名师辅导 立体几何 第2课 空间两条直线(含答案解析).pdf

本资料来源于 七彩教育网 名师辅导 立体几何 第2课 空间两条直线 含答 案解析 考试目标 主词填空 1 空间两条直线有三种位置关系 相交直线 有且仅有一个公共点 平行直线 同在一个平面内 没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 2 平行直线 定义 同一平面内两条不相交的直线称为平行直线 公理4 平行同一条直线的两条直线互相平行 3 异面直线 定义 不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线 异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线和平面 内不经过该点的直线是异面直线 这是判定空间两直线是异面直线的理 论依据 题型示例 点津归纳 例1 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是A1C1 与A1B上的点 且A1E A1F 求证 EF AD1 解前点津 判定两条直线平行 首先考虑把两直线放在同一 例1题图 平面内 利用平面图形的性质实施证明 若图形中这样的平面不好找 可以考虑实施转化 利用平行公理 或后继将要学习的直线与平面平行 的性质定理 向量知识等 实施证明 规范解答 证明 连结BC1 AD1 因为ABCD A1B1C1D1是正 方体 所以A1C1 A1B 在 A1BC1中 A1C1 A1B A1E A1F EF BC1 又 D1C1平行且等于AB 四边形ABC1D1是平行四边形 BC1 AD1 EF AD1 例2 如图所示 长方体A1B1C1D1 ABCD中 ABA1 45 A1AD1 60 求异面直线A1B与AD1所成的角的度数 例2题图 解前点津 求两条异面直线所成的角的步骤如下 用平移法作出异面直线所成的角 说明作出的角就是要求的角 计算 解三角形 结论 规范解答 如图所示 连结BC1 A1C1 A1B1C1D1 ABCD是长方体 AB平行且等于D1C1 即ABC1D1是平行四边形 AD1平行且等于BC1 A1BC1 或它的补角 是异面直线A1B与AD1所成的角 设AA1 a ABA1 45 A1AD1 60 在 AA1D1与 A1AB中 AB AA1 a A1B a AD1 BC1 2a A1D1 a A1C1 2a 在 A1BC1中 由余弦定理知 cos A1BC1 A1BC1 arcos 所以异面直线A1B与AD1所成的角是arccos 解后归纳 学完空间向量之后 我们还可以利用向量的夹角公 式求异面直线所成的角 例3 如图所示 求证分别与两条异面直线都相交 且交点为不 同的四个点的两条直线是异面直线 例3题图 已知 a b异面 AB交a b于A B CD交a b于 C D A B C D四点不同 求证 AB与CD是异面直线 解前点津 此题条件不具备异面直线的判定定理所 需条件 而当结论的反面即AB CD共面时 易得AC BD 共面 即a b共面 与已知矛盾 故用反证法证明较易 规范解答 假设AB与CD不是异面直线 则AB与CD共面 设此 平面为 所以 A B C D都在 内 所以直线AC平面 BD平面 所以AC与BD共面 即a与b共面 这与a b为异面直线相矛盾 所以AB与CD是异面直线 解后归纳 证明两条直线是异面直线除利用定义 定理外 还 常常使用反证法 要掌握好 例4 直三棱柱ABC A1B1C1中AB AC AA1 d D是AB的中点 若 C1D d 求异面直线AB与A1C1所成的角 规范解答 如图 连结CD AC A1C1 BAC或其补角就是异面直线AB与A1C1所成的角 例4题图 在Rt C1CD中 C1CD 90 CD2 C1D2 CC12 在 ADC中 AD AB AC d cos CAD CAD 120 异面直线AB与A1C1所成的角为60 解后归纳 此题也可运用异面直线上两点间的距离公式 求出 cos 其中EF d m n就是题中的C1D AA1 A1C1 AD 而 就是 CAD 对应训练 分阶提升 一 基础夯实 1 a b为异面直线 是指 a b 且a b a面 b面 且a b a面 b面 且a a平面 b平面 不存在面 使a面 且b面 成立 上述结论中 正 确的是 A 都正确 B 都正确 C 仅 正确 D 仅 正确 2 无论怎样选择平面 两条异面直线在该平面内的射影不可能是 A 两条平行直线 B 两条相交直线 C 一条直线和直线外一点 D 两 个点 3 相交直线a b的夹角为50 则过交点与a b都成60 角的直线的 条数为 A 1 B 2 C 3 D 4 4 正方体的对角线与正方体的棱组成的异面直线共有 A 6对 B 12对 C 18对 D 24对 5 正方体ABCD A1B1C1D1所有各面的对角线中与AB1成60 角且 与AB1异面的直线的条数为 A 1 B 2 C 3 D 4 6 空间四边形两条对角线互相垂直 则顺次连结各边中点的四边形 是 A 空间四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 7 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为棱AA1和 BB1的中点 则异面直线CM与D1N所成的角的正弦值为 A B C D 第7题图 第8题图 8 如图所示 A1B1C1 ABC是直三棱柱 BCA 90 点D1 E1分 别是A1B1 A1C1的中点 若BC CA CC1 则BD1与AE1所成角的余弦 值是 A B C D 9 在四面体ABCD中 AB CD M N分别是BC AD的中 点 且MN 则AB 与CD所成角是 A 30 B 45 C 60 D 90 10 空间四点A B C D 每两点的连线长都等于a 动点P在线段 AB上 动点Q在线段CD上 则点P与Q的最小距离为 A a B C D 二 思维激活 11 正方体六个面内的所有对角线互成60 角的共有 对 12 在三棱锥S ABC中 AB 6cm AC 4cm BAC 60 M N 分别是 SAB和 SAC的重心 则MN 13 在正四面体ABCD中 E F分别是AB CD的中点 则EF与AC所成角 的大小为 14 在四面体ABCD中 棱长均相等 E是AD的中点 则AB和CE所成角 的余弦值为 三 能力提高 15 如图所示 在三棱锥D ABC中 DA 平 面ABC ACB 90 ABD 30 AC BC 求异面直 线AB与CD所成角的余弦值 第15题图 16 已知a b是异面直线 A B a且AB m C b 1 当线段AB在直线a上移动时 C为定点 证明 ABC面积不变 2 当C点在直线b上移动 问点C在何位置时 ABC的面积最小 17 如图所示 已知P为 ABC所在平面外的一点 E为PA的中点 F 为PC的中点 BE AC PC AC 第17题图 1 求证 EF是BE PC的公垂线 2 若PA a PC b 求异面直线BE PC的距离 18 如图所示 在棱长为1的正方体A1B1C1D1 ABCD中 M为AB的 中点 N为BB1的中点 O为面BCC1B1的中心 第18题图 1 过O作一直线与AN交于P 与CM交于Q 只写作法 不必证明 2 求PQ的长 19 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是一直角梯形 BAD 90 AD BC AB BC a AD 2a且PA 底面ABCD PD与底面 成30 角 AE PD于E 求异面直线AE与CD所成角的大小 第2课 空间两条直线习题解答 1 D 解这种题简单 省时的方法是在草稿纸上作如下记录 然后对照选 项判断 2 D 若射影为两个点 则两条直线与平面垂直 可知两直线平行 与异 面相矛盾 3 B 在a b所确定的平面外作与a b都成60 角的直线有两条 4 D 12 2 24 5 D A1C1 BD A1D BC1符合题意 6 B 四边形中各边分别与对角线平行 7 C 将正方体ABCD A1B1C1D1旁边补一个全等的正方体可得 设正方体 棱长为2 cos sin 8 D 取BC的中点D 连DE1可得DE BD1 设BC CA CC1 2 cos AE1D 9 D 取BD的中点O连OM ON OM CD ON AB OM 3 ON 4 OMN为Rt 10 C P Q均为中点时PQ的长为所求 11 48 共有对 第13题图解 12 cm BC2 42 62 2 4 6cos60 BC 2 又MN 13 45 取BC的中点M AF CD BF CD CD 平面ABF 如图 于是CD AB 同理AC BD EM MF又EM MF MEF 45 14 取BD的中点O 连EO CO OE AB 设棱长为 第15题图解 cos CEO 15 以AB BC为邻边作平行四边形ABCM 则 DCM是异面直线AB CD所成的角 设AC BC a ACB 90 AB a MC a DA 平面ABC DAB DAC DAM 90 又 ABD 30 DA a 又AM a DM DC cos DCM 点评 求两条异面直线所成的角 一般都是把它转化为求两条相交直线 所成的角 本题中 如分别取BD AB AC BC的中点P Q M N 根据中位线 性质则 PNM也是所求的角 同样可得cos PNM 16 1 分析 要证 ABC面积不变 即证点C到直线a的距离CD不变 设 EF为a b公垂线段 a b所成角为 CE m 作CM EF 作MD AB EF d MD msin CM d均为定值 在Rt CMD中 CD也是定值 故 ABC面积不变 2 由 1 可知 要使 ABC面积最小 则MD要最小 因CM为定值 而MD msin 为定值 m 0时 MD最小 此时C点为公垂线段EF的端点E 17 1 F是PC的中点 连结EF 则EF是 PAC的中位 线 EF AC EF AC AC PC AC BE EF PC EF BE 且EF和BE相交于E 和PC相交于F EF是BE和PC的公垂线段 2 在Rt PCA中 PCA 90 PA a PC b AC 于是EF AC 所以BE和PC的距离是 18 分析 1 AN和CM是两条异面直线 过O点作直线要与AN与CM都相 交 应在平面内来作 因此 可先由点O A N和O C M各确定一 个平面 2 当点P Q作出后 求PQ的长只需解三角形即可 解 1 由ON AD知 AD与ON确定一个平面 又O C M三点确定 一个平面 三个平面 和ABCD两两相交 有三条交线OP CM DA 其中交 线DA与交线CM不平行且共面 DA与CM必相交 记交点为Q 第19题图解 OQ是 与 的交线 连结OQ与AN交于P 与CM交于Q 故OPQ即为所求作的直线 2 ON BC AQ AP