一笔画攻略.doc

一笔画攻略1 这篇文档是什么1. 首先这篇文档是一篇一笔画游戏攻略。文档详细叙述有关一笔画问题的解答方法和技巧。不同于网上流行的一些一笔画攻略，每幅图都一步步的给出了连线步骤，而是力图带着读者进行一些思考，用抽象和归纳的方法，得出一些通用的结论和解答技巧。2. 这篇文档是作者的itunes store发布的应用程序的自我推广文档。后面将给出链接，如果读者是iphone用户，并且喜欢该文档，可以下载使用。当然你也可以通过阅读本文，领悟技巧，然后下载Android版本的一笔画游戏。毕竟游戏内容和关卡都比较类似，但是我的游戏中融入了攻略以及互动关卡，在互动过程中，竖琴精灵会给予你启发，与本文思想完美融合，并且在出错的第一时间提示你应该注意的地方，并且支持及时撤销等操作。2 这篇文档不是什么1. 这篇文档不是一个填鸭式的游戏攻略，网上流行的攻略都是详细的操作步骤，这种所谓的攻略无法满足热衷于思考的读者。2. 这篇文档不是一篇单纯的广告，虽然我拟写文档的目的之一是为了推广自己的IOS应用，但更是凝结了我大量的尝试，思考和归纳。作为致力于科研和教育事业的我，更希望读者在阅读过程中有所收获，至于读者是不是苹果用户，或者是否愿意消费购买，是其次的事情，如果你是越狱用户，也可以直接联系我，我会把无认证的app发给你。3. 这篇文档不是一篇有关拓扑学的文献，虽然作者本人，是从事科学研究工作，并致力于教育事业，对图论，离散数学，计算几何等相关学科略知一二，但是本文不是绝对的严格！的确文中引入了某些拓扑学的概念，也进行了一些逻辑推导，但立足点是针对游戏，某些推导是带有武断性的，它往往指引我们找到答案，但并非总是正确！3 目录1. 欧拉生平简介2. 柯尼斯堡七桥于拓扑学3. 相关游戏链接推荐4. 单线问题5. 双线问题6. 箭头(有向图)7. 传送门8. 结语数学家莱昂哈德欧拉 莱昂哈德欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家。他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔弗里德里克高斯）。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = F(x) （函数的定义由莱布尼兹在1694年给出）。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。莱昂哈德欧拉 欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育。他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。欧拉是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡。欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷。欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果。在他生命的最后17年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。 莱昂哈德欧拉 欧拉曾任彼得堡科学院教授，柏林科学院的创始人之一。他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人。他认为质点动力学微分方程可以应用于液体（1750）。他曾用两种方法来描述流体的运动，即分别根据空间固定点（1755）和根据确定的流体质点（1759）描述流体速度场。前者称为欧拉法，后者称为拉格朗日法。欧拉奠定了理想流体的理论基础，给出了反映质量守恒的连续方程（1752）和反映动量变化规律的流体动力学方程（1755）。同时是微积分和拓扑几何的先驱。 欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了。 莱昂哈德欧拉 欧拉与拓扑几何 欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等。 欧拉的专著和论文多达800多种。人们为了纪念欧拉小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的。 柯尼斯堡七桥问题 欧拉时代的柯尼斯堡地图，显示了当时七座桥的实际位置。河流和桥梁使用特别的颜色标记出来。 柯尼斯堡七桥问题是图论中的著名问题。这个问题是基于一个现实生活中的事例：当时东普鲁士柯尼斯堡（今日俄罗斯加里宁格勒）市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有两个小岛。小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的桥都走遍？ 莱昂哈德欧拉在1735年提出，并没有方法能圆满解决这个问题，他更在第二年发表在论文柯尼斯堡的七桥中，证明符合条件的走法并不存在，也顺带提出和解决了一笔画问题。这篇论文在圣彼得堡科学院发表，成为图论史上第一篇重要文献。欧拉把实际的抽象问题简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为一条线，桥所连接的地区视为点。这样若从某点出发后最后再回到这点，则这一点的线数必须是偶数，这样的点称为偶顶点。相对的，连有奇数条线的点称为奇顶点。欧拉论述了，由于柯尼斯堡七桥问题中有4个奇顶点，它无法实现符合题意的遍历。 接下来我们学习下欧拉先生是如何分析问题的。一认识问题 现实中的问题是复杂的，但是透过表面，忽略无关和次要因素，从而把问题简化。城市地图2 问题的简化 我们用几何化的图形来描述现实，得到了简化的示意图。显然示意图上没有那么多无关的干扰。简化的示意图三问题的抽象 把连通区域抽象成一个点（节点），而连接区域的桥，抽象成一条线（弧段）。问题从喧嚣的城市中，展现在了纸上。抽象的几何图形 欧拉把问题的实质归于一笔画问题，即判断一个图是否能够遍历完所有的边而没有重复，而柯尼斯堡七桥问题则是一笔画问题的一个具体情境。欧拉最后给出任意一种 河桥 图能否全部走一次的判定法则，从而解决了“一笔画问题”。对于一个给定的连通图，如果存在两个以上（不包括两个）奇顶点，那么满足要求的路线便不存在了，且有n个奇顶点的图至少需要n/2笔画出。如果只有两个奇顶点，则可从其中任何一地出发完成一笔画。若所有点均为偶顶点，则从任何一点出发，所求的路线都能实现，他还说明了怎样快速找到所要求的路线。 不少数学家都尝试去解析这类事例。而这些解析，最后发展成为了数学中的图论。相关游戏链接推荐 接下来我们就要开始讨论正式的一笔画问题了，文档力求细致形象，但是纸上得来终觉浅，还是建议大家打开你的智能手机，下载一款游戏，结合本文论述，加以实践，下面推荐几个游戏连接。1.一笔画精灵（当然先自荐了，适用于苹果用户ios5.0以上）链接：到itunes store搜索“一笔画精灵”或/us/app/yi-bi-hua-jing-ling/id702674203?ls=1&mt=8 价格：0.99$简介：从画面，美工，到音乐都做了精美的设计（虽然本人从事科学研究，但对艺术设计，音乐也颇有了解），竖琴精灵的编写更是倾尽全力，互动式攻略，于本文讲解完美结合，会让你感到物有所值。屏幕截图： 以上分别为主界面，关卡中黄金世界以及竖琴精灵面板的截图。 这张竖琴logo花费了我两天半的时间，我希望设计出一个一笔画出，同时又简约美观，不失艺术性的图标，先后尝试过高脚杯，青花瓷，丹顶鹤等主题2.一笔画（适用于android用户）连接：/down?aid=1604861&em=13价格：免费简介：画面简洁朴实，最早流行，下载量最多的版本，网上的攻略也都是针对这个版本的，游戏管卡众多，难度递增，无愧于最经典的版本，android用户首选。屏幕截图：注：android系统下似乎盗版比较严重，我也不知道哪个是官方版本，毫无疑问有仿制版本，但是我们只选择做工最精美的，那么就用我推荐的链接吧，这些应用与作者本人无任何关系，只是在我尝试过的各个版本中做工更好一些而已！3. 一笔画图（适用于苹果用户）连接：到itunes store搜索“一笔画图”价格：免费简介：苹果用户的免费选择，兼容ios4.3,iphone5，类似于android版本的，做工更偏卡通。屏幕截图：4.精编一笔画/经典一笔画（适用于苹果用户）链接：到itunes store搜索相应名称价格：免费简介：这两个版本的做工都很华丽，前者接近手写效果，后者类似霓虹灯光效果，但是个人不是非常欣赏眼花缭乱的炫目效果。5.一笔画攻略链接：/a/item?docid=3364823&pre=web_am_se&f=web_alad_5next 价格：免费简介：这是一款针对android版本的一笔画游戏攻略，与其说是攻略，不如说是一份参考答案。上面有每一关的解题步骤，手把手叫你怎么破每一关，只要按照阿拉伯数字的次序行走，就可以得解。屏幕截图：同时介绍几个攻略网站：/news/20120808/59501.html /zt/yibihua/ 这些网站内容大致一样，都是类似于这款游戏，用数字给每个步骤编号。一下给出部分页面截图：说实话，我不建议去看这种攻略，我之所以给出这些链接，是希望读者经过思考之后，可以用这些给出详细步骤的攻略，来验证我们总结出的结论是否正确，亦或是什么情况下正确，还需要做哪些补充！ 以上是几个流行版本的一笔画游戏（当然严格说本人的那款还不流行），包括一款攻略游戏以及若干攻略网站，读者可以根据自己的手机系统以及，自己的偏好，选择一款。（还是希望多多支持本人的作品） 好接下来，我们正式进入主题！ 喂！放松心态，不是上数学课一笔画我们已经拜读过欧拉前辈关于柯尼斯堡七桥问题的精彩解答，在我们开始之前，还是要认真思考下，我们从欧拉那里学到了什么？如果你仅仅是学到了一笔画的方法，那么你就没有领悟真谛。我们即将面临更加复杂的一笔画问题，这些问题远比欧拉面对的问题复杂，然而欧拉留给我们最宝贵的东西，是一种思维方式，而非一个结论。好了，让我们重温欧拉的精彩演绎，看看欧拉先生是如何对问题进行抽象的。 面对形形色色的复杂现实，我们要能够去伪存真，找出我们关心的事物，区域，河流，桥。除此之外，城市，道路一切都是无关紧要的。这样我们得到了精简的示意图，完成了简化。原始城市地图 现在看起来简明多了，然而仅仅经过简化是不够的，经过合理的抽象，观察河流把土地分成了几个独立的区域，而我们不关心区域的大小和形状，那不如我们把它们抽象成一个点吧，这样桥就是连接点之间的线。去除无关因素这样一来问题变成了单纯的点和线之间的问题了，现在我们可以直接面对抽象的点和弧段来思考了，其中一个莫大的好处，抽象的事物，没有太多非本质事物的干扰，我们可以尽情发挥逻辑的威力。抽象后的点线图 是的，问题的转化与抽象才是欧拉演绎的精华所在，那么就让我们带着欧拉先生的寄托，开始新的征程吧。 欧拉先生演绎的结论指出，只要观察每个节点引出的弧段的数目，就能够判断是否能够一笔画出。即当奇数点数目等于2或者0时，图形可以一笔画出。1）奇点的奥秘我们要一笔画出来，那除了落笔和收笔点，中间的节点必然是有进有出，因此总是成对的，而只有在落笔和收笔的时候，形成奇数点！2）为什么没有奇点无论如何，总要落笔和收笔，而落笔和收笔，总会形成奇点，这么说不对吗？那为什么下面图形没有奇点呢？ 五角星 心形 沙漏 确切说这句话没错，但是注意当收笔和落笔点重合的时候，奇点就会消失！那些没有奇点的图形是这样形成的最后留一个问题做思考，会不会只有一个奇点呢？3）当心孤岛现在我们清楚了为什么要从奇点出发了，然而这样就一定能成功了吗？我们还要注意哪些？是的，如果某一笔把图形分成了两个不连通的部分，那也就意味着我们已经不可能到达另一边了。好在这种情况，在你选择了正确的起点之后，只要稍加注意，就能够避免犯这样的错误。 掌握了这些要领，这类问题就变得容易了，记住选好了起点是成功的一半！如下图，两个奇点分别为落笔和收笔。 数字为弧段数目，奇数点用 * 标示 经过了这么多的思考，我们跳出来，看看这类图形有什么特点吧？我们似乎只是关心节点和弧段的连接关系，而不会关心他们的绝对位置和形状！比如下面两个图形，有区别吗？梯形 菱形 平行四边形 在欧几里得几何学中，这些显然是截然不同的图形，然而在拓扑学中，我们却不做区别。他们都是四个节点依次串联得到的图形，甚至如果我们愿意，如下图形也可以一同看待：任意凸凹、四边形 沙漏相比之下，只是它们的四个点更加没有约束，甚至是弧段之间有交叉，但是由于我们本不关心弧段所经过的路径，只是关心它连接的节点。 经过抽象，他们体现出的本质是相同的。正式因为这个特性，拓扑学也被称作是橡皮筋上的几何学。好了，总结一下这一节得到的结论：1） 从奇点出发（如果存在）2） 当心不要形成孤岛带着这两个经过思考而得到的结论，这种一笔画问题问题将变得容易，无论看起来多复杂。篇末还是展示一下我的竖琴精灵，是我选取了25个非常有代表性的图，为每个专题配备5张练习图，并通过程序进行监控，会根据你的决策实时分析，第一时间发现你的错误，并给予相应提示，是不是听起来很神奇？以下是单线专题的练习图。竖琴精灵截屏： 程序会对每个节点进行字母编号，并计算每个节点所连接的弧段数，显然左图需要从A或D点落笔，当你选择了B，竖琴精灵会提示你按照奇偶判定法则来选择起点！右图，美丽枫叶，实则和左图的对角线是拓扑意义等价的，结合本文讲解，当你有所体会，一种兴奋感就会从内心踊跃出来！双线 经过了前一篇的学习与思考，我们已经能够轻松找到突破点，完成一笔画问题了。欧拉告诉了我们方法，然而问题还没有结束，后面的路还需要我们自己走。接下来我们将讨论的是双线问题。橙色代表双线，要经过两次 如果规定双线需要经过两次，问题又该如何处理呢？前一章的讨论我们已经很好的认识了单线图像以及深入研究了其解法，面对双线，似乎引入了新的规则，但双线不过是两条线的代名词，并且用橙色来表示，下面我们将他复原！ 把双线用两条虚线代替 好了，一个简单的转化，问题又变成了之前我们以掌握的单线问题，但是在我们真正解图的时候，并不需要把图画成单线再去思考问题，只要在计数奇偶点的时候，每条橙色弧段为所连接的节点贡献两个出入口就可以了。橙色弧段为两段的节点贡献2 问题似乎已经解决，但是在我们翻到下一页之前，还是进一步认识一下“橡皮筋上的几何学”。不知道上一幅图形，你是否有种似曾相识的感觉？只是多出了一个节点 以上两幅图，有什么不同呢？只是后一张多出了一个节点而已。这个节点究竟有没有作用，想必直觉也会高速我们结果，然而我还是理性分析一下。我们的工作，实质是在每个节点处选择路径，而对于那些只有两条路径连通的节点，这个选择也就失去意义了，因为我们要选择，必然先到达，而到达之后，也就只剩下唯一的出路了，事实上我们已经别无选择！ 到达这里的时候，只有唯一出口了 我们得到这样结论，如果某个节点只有两条弧段与之连接，则可以去掉这个节点。这样看来，前面的两幅图包括双线的那张，在拓扑意义下，都是等价的了。回想上一章我们论证的“橡皮筋”特性！ 任意凸凹、四边形 沙漏以上图形在拓扑意义下是等价的，但是现在，更多的成员要加入这个等价行列了： 五角星 心形 双线 我们来分析下，如之前的四边形，同样的还有三角形，六边形他们都是依次串联的若干节点，甚至连五角星也不过是弧段相互交叉的依次串联的五个节点，而心形呢？曲线大可以当做是很多条很短的弧线吧，双线只是被压扁了的心 总之以上图形都是依次串联的若干节点，这些被串联的节点，都是只有一进一出，根据本章结论，这样看来，这些点都是没有作用的，因为你别无选择，那为什么不把它们去掉呢？于是就成了一个没有节点的环！ 是的，拓扑学上，以上图形都是等价的，统称为一个闭环。在一笔画中时刻要有这种思想来简化局面！最后，总结一下这一节得到的结论：1） 计算奇偶点的时候，每有一条橙色线连接，就+2。2） 按照单线的方式完成问题。我们经过简单转化，把问题变成了之前解决过的问题，翻开下一页之前，还是向大家展示一下这一章准备的五个互动管卡其中的一个，竖琴精灵还是会伴随你，给你以启发和帮助的，在你出错之后，可以点击撤销键，回到上一步的操作！ 左图为我精心设计的一艘扬帆远航的帆船，白色线是双线，右图是不慎在桅杆走完之后，形成了孤岛，好在第一时间，竖琴精灵会给予提示，你可以轻松撤销到上一步操作，并且经过这样的训练，很快你会养成习惯，注意这类问题的！箭头 我们讨论了单线和双线的情况，但此前的讨论，弧段都是没有方向的，可以从连接的任意一个节点到达另一端，接下来，我们将讨论带方向的弧段了。那意味着你只能从规定的方向经过弧段，而不能逆行！ 由于本章我们将着重分析关于节点的更多信息，而不只是奇偶性，本图例将用圆点来表示节点，在线段上加上箭头表示有向弧段，如下：一条有向弧段 此前我们解决问题的关键是数奇偶点，因为弧段没有方向，我们只要数总路径就可以了，即便面对双线也是一样。找到了起点和终点，行走的时候留意孤岛，就可以顺利完成。那以往的方法，能否解决新的问题呢？ 首先，根据奇偶性确定起点和终点的方法，依旧适用，毕竟添加了方向只是对行走的过程添加了一些约束。不过在行走过程中就要小心了。因为弧段有了方向，就不能自由出入了，所以我们需要维护更多的信息，是的，出口和入口数以及自由路径数！ 此前的问题，我们没有区分出口和入口，因为每条弧段既可以是出口，又可以是入口，因此我们无需考虑出入。但是有了箭头，就不再如此了。 我们还是把注意力放在节点上，我们先来区分一下入口，出口，和自由口（下文我们用in，out，free分别表示入口，出口，和自由出入口的数目）如下图： 让我们重新认识下奇点的奥秘，为什么起点和终点会形成奇数点呢？因为最终有如下关系：起点：多一个出口终点：多一个入口途经点：出口入口相等起点和终点分别多出了一个出口和入口，因此形成了奇数点。 这些信息有什么用呢？一个很显然的道理，试想如果一个节点有一个入口，三个出口，且没有自由口，毫无疑问，这个点所连接的弧段不可能一笔完成。就好比在不经过时空隧道的情况下，你不可能进入一扇门一次，就从中走出三次！ 那么这些信息具体该如何使用呢，我们只要知道除了起笔和落笔点，其他的节点最终进入和走出的次数是相同的！ 这样，这种出口和入口的不平衡，就需要用自由口来调节了。有一个值就变得尤为重要了： Value = free - |in - out|(对于当前点和终点，分别给出口或入口数目-1)我们不妨叫这个值自由度。Value的意义是自由口数目减去出口数和入口数的差值绝对值，当结果为负的时候，就意味着自由口的数目已经不足以调节出入平衡！所以有这样论断：在决策过程中自由度应始终非负。注意：这里说的都是一个动态过程，就是随着决策的进行，当前点在不断更新，同时走过一条弧段之后，弧段当即作废（双线变成单线），同时弧段连接的两个节点的出入口数目发生变化。 我知道上面的文字有点太过严格和枯燥，如果你不是从事数学和计算机算法设计的，很可能不太理解，下面我们结合图来一步步完成一个带箭头的一笔画问题，同时也带有双线！如图： 橙色为有向双线下面我们开始分析问题：1）观察奇偶点，没有奇点，我们任选落笔点D，经DB到达B点。 注意D点的自由度，1-2=-12）计算自由度此刻D点的自由度为-1，意思是你这样走下去，最后这个点一定会缺少一条入口的。你将会按照：D - B - C - A - E - F - D - C完成，但是DC只经过了一次，我们需要一条入口重新回到D！如果选择DF起步，同样面临这个问题，D点的自由度会变成负值。因此我们只能选择DC，正确的解法如下：3）自由度为0的意义一个令人遗憾的结果是不像孤岛那么显而易见，自由度要经过简单的加减计算，更可怕的是它能够传递！如下图：我们选择F为起点，沿FE到达E我们计算E点的自由度：E点没有出口，没有入口，一条自由口，但是E是当前点，因此需要多一条出口，言外之意，EA就已经被强加了方向，我们用深蓝箭头标示。而由于这条强加的箭头指向了A，A点的自由度也下降为0，因此AC被强加了方向。好了，由于AC被强加了方向，现在C点的自由度变成了-2是不是有点沮丧呢，好在不是每次都经过这样繁杂的思考过程。而是有一些简单的技巧指引我们，稍后我将介绍给大家。 当某个节点自由度下降为0的时候，其实质是，所有的自由口已经“不再自由”了。比如上图其实我们可以进一步简化和挖掘，不要忘记上一节的结论，关于那一系列的等价，去掉无效的节点，图形就变成了这个样子：计算A,B的自由度就都是0A节点两个入口，两个自由口，自由度已经下降为0，言外之意，为了平衡，两个自由口必须为出口！可见两条自由路径，其实并非真的自由。如果你不慎反向行走，那就给今后埋下了一个说不圆的谎言！4）关于传递 前面已经通过例题，介绍了传递，就是每一步决策，也会给当前节点带来新的信息，当这个节点的自由度下降到零，也就强制了连接该节点的每条自由弧段的方向，而这些弧段由于方向的确定，有可能导致另一端的节点达到饱和 只有我们充分挖掘了传递的信息，才能保证步步为营。 可能你硬着头皮读到了这里，也觉得不像前面两节那么愉快了，即便是你耐心理解了我说的，然而对于游戏，如果要思考这么多，也就失去了乐趣！至少我玩游戏的时候，不会想这么多，（棋牌游戏和策略游戏除外）这无疑是一件糟糕的事情。好在我们可以得到一个启发式的方法，他“往往”能给我们带来好的结果。5）很实用的技巧 当然不会思考那么多，现在我就告诉你一个秘密，无论何时，在当前点，尽可能先走带箭头的吧！ 原因很简单，通俗点说，自由路径可以出可以入，你现在只是要出来，就不要浪费自由路径，如果有出口，就走专用的吧！自由路径可能今后变成你的入口，出口则不会！总结一下这一节得到的结论：1） 按照前面的方法，选择起点2） 留意孤岛3） 在过程中，优先走带有箭头的路径！最后还是来看一下一张互动关卡的截屏，同样我精心准备了5个互动关卡，并让竖琴精灵来指引你领悟一些技巧。 这一关的主题是一颗破碎的心，当从K - G - J的时候，G点两个出口，而没有入口，因此被判定为出入失衡，而在传递性的作用下，EA箭头分别传递给了心两侧的轮廓，因此也可以说J点失衡（因为IJ被带上了方向）竖琴精灵总能够在第一时间给予提示！由于这一关和接下来的传送门的复杂程度相比之前的单双线已经有所增加，因此建议读者还是结合一些练习，再次推荐我本人的作品：链接：到itunes store搜索“一笔画精灵”或/us/app/yi-bi-hua-jing-ling/id702674203?ls=1&mt=8 传送门 我们讨论了单线，双线，以及带箭头的弧段的问题。相信如果你已经认真阅读了前面几篇讲解，并且经过了认真思考和一定的练习的话，应该多少有所收获了。接下来，最后的挑战就要到来，传送门。 他们的规则是这样的，当到达绿色节点之后，当前点会被强制传送到另一个绿色点！ 乍一听的确是一件很可怕的事情，但是经过这么多历练之后，我们不会再惧怕什么了。我们下面就来击碎成功前最后一道砸门！ 我们依旧从起点的选择入手。欧拉先生的奇偶点判定法，此前一直伴随我们乘风破浪，即便面对箭头的时候，也依旧适用，但终究我们还是要自己开拓新的方法，但是经典却是永恒，沉淀下的思想，外化为新的形态，却保留着最初的影子。我们看下面的问题：四个奇数点？难道出问题了吗？他能解吗？按照欧拉先生的结论，当图形中出现超过两个奇数点，那么它将无法一笔完成。哦！天啊，它甚至是一个孤岛！不过这个问题，显然可以完成，A - B - C - D，就顺利完成了，问题出在哪里？传送门！传送门的存在似乎颠覆了奇偶判定法则和孤岛的概念！1） 传送门是什么 节点还是弧段？从视觉上看，显然是一对颜色比较特别的节点，然而它的功能呢？是把当前点强制转移到对应点位！从功能上看来，这种转移更像是一条看不见的弧段！下面我们让他现身！这样一来，图形将不再是孤岛，而欧拉先生的奇偶判定法则也将延续生命力！2）一条还是两条看下面的图形，顺便引入双线：这个图形两个传送门节点的弧段数目都是2。它们之间是一条隐形弧段吗？如果是一条，那么着两个节点的弧段数目就都成了3，那么整幅图形就存在了四个奇数点了！让我们看看它的解法：A - C - D - E - D - C -B显然传送门经过了两次传送。而每经过传送节点一次，就发生了一次传送，那么其实一对传送门之间，不止一对看不见的弧段，而是取决于所连接的能看见的弧段的数目。上图用两条虚线连接后，就又可以用之前的方法确定起点和行走策略了。2） 一定相等吗一对传送门他们的节点数是不是一定相等呢？我们来看下面问题：这对传送门两侧分别连接了2个，1个弧段，传送门的作用是强制把焦点送到对应位置，那么这对对偶点所连接的弧段应该相等才是，不对吗？哦，我们忽略了一个前提，必须当这对点不是起点或者终点的时候，因为起始和终止的那一次，传送门是不发生传送作用的！反之，当这对对偶点所连接的弧段数目不相等的时候，多出来的，必然是起点或者终点，否则少的一侧必然率先把弧段用完，而无法接受对偶点接下来的传送！ 因此上图你无论怎么画，A点必然是起点或者终点！而这对传送门之间实际上是一条弧段，我把它补上，现在奇偶判定法则又适用了！两个奇数点：A，C！4）可以差更多吗前面我们已经看到传送门一对对偶节点所连接的弧段数目不相等的情况，那么能差更多吗？看下面问题：根据之前的结论，传送门之间的虚拟弧段数目应该是两者连接弧段数目中的较小者。而多出来的，一定是起点或者终点。而这里多出了两个来，那也很容易解释，一定是一个起点一个终点，都集中在了一起！根据之前的双线的转化理论，我们把双线分解成两条单线，原图转化如下：分出来的两个端点是起点和终点，这样又成了我们熟悉的问题。5）箭头和传送门此前说的四个问题，都还是为了选择起点和终点，双线在任何情况下，可以等价于两条单线，因此也一并讨论了，然而我们还没有讨论如何决策的问题，尤其是箭头的引入，这两者的结合的确是非常可怕的，好在我们奠定了以上的基础，我可以用很简单的言语来描述传送门对箭头带来的影响，在常规点上，我们通过计算节点的出口，入口，以及自由出入口的数目来判定问题是否可行，但是对于传送门点，还需要特殊照顾一下。既然它可以无条件的将焦点转移到对偶点，那么我们在计算自由度的时候，传送点的入口，其实要和其对偶点的出口进行计算。下图举例：D点一个入口，而C点只有一个自由口，因此C点的自由口必然是D传送到C的焦点的出口，再看C点一个入口，而D点却没有出口，切C比D多出了一条弧段，固C点是终点。 至此，最后的难题，被我们一步步分解成前面层解决的初级的问题。本章的图例都是两个分离的部分，这是为了更好的体现传送门的特性，而实际中，对偶点也可能在一个连通的部分上。 的确，我们把问题分解了，每个问题如果都这样考虑，那是能够很稳健的求解的，不过要综合考虑以上全部问题，是很考验耐心的。然而不是每个人都能够享受沉思的快乐。对于游戏，似乎不需要太多的思考，掌握些最基本的规则，然后加上一定的直觉，一定的尝试和经验，就足够了。 本章叙述了这么多，但好在前面几条都是通过观察弧段数目，来选择起点的方法，贯彻起来并不复杂，而透过传送门，去考虑箭头，就太没有乐趣了，不管怎么说，记住，选对了起点，就成功了一半。至于剩下的，或许多尝试几次吧。终于到了总结的时候了，这是最后的总结：1） 如果传送门对偶点引出的弧段数目相等，则根据就判定法则，选取起点（传送门可以是奇数）2） 如果传送门对偶点引出弧段数不相等，多出来的必为起点或终点。3） 按照之前的方法去决策，箭头优先选取。4） 如果要考虑，自由度，传送门的点的自由度要和其对偶点进行计算。（大可不必考虑了） 前两条都是选取起点的技巧，需要掌握，第三条，还是用于处理箭头的技巧，和从前一样，第四条，就有点失去乐趣了，嘿嘿，在水晶世界的最后一关，如果你不考虑第四条，可能需要东撞西撞一阵子了，不过大多时候，不必考虑的最后再向大家展示一下传送门的互动关卡： 左图是一盏台灯，看似奇数节点是H，C,但是由于传送门的存在，根据本章结论，C点的弧段被翻倍，3 * 2 = 6，而F点四条弧段，其中三条与C点对应，剩下一个当然是起点或终点，因此4 - 3 = 1，F点实质是一个奇数节点！右图是一个双心，传送门分别位于内心和外心，这个图形乍眼看没有奇数节点，但是根据本章总结的规律可知，传送门是若干隐形的弧段，所以