第三章 塑性本构关系(续2新(给学生).doc

第三章 塑性本构关系3.1 概述一、单向拉伸条件下的塑性本构关系图3.1从韧性金属材料的单向拉伸试验曲线可发现如下现象：（1）s时，处于弹性阶段，无论加载还是卸载，都服从虎克定律=E。（2）s时，进入塑性阶段。在任何时刻加载与卸载都服从不同的规律。继续加载：产生新的不可恢复的塑性变形，服从塑性变形规律（曲线SABF），卸载：应力的减少量与应变的减少量之间服从弹性变形规律（虎克定律）。（3）进入塑性阶段后，设从某一点（例如图中的B点）开始卸载，然后再重新加载。开始阶段：=E，即应力的增加量与应变的增加量之间仍符合弹性关系（虎克定律）直至卸载开始点（B点）为止。继续加载：重新进入塑性阶段，卸载开始点（B点）的应力值相当于卸载后重新加载时的屈服应力，称为“后继屈服应力”，记做h。理想塑性材料：h=s（原始屈服应力）强化材料：hs，这就是强化现象。由此可以看出，即使对单向拉伸这样比较简单的应力状态，其塑性应力应变关系也要比弹性复杂得多。二、塑性本构关系的主要内容：研究一般的塑性力学问题必须注意把握以下几点：（1）必须首先判断材料是在弹性阶段还是在塑性阶段。如为前者，直接应用虎克定律即可，如为后者，则需根据材料的塑性性质作进一步的考虑。判断材料是否进入塑性阶段的条件称为屈服条件或屈服准则。（2）如判断出材料已进入塑性阶段，则还应进一步判断是处于加载状态还是处于卸载状态。如是前者，则必须应用塑性应力应变关系，如是后者，则其应力减少量与应变减少量之间服从弹性关系（虎克定律）。判断是加载还是卸载的条件称为加载准则。（3）如材料是处于塑性阶段的加载状态；则应根据材料是理想塑性材料还是强化材料建立相应的塑性应力应变关系。（4）如材料是强化材料，还要弄清h与s以及其他因素的关系，即强化条件。对于单向拉伸而言，只要通过实验作出一条应力应变曲线，以上问题都容易解决。（1）屈服条件就是=s，式中就是单向的拉伸应力，s为屈服应力，可以通过拉伸实验定出。（2）拉伸应力增加，即d0时为加载，d0时为卸载。（3）塑性阶段加载时的塑性应力应变关系，也可由单向拉伸实验定出（即图中的曲线ABF）。（4）如果是强化材料，h与s的关系也可由拉伸试验的应力应变曲线得出。在塑性力学问题中虽也有一些问题是属于单向应力状态的（如桁架、梁的纯弯曲等），但更多的问题则属于复杂应力状态。因此塑性本构关系研究的主要内容就是在复杂应力状态下的屈服条件，加载准则，强化条件（只对强化材料），以及塑性应力应变关系的规律。3.2 屈服条件的一般形式单向拉伸时，屈服条件是=s（s由单向拉伸实验得到）。复杂应力状态下，屈服条件和六个应力分量都有关。都有关。即：屈服条件： f1（）= C （31）f1：各应力分量某种形式的函数，称为屈服函数。C：与材料性质有关的常数。假定材料各向同性，则屈服条件为：f（）= C （32）f是的对称函数（即三个主应力可以互换位置而函数值不变）。 而都是的对称函数，所以，可以把屈服条件写成应力张量三个不变量的对称形式的函数，即 屈服条件： f2（）= C （33）而应力球张量不影响屈服，因而上式中I1，I2，I3可以用应力偏张量的三个不变量J1，J2，J3代替。又J1=0，故屈服条件： f3（J2，J3）= C （34）因为J3是应力偏量各分量的三次函数，当所有应力分量均改变符号（即由拉变压）时，J3也变号。但由实验结果知，一般韧性金属材料抗拉和抗压是具有对称性质的，即所有应力分量均改变符号时，（34）式左方的屈服函数值应当不变。故可断定：屈服函数应当是应力偏张量第二，第三不变量J2和J3的函数，同时又必须是J3的偶函数。3.3 应力空间与屈服曲面（一）应力空间的概念把六个应力分量看成六维空间的坐标，则每一应力状态（用六个应力分量来表示）就相当于六维空间中的一个点。由于是用应力分量作为坐标，所以称这个六维空间为六维应力空间。屈服条件（31）式就是六维应力空间中的一个超曲面（为了区别于普通三维空间中的曲面，称为超曲面）。屈服条件多数用以主应力或不变量表示的。因此，可按下面方式建立应力空间和屈服曲面：应力空间：建立以1，2，3为坐标的三维空间，称为应力空间。应力空间中的点P，就代表一个应力状态，它的三个主应力是1，2，3。屈服曲面：屈服条件式（3.2）表示应力空间中的一个曲面，称为屈服曲面。 图3.2 图3.3（二）等倾线与平面等倾线：应力空间中通过原点与1，2，3轴正方向成相同夹角的直线，称为等倾线（如图3.3中的OL线）。等倾线方向余弦： （，） （35）等倾线方程式： 1=2=3 （36）于是可知，等倾线上的任意点所代表的应力状态都是球张量（1=2=3 =m），其偏张量为零。平面：经过原点O以等倾线为法线的平面称为平面（见图3.3），平面方程式： 1+2+3=0平面方程式推导如下：，。因而可知平面上的任意点所代表的应力状态的m=(x+y+z)= (1+2+3) =0，即其球张量为零，这个应力状态本身就是一个偏张量。在应力空间中任一点P对应的矢量在三个轴上的投影分别等于。可以把矢量分解成沿等倾线和在平面上的两个分量和，则和分别表示这一应力状态的球张量和偏张量。（三）屈服曲面和屈服轨迹当所有应力分量的绝对值都很小时，材料一定处于弹性阶段，这时在应力空间中表示这个应力状态的点在坐标原点附近。当各应力分量的绝对值（或某些分量的绝对值）足够大时，材料就会进入塑性阶段，这时在应力空间中表示这个应力状态的点就会离开原点相当的距离。因此，可以设想在应力空间中，靠近坐标原点且包括原点在内，有一个弹性区（在这个区内的点所表示的应力状态处于弹性阶段），而在其外则为塑性区（其中各点所表示的应力状态已进入塑性阶段）。这两个区的分界面就是屈服曲面，也就是屈服条件方程（32）式在应力空间中所代表的曲面。屈服曲面与平面的交线叫做屈服轨迹。（四）平面上的点所代表的应力状态应力空间中一点P（或矢量）表示一个应力状态（1、2、3）（见图3.4（a），将分解为与三个坐标轴平行且首尾相接的三个矢量、，即1轴，长为1，平行于2轴，长为2，平行于3轴，长为3。 （a） （b） 图3.4将该应力空间投影在平面上（见图3.4（b）。、S分别为A、B、P各点在平面上的投影。沿1方向，它在平面上的投影也必然沿方向。与等倾线的夹角=，所以，在平面上投影的长度为：O= （a）同理：在平面上的方向平行于，其长度为： = （b）在平面上的方向平行于，其长度为： S = （c）平面上取右手直角坐标系（见图3.4（b），以方向为y轴，与之垂直的方向为x轴，则将，分别向x轴及y轴投影，即得矢量沿x轴及y轴的分量为： (OS)x = Ocos30Scos30=(12) =(12) （d）(OS)y =Osin30+Ssin30= （e）故得的长度： （37）i为应力强度，8为八面体面上的剪应力。在平面上的方位角为 （38）为应力状态的Lode参数。对一个已知状态（1，2，3），由（37）和（38）可以得到平面上代表它的偏张量的点S的位置。如果规定 123 （f）则 11 （g）因而 3030 （h）即在平面上代表应力偏张量的点S将坐落在轴正方向与轴负方向之间。对单向拉伸，=1，=30，S点位于轴正方向。对单向压缩，=+1，=30，S点位于轴负方向上。对纯剪切，=0，=0，S点位于轴正方向与轴负方向的分角线上。如果主应力顺序不按（f）式规定而可以任意排列，则S点可位于平面的任何点，而没有（h）式的限制。反过来说，如果已知平面上一点S，就不可能唯一地确定它所代表的原始应力状态，因为可以加上任意大小的球张量而不改变平面上S点的位置。不过可以根据S点的位置唯一地确定它所代表的应力偏张量的大小。由（e）式得(OS)y = * 应力偏张量为：在主应力坐标系下，故有s2 =。，代入*式得：(OS)y = s2 =(OS)y = （39a）用同样的方法可以求得：s1 = （39b）s3 = （39c）求s1时，取的方向为y轴正方向，相当于y轴顺时针旋转了120，相应地，x轴的正方向也顺时针旋转了120，此时，的方向与x轴的正方向的夹角变成了+120，类比（39a）式，就可以得（39b）式，同理可得（39c）式。由（3.9）式即可以确定平面上一点S所代表的应力偏张量。由*式还可以看出平面上任何一条与轴垂直的直线必然代表s2 =常数（因为这条直线上(OS)y 是常数）。同理可知，代表s1 =常数及s3 =常数的必然是垂直轴及轴的直线。由（d）式还可看出平面上任何一条与轴平行的直线上必然有13=常数（因为这条直线上(OS)x 是常数）。同理可知，代表23 =常数及12=常数的必然是平行轴及轴的直线。（六）八面体面上剪应力的方位在第二章中已经求出了八面体面上正应力8和剪应力8的大小：8 =(1+2+3) 8 =现在再来求一下8在八面体面内的什么方向。设在受力物体中一点O处其主应力方向为O1、O1、O3（图3.5），ABC为八面体面，其上作用的应力为正应力8与剪应力8，O为O点在八面体面上的投影，设以p8表示八面体面上的总应力，并设其沿O1、O1、O3轴的分量为ps1，ps2，ps3，则由平衡方程可得：图3.5 （310）现在再将这三个应力分量向八面体面ABC上投影，其大小分别为 （311）其在八面体面内的方向应分别平行于，这些投影的矢量和自然就应当是八面体面上的剪应力8（因为8在八面体面上的投影为零）。图3.6图3.6所示为八面体面，其上，应互成120角。从开始首尾相接作平行的矢量，其长度 =，平行于的矢量，其长度HJ =，平行于的矢量，其长度JK =，则矢量即应代表8的大小及方向。作，轴分别垂直与平行于，并以与x轴的夹角代表8在八面体面上的方位。现在比较图3.6上的力多边形HJK与图3.4（b）中的力多边形OS，发现二者完全相似（下式中带括号的量是指图3.4（b）中的量）。 （312） 8 =K =（OS）也与（3.7）式完全一致。因而方向也与（3.8）式确定的方向完全相同。 （313）故得结论：如果把应力空间的1，2，3轴取成和物体内一点O的相应主应力方向相同，则表示O点应力偏张量的矢量在平面上的方向与O点处八面体面上剪应力方向一致。必须注意：在这里，“把应力空间的1，2，3轴取成和O点主应力方向相同”这一前提是不可缺少的。因为应力空间的三个坐标只表示各主应力的大小，并不代表方向，一般说来，不一定和受力物体中任一点的主方向一致。一般物体中的不同点可能主应力方向也不相同，但其应力状态则可在同一个应力空间中用各自相应的点来表示。此外，还要区别清楚平面和八面体面是两个意义完全不同的面，不可混淆，前者是应力空间中表示应力空间中表示球张量为零的平面，后者则是受力物体中一点上的特定方向的截面。（313）式只是一种通过类比得到的结论。3.4 Tresca屈服条件实验表明，最大剪应力达到一定数值时材料就开始屈服，屈服条件为：max=k （314）k为常数。一、各主应力按大小顺序排列（即123） max= 代入（314）得： 13 = 2k （315）设单向拉伸实验的屈服应力为s，单向拉伸是复杂应力状态的特例，因此也应满足（315）。将1=s，2=3=0代入（315）得： k= （316）（316）代入（315）得屈服条件为： 13 =s （317）设由薄壁筒扭转实验得到的屈服剪应力为s，纯扭转也是复杂应力状态的特例，因此也应满足（315）。将max=s，代入（315）得： k =s （318）代入（317）得：在Tresca屈服条件下s和s 的关系： s= （319）二、各主应力不按大小顺序排列（317）可改写为：maxmin =s （320）（320）等价于下式中至少有一个式子成立： （321）（321）等价于 （322）（322）是各主应力大小顺序未知时屈服的必要条件。上式可化为： （323）是J3的偶函数。（317）、（322）和（323）是Tresca屈服条件的三种不同的表达方式。该屈服条件常用在主应力大小顺序为已知的问题上。说明：（1）在应力空间中表示Tresca屈服条件的屈服曲面是一个以等倾线为轴线的无限长正六角柱面。在平面上的屈服轨迹为正六边形ABCDEF，如图3.8所示。下面分析（320）式与屈服轨迹正六边形ABCDEF的对应关系。 图3.7OA是应力空间中的O1轴在平面上的投影，因此A点对应单向应力状态。而A点又在屈服曲面上，因此应有O1=1=s，投影到平面上，应乘以因此，OA（正六边形的边长）为： OA = （324）对AB边上任意何一点S都有：图3.8代入前面得到的算式(OS)x = ，得： 。故知，AB边代表（321）式中的第一式，其中A点=30为单向拉伸应力状态。B点=30为单向压缩应力状态。G点=0为纯剪切应力状态。同理可证，DE、FA、CD、BC、EF各边分别代表（321）式中的后五式。C、E都代表单向拉伸应力状态，D、F都代表单向压缩应力状态，各边中点都代表纯剪切应力状态。 （2）对于平面应力状态，3=0，方程组（321）化为： （325）3 = 0的平面（1，2坐标面）与正六角柱屈服曲面的交线为斜六边形（如图3.9所示）。方程组（325）中各式分别代表各边。图3.93.5 Mises屈服条件Tresca屈服条件完全忽视了居于中间大小的主应力对材料屈服的影响，这是和实际有出入的。 图3.10Mises用Tresca屈服条件的屈服轨迹正六边形ABCDEF的外接园作为屈服轨迹。 由（324）式知圆的半径为s，圆的方程为： R2 = （326）R代表屈服曲面上各点对应的应力偏张量的矢量长度。由（3.7）得： R=代入（326）式得：Mises屈服条件的第一种表达方式： （327）由的定义式可把上式变成Mises屈服条件的第二种表达方式： （328）说明：（1）在平面上，Mises屈服轨迹是一个半径为的圆。它的屈服曲面是一个以等倾线为轴线的无限长圆柱面。（2）以1 =s，2 =3 = 0代入（328）式，得到恒等式，说明Mises屈服条件符合单向拉伸实验的结果。（3）对于纯剪应力状态，屈服时应有1=s，2=0，3=s，代入（328）得： s =0.557s （329）与（319）式相比可知，Tresca屈服条件和Mises屈服条件在s和s的关系上有约15的差异。因此，Mises屈服条件和Tresca屈服条件在单向拉压应力状态下完全一致，在纯剪切时二者差异最大，约为15。（4）对于平面应力状态，3 = 0，（328）式化为： （330）在应力空间中，3=0平面（1，2坐标面）与Mises屈服曲面的交线为一斜椭圆，它外接于Tresca屈服轨迹的斜六边形。3.6 加载曲面和加载准则（一）加载曲面（后继屈服面）由单向拉伸试验知道，对理想塑性材料，一旦屈服以后，其应力保持常值。卸载后再重新加载时其屈服应力的大小也不改变（没有强化现象）。对于强化材料，在开始屈服之后，随着塑性变形的发展其应力值继续增加。卸载后再重新加载至原来开始屈服的应力时材料并不屈服，要加到原来卸载开始时的应力，材料才再次屈服。因此对于强化材料，重新加载时的屈服应力要高于原始加载时的屈服应力，这就是强化现象。而复杂应力状态与单向拉伸状态是类似的，即：复杂应力状态下，理想塑性材料在应力空间中的屈服曲面具有固定的大小和形状，屈服以后经过卸载并重新加载，仍然保持原来的屈服曲面。对于强化材料，我们把在应力空间中由屈服条件规定的曲面叫做初始屈服曲面，记做，若加载至超出了屈服曲面后卸载，然后再重新加载时，屈服曲面比初始屈服面向外扩大了，这就是强化现象。以表示这个扩大了的新屈服面，称为后继屈服面或加载曲面(见图3.11所示）；以=0表示加载曲面，称为加载函数。图3.11（二）加载准则如果通过屈服条件判断材料已进入塑性阶段，则下一步必须确定其应力状态的变化是加载达是卸载。因为在塑性阶段对于加载和卸载其应力应变关系服从不同规律，加载时还要产生新的塑性变形，卸载时则不产生新的塑性变形。对于单向应力状态，这个问题是很容易回答的。无论是拉伸还是压缩，其应力绝对值增大时即为加载，减小时即为卸载。但在复杂应力状态下就不那么简单了。可能出现一些应力分量绝对值增加而另一些分量绝对值减小的情况，这时究竟应该是加载还是卸载呢？必须有一个准则来判断。在建立屈服条件时，曾根据屈服函数的大小来判断材料是否屈服，于是可以想到，可依照应力状态变化时的屈服函数f值的变化来判断是加载还是卸载。材料是强化材料时，在应力空间中，代表应力状态的A点当应力状态变化、移向初始屈服曲面以外，即df0时为加载。A向面以内移动时，即df0时为卸载。A在面上移动时，即df = 0时为中性变载。故对强化材料：df0，加载df0，卸载 （331）df = 0，中性变载由实验结果得知，加载时产生新的塑性变形，卸载及中性变载时均不产生新的塑性变形，其各应力分量与各应变分量的改变服从弹性规律。对理想塑性材料，一旦进入塑性阶段以后，在应力空间中代表应力状态的点均位于屈服曲面=C上。由于没有强化现象产生，应力状态变化时，尽管塑性变形还可以不断增长，而屈服函数的值却不能再增长。即不可能有df0的情况出现。代表应力状态的点只能在屈服面上移动，这时有df = 0，属于加载。当代表应力状态的点移向屈服面以内时，df0，属于卸载。故对理想塑性材料：（334）df0，卸载 df = 0，加载采用Mises屈服条件时，与屈服条件 f（）= C相比较，J2就是屈服函数 f（），就是常数C。所以df=dJ2。而应力强度，因此，也可以把看成屈服函数f，这时的加载准则为：对强化材料 di0或d J20，加载di0或d J20，卸载 （335）di = 0或d J2 = 0，中性变载对理想塑性材料（336）di= 0或d J2 = 0，加载di0或d J20，卸载 加载时材料产生新的塑性变形，故产生塑性比功增量0。（比功为单位体积所作之功），而卸载或中性变载时，不产生新的塑性变形，即 = 0，故（由于塑性变形不能恢复，故塑性比功不可能为负）。所以也可以根据来判断加载或卸载：（337）dWp0，加载 dWp=0，卸载或中性变载说明：加载或卸载都是对一个点上的整个应力状态而言。在加载过程中某些应力分量可能增加而另一些可能减小，但只要根据加载准则判断是加载，则就说在这个点是加载。如是加载，则在所有方向上都要使用塑性应力应变关系；如是卸载，则在所有方向上都要使用弹性应力应变关系。3.7 简单加载和复杂加载（一）加载方式对一个复杂应力状态，可以根据加载过程中各个应力分量是否成比例增长而分为简单加载与复杂加载两种方式。图3.12（1）简单加载：在加载过程中各应力分量按某一参数t成比例地单调增长，即 （这里为某一固定的应力状态）时，称为简单加载，即比例加载。简单加载时，在应力空间中代表应力状态的点在连接原点O与代表应力状态的点A的直线上移动。加载路径是通过原点的直线。（2）复杂加载：不符合上述比例关系的加载方式叫复杂加载。复杂加载时加载路径可以是通过原点或不通过原点的曲线或折线。（二）简单加载原理简单加载定义是针对受力物体中一点应力状态给定的。但荷载是施加在整个物体上，这样就提出一个问题：满足什么样的条件，才能在物体内所有各点上实现简单加载呢?苏联力学家提出的简单加载定理部分地回答了这个问题。简单加载定理：对小变形的受力物体，满足下列三个条件即可保证物体内所有各点都处于简单加载（充分条件）：（1）物体上所有外加荷载（包括表面力和体积力）成比例增长。如有位移边界条件，只能是零位移边界条件；（2）应力强度和应变强度呈幂关系;（3）材料不可压缩，即泊松比=。实际上，当材料进入塑性后，上面第三条基本是满足的，而第二条中的幂关系又可以近似地描述大部分金属材料的应力应变关系。因而可以近似地认为只要物体上的所有外荷载成比例增长，就可在物体内所有各点实现简单加载。3.8 强化条件实验结果表明，对强化材料，其加载曲面与初始屈服曲面相比，不仅有形状及大小变化，而且还有位置的移动。因此，Tresca屈服条件和Mises屈服条件只适用于理想塑性材料；或者只作为强化材料第一次开始屈服的初始屈服面，而不能正确描述已进入塑性阶段并己产生一定塑性变形（强化）以后的屈服性质。实验结果还表明，加载曲面与初始屈服曲面相比，其形状大小的变化及位置的移动规律相当复杂，难以用数学模型来精确描述。因此，实际计算中往往作各种不同的假设，再依据这些假设建立相应的强化条件。（1）等向强化假设等向强化假设认为不论加载路径如何，随着塑性变形的增加，其加载曲面在原始屈服曲面基础上向各方向作均匀膨胀，也就是说加载曲面与原始屈服曲面在几何形状上完全相似，其中心位置没有移动。随着塑性变形大小的不同，其胀大的程度也不同。根据这种假设，只要知道加载路径中最远离初始屈服曲面的点，就可以得到对应的加载曲面。图3.13设屈服函数为f (sij)（其中sij为应力偏张量），则。理想塑性材的屈服条件为f (sij) =C （338）在等向强化假设下的加载曲面（即强化条件）为：f (sij) =C(q) （339）q为强化参数，恒为正值。如果取Mises屈服函数，对理想塑性材料屈服条件为： J2 = （340）而J2 =sij sij，故 sij sij = C（常数） （341）则在等向强化假设下的强化条件即可写为： sij sij = C(q) （342）现在讨论强化参数q的取法：（a）取q为塑性比功，即令q = Wp = （343）这时强化条件（342）式可写为： sijsij = C(Wp ) （344）函数C(Wp )可以由单向拉伸或纯剪实验得到。（b）取q为积累的塑性应变，即令 q = （345）这时强化条件（342）式可写为sij sij = C() （346）这里，是塑性应变增量的“强度”，在一般情况下它并不是塑性应变强度的微分，只有在各应变增量成比例的情况下才有： （347） 函数C()可由单向拉伸或纯剪切实验确定。（c）单一曲线假设如果取q为加载路径终点的应变强度i（不是塑性应变强度），即令q =i ，这时强度条件（341）式可写为：sij sij = C(i) （348）应力强度i = ，故（348）式也可写为 （349）照这种假设，对不同的应变状态只要有相同的应变强度i，则尽管其所对应的应力状态可能不同，但必有相同的应力强度i值。也就是说，应力强度i和应变强度i之间有单一的曲线关系，曲线方程是（349）式。所以称为“单一曲线假设”。这条曲线，即为图3.13（a）中的曲线OA，可由单向拉伸或纯剪切实验得出。图3.13（349）也可以写成： （350）式中， （351）上式即为图3.13（a）中的割线OA的斜率，可以称为塑性模量。对理想塑性材料，有 （352）对实际材料曲线斜率为正，即有： 0 （353）又因曲线总是上凸的，故有： 0 （354）因0，故有 0 （355）因而为减函数（见图3.13（b）。 （349）式也可写成： （356）同样可证明有以下性质：0 （357）由（357）式知为增函数（见图3.21（b）。基于以上几种强化条件形式都比较简单，便于运算。在加载路径没有明显反复时，也能基本上与实验结果相符合，所以在实际问题中应用较多。但它最突出的缺点是在卸载后反向加载时不能正确反映Bauschinger效应。如图3.20（a）所示，由O出发经A到达A点，再卸载，然后反向加载至A“点才能再次屈服，即反向屈服应力不但没有降低，反而与正向有同等程度的提高，这是不符合实际的。下面介绍的随动强化假设可以克服这一缺点。（2）随动强化假设（运动强化假设）在图3.20（a）中，为初始屈服面。设从应力空间原点O开始加载，经过面上一点A以后继续加载直至A点。随动强化即假设加载曲面与初始屈服面形状大小完全一致，但随加载路径而平移。也就是说，加载至A点后经过卸载再重新沿OAA路径加载时，要到达A点才重新屈服。但若沿相反方向加载，则到图320（b）中的A“点即发生屈服，也就是在强化的相反方向加载时其屈服应力将降低。设强化后加载曲面的中心移至O点。以aij表示屈服曲面中心移动的距离OO在六维应力空间中的各分量，则在随动强化假设下的强化条件应为： f(sijaij) = C (358)aij的大小与塑性应变张量成正比，即有：aij = h （359）式中，h为随材料而不同的常数，可由实验确定。随动强化假设的最大优点是能比较正确地反映Bauschinger效应，在承受反复荷载时比较容易反映实际情况。但加载曲面的