北京2013届石景山区高三数学一模文科试题及答案.doc

2013年石景山区高三统一测试数学(文科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合,则等于( )A. B. C. D.2.若复数在复平面内对应的点在轴负半轴上,则实数的值是( )A. B. C. D.3.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n.向量=(m,n), =(3,6),则向量与共线的概率为( )A. B. C. D.4.执行右面的框图,输出的结果的值为( )A. B. C. D.5.设aR ,则“a=1”是“直线l1:ax+2y=0与直线l2 :x+(a+1)y+4=0平行的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6.函数的最大值与最小值之和为( )A. 0 B. C.-1 D.正（主）视图侧（左）视图俯视图3222327.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是( )A. B. C. D.8.若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件:P、Q都在函数的图像上;P、Q关于原点对称.则称点对P, Q是函数的一对“友好点对”(注:点对P, Q与Q , P看作同一对“友好点对”).已知函数,则此函数的“友好点对”有( )对.A. 0B. 1 C. 2D. 3二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.函数 为偶函数,则实数_.10.在中,若,则_.11. 在等差数列中,= -2013,其前n项和为,若=2,则的值等于_.12.设抛物线的焦点为F,其准线与轴的交点为Q,过点F作直线交抛物线于A、B两点,若,则直线的方程为_.DEFCBA13.如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是_. 14.观察下列算式:, 若某数按上述规律展开后,发现等式右边含有“”这个数,则_.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.已知函数.()求函数的单调递增区间;()在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知, , ,求ABC的面积.16、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物. PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示.()计算这10天PM2.5数据的平均值并判断其是否超标;()小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率; ()小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率.PM2.5日均值（微克/立方米）21 637 5960 385 6104 717 .O 如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,平面,.()求证:;()设AC与BD相交于点O,在棱上是否存在点,使得平面?若存在,确定点位置.18.已知函数,.()讨论函数的单调区间;()若函数在处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围.19.设椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,左焦点到直线的距离等于长半轴长.()求椭圆的方程;()过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中垂线与轴相交于点,求实数的取值范围.20.给定有限单调递增数列且,定义集合且.若对任意点,存在点使得(为坐标原点),则称数列具有性质.()判断数列:和数列:是否具有性质,简述理由.()若数列具有性质,求证:数列中一定存在两项使得;若,且,则. 2013年石景山区高三统一测试高三数学(文科)参考答案一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.题号12345678答案BADAABDC二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分. 题号91011121314答案三、解答题:本大题共6个小题,共80分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.解:() 令 函数的单调递增区间 ()由,因为为内角,由题意知,所以因此,解得 由正弦定理,得, 由,由,可得 , 16.解:(), 64.8在35与75之间,空气质量属于二级,未超标 ()记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A, ()由茎叶图知PM2.5数据在之间的有21、26,PM2.5数据在之间的有37、59、60、63,从这六个数据中,任意抽取2个的结果有:(21,37),(21,59),(21 ,60),(21,63),(26,37),(26,59),(26 ,60),(26,63),(21,26),(37,59),(37 ,60),(37,63),(59,60),(59,63),(60 ,63) . 共有15个 记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级” 为事件B, 17.证明:(I)在直角梯形ABCD中,所以,所以 又因为,所以 由,所以 所以 (II)存在点,使得平面,此时 证明:在PC上取点使得,连接OE.由, 所以,可得 又因为，所以平面 18.解:()在区间上, 若,则,是区间上的减函数; 若,令得.在区间上, ,函数是减函数;在区间上, ,函数是增函数; 综上所述,当时,的递减区间是,无递增区间;当时,的递增区间是,递减区间是 (II)因为函数在处取得极值,所以解得,经检验满足题意 由已知则 令,则 易得在上递减,在上递增, 所以,即 19.解:()由已知可得, 由到直线的距离为,所以, 解得 所求椭圆方程为 ()由()知, 设直线的方程为: 消去得 因为过点,所以恒成立. 设,则, 中点 当时,为长轴,中点为原点,则 当时中垂线方程. 令, , 可得 综上可知实数的取值范围是 20.解:()数列具有性质,数列不具有性质.对于数列,若则;若则;所以具有性质.对于数列,当若存在满足,即,即,数列中不存在这样的数,因此不具有性质 ()取,又数列具有性质,所以存在点使得,即,又,所以 由知