差商的性质1、和的形式表示证明：当k=1时 等式成立设当k=m-1时成立，则当k=m时即等式成立2、对称性3、导数表示三、差商的计算xiyi一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商x0f (x0)x1f (x1)f x0, x1x2f (x2)f x1, x2f x0, x1, x2x3f (x3)f x2, x3f x1, x2, x3f x0, x1, x2, x3x4f (x4)f x3, x4f x2, x3, x4f x1, x2, x3, x4f x0, x4四、牛顿插值公式将以上各式由下而上，逐个代入上式，可得：牛顿插值公式牛顿插值的承袭性例：求证Newton插值与Lagrange插值所生成的插值多项式及余项相同。证明：设Lagrange插值多项式为,余项为 Newton插值多项式为,余项为 由插值多项式的存在且唯一性，可得 又因为 所以有：例：证明证明：因为Newton插值与Lagrange插值所生成余项相同 即令,则：例：设，求之值。这里，互异。解：由差商性质可得 当时 当时 3.5 埃尔米特插值法一、 Hermite 插值问题已知函数y=f(x)在给定n+1个互异节点上的函数值为导数值为，求作一个不高于2n+1次的多项式H2n+1(x) ：使其满足：二、待定系数法构造 Hermite 插值多项式设：则：由插值条件可得：例：由下表求Hermite插值多项式x01y2-3y-52 解：设则由插值条件可得： 即：例：由下表求插值多项式X01Y24y-5 解：设则由插值条件可得： 即：三、待定函数法构造 Hermite 插值多项式设：其中都是2n+1次多项式对于应满足：设则：解之得：代入得：设则：解之得：代入得：Hermite插值公式：四、Hermite 插值多项式的余项定理：设区间a, b含有n+1个互异的节点，而f(x)在a, b内有直到2n+2阶导数，且已给，则当xa, b时，有如下估计 证明：令可验证当时，g(t)=f(t) 当时，g(t)=f(t)所以存在，使因此：整理得：例：由下表求插值多项式及余项，并证明余项。X12Y24y-3 解：设则由插值条件可得： 即：余项为：证明：令可验证当t=1,2 , x时，g(t)=f(t) 当t=2 时，g(t)=f(t)所以存在，使因此：整理得：3.6 三次样条插值一、三次样条函数定义：设是区间a,b的一个分割，如果函数S(x)在区间a,b上满足条件1、。2、在子区间上是三次多项式，则称S(x)为三次样条函数。3、若对于给定函数f(x)有，则称S(x)为三次样条插值函数。二、三次样条插值多项式设其中在区间应满足1、2、3、4、边界条件1、2、3、5.7 曲线拟合的最小二乘法一、 主要问题已知N个数据点构造一个多项式近似代替复杂函数，该构造函数要能较好的反映这N个数据点的趋势。二、一次拟合设所构造的一次函数为，则每个数据点与拟合曲线的偏差为：偏差的大小是衡量拟合直线好坏的重要标志，一般有以下三种方法：(1)和(2)式中含有绝对值运算，不便于计算，通常采用(3)式。令即确定a,b取何值时，Q(a,b)值最小。因此a,b应满足：由此可得法方程：例：用最小二乘法求一个形如y=a+bx的经验公式，使与下列数据相拟合： x-1013y0268解： 故 解得即经验直线为g(x)2.4571+2.0571x三、m次拟合设所构造的函数为：对于N个数据点每个数据点与拟合曲线的偏差