高等数学本科复习题.doc

高等数学复习题第一章一元函数微积分概要1.求下列个极限. . . . . . 2. 试解下列各题. 设, 求,解: . 设, 求解: . 设,求及在点处的切线与法线方程.解: 两边对求导: 切线斜率,则法线斜率切线方程为(),法线方程为. 设,求.解：. 求函数的单调区间与极值.解：令则或3+0_0+极大极小3. 求下列各积分解：设,当时, ;当时, =解：设则.当时, ;当时, ,其中解：第二章微分方程1.求下列一阶微分方程的通解或特解解：分离变量: 两边积分: 解：分离变量 : 两边积分: ,代入初始条件得: .特解为解：.代入通解公式得：解： ,代入通解公式得： 代入初始条件得: 特解为 解：,设代入方程 分离变量 两边积分 : , 通解为解：.设代入方程 分离变量, 通解为2. 求下列二阶微分方程的通解或特解 解：解：令则 代入方程; 分离变量, 并两边积分: . 代入得即, ,代入得特解为解：特征方程为, 通解为代入得: 代入得: 特解为 解： 特征方程为,故.对应齐次方程解为又因,则为特征单根特解, , 代入方程得: 即得 解得: 特解为 原方程通解为解：特征方程为,对应齐次方程的通解为. 则不是特征方程的根. 则特解, 代入方程即解得 所以特解为所以原方程的通解为解：对应的齐次方程的特征方程为,通解为.,则故不是特征方程的根. 故,代入方程即解得： 所以原方程的通解为3.求初值问题解：对应的齐次方程的特征方程为: ,.,.则为特征单根,代入方程得： 即,所以原方程的通解为：代入初始条件解得所以该初值问题的解为4. 设为连续函数, 且满足方程求解：两边求导得：即. 由通解公式：5. 设某曲线上各点的法线都通过，求此曲线方程.解：设为曲线上任意一点，则在点的法线方程为是法线上的动坐标. 法线通过点，得.即.分离变量，并积分得即6. 设某曲线经过点且在此点与直线相切，并满足方程，求此曲线的方程解：. . .曲线经过.所以该曲线的方程为7. 设质量为的质点从液面由静止开始在液体中下降，假定液体的阻力与速度成正比，试求质点下降时的位移与时间的函数关系.解：由牛二定律得方程： 分离变量，并积分得即.物体由静止开始运动，故,得从而解得.积分得又.代入上式解得.所以第三章 空间解析几何与向量代数1. 试解下列各题设向量，求、及的方向余弦；解：的方向余弦已知三点，求同时垂直于的单位向量，及三角形的面积.解： 所以同时垂直于的单位向量为和已知向量与之间的夹角为，求以为领边的平行四边形的对角线的长；解：(自己作下图。) 一条对角线长为,一条为.应用余弦定理已知向量相互垂直，求的值解： 即3. 求下列各平面方程过点，且与平面平行解：由已知条件可知所求平面的法向量为.所以由平面的点法式方程可知所求平面方程为即过点，且与直线垂直解：直线的方向向量即所求平面的法向量.所以由平面的点法式方程可知所求平面方程为 即过轴和点解：因平面过轴, 所以可设平面方程为代入点得,故代回方程消去得过点和直线解：点和直线上取一点.直线的方向向量.所求平面的法向量所以所求平面的方程为即4. 求下列直线方程用点向式与参数式方程表示直线解：设,代入直线的方程组得解得：于是直线上一点为直线的方向向量所以直线的点向式方程为参数式方程为求过点，且与平面和均平行解：直线的方向向量所以所求直线方程为求过点，且和直线垂直相交解：在直线上取一点。则同时垂直于直线和的直线的方向向量=。所求直线的方向向量为所以直线方程为5.求点到平面的距离解：由点到平面的距离公式6. 求点在平面上的投影点的坐标解：过点作垂直于平面的直线，交点即为投影点. 该直线的方向向量所以直线方程为.参数式为代入平面方程.所以投影点的坐标为第四章 多元函数微分学1. 已知，求解：2. 求函数的定义域解：定义域为3. 求下列函数的一阶偏导数解：，解：，解：解：解：解：4. 求下列函数的全微分设,求解： 设,求解：5.求下列函数的二阶偏导数设,求解： 设,求解： 6. 求下列隐函数的偏导数或全微分设由方程确定是的函数，求解：设则 设由确定，求解：设，则 设，求解：设则 7. 设，其中可微，证明：证： 证毕8 多元函数微分学在几何上的应用求曲面在点处的切平面与法线方程解：所以切平面方程为即法线方程为求曲线，在点处的切线与法平面方程解：所以切向量 切点为所以切线方程为法平面方程为即求曲线在点处的切线与法平面方程解：取为参数在点处的切向量所以切线方程为法平面方程为即求曲面平行与平面的切平面方程解： 法向量切点为所以切平面方程为即9. 求函数的极值解：解出驻点为和， ， 在点处，故不是极值；在点处，且,故为极小值。第五章 多元函数积分学1.画出下列各积分区域，并改变积分次序=2.求下列二重积分解：，其中D是有两条抛物线所围成的闭区域解：D:由曲线围成解：解：，D: 解：积分区域D在极坐标系下的表示为解：积分区域D在极坐标系下的表示为3.求由旋转抛物面与锥面所围成立体的体积课本201页例14.求下列各曲面的面积球面含在圆柱面内的那部分曲面解：从上半球面方程得，5.求下列各三重积分：由平面所围成解：=：由抛物面与平面围成解：抛物面与平面的交线方程于是G在平面上的投影区域D为G在柱面坐标下可表示为：解：G在球面坐标系下可表示为6.将三重积分：分别表示成柱面坐标与球面坐标系下的三次积分。解：柱面坐标下三次积分为球面坐标下三次积分为7.求下列各曲线积分（）解：圆的参数方程为 从点到点的直线段解：由所围成区域的整个边界解：分两段，到弧线和到的直线段曲线上从点到点的弧段解：取为参数，则8.用格林公式求下列曲线积分正向一周解：利用格林公式，所以（其中D为），其中L是由抛物线所围成闭区域的正向边界曲线解：利用格林公式， 从点到点的上半圆周解：记为，为，则由格林公式在线段上，方程为，则所以=9.试确定的值，使得为某函数的全微分，并求出一个这样的函数。解：，所以当时，使得为某函数的全微分。用 曲线积分球。10.设曲线积分与路径无关，其中可导，且，求及当时的积分值.解：，则，曲线积分与路径无关，即即由一阶线性微分方程通解公式又，得,则=8第六章 无穷级数1.判定下列级数的敛散性解：，发散。故发散解：。几何级数收敛。所以也收敛解：极限不存在。故发散解：，故， ，是的级数，收敛。故也收敛。因而也收敛。解：，所以收敛解：，所以收敛2.判定下列级数的绝对收敛与条件收敛解：，而级数收敛，故也收敛解：，。由莱布尼兹准则收敛。而发散。故条件收敛。解：级数为。 ，由莱布尼兹准则收敛。，调和级数发散，故也发散。所以条件收敛。3.求下列幂级数的收敛半径与收敛域解：（收敛半径）收敛区间当时，级数为，为级数，故收敛当时，级数为，为交错级数，由莱布尼兹准则可知级数收敛所以该级数收敛域为解：设，则级数变为， 故级数的收敛区间为。即即当时，级数为，由莱布尼兹准则可知级数收敛当时，级数为为级数，发散所以收敛域为解：设，则级数变为，故收敛半径为，即，即当时，级数为，由莱布尼兹准则可知级数收敛当时，级数为