专题2.3-以二次函数与直角三角形问题为背景的解答题(原卷版).doc

第三关 以二次函数与直角三角形问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数竞赛中也有二次函数大题，很多生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大中很多数知识都与函数知识或函数的思想有关，生在初中阶段函数知识和函数思维方法得好否，直接关系到未来数的习。直角三角形的有关知识和二次函数都是初中代数中的重点内容，这两块内容的综合是初中数最突出的综合内容，因此这类问题就成为中考命题中比较受关注的热点问题.【解题思路】近几年的中考中,二次函数图形中存在性问题始终是热点和难点。考题内容涉及到分类讨论、数形结合、化归等数思想,对生思维能力、模型思想等数素养要求很高,所以生的失分现象比较普遍和突出。解这类问题有什么规律可循?所应用的知识点：1.抛物线与直线交点坐标;2.抛物线与直线的解析式;3.勾股定理;4.三角形的相似的性质和判定;5.两直线垂直的条件;运用的数思想：1.函数与方程;2.数形结合;3.分类讨论;4.等价转化；解决二次函数中直角三角形存在性问题采用方法：1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点；2. 以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1，以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解.【典型例题】【例1】如图，已知抛物线yax2bxc（a0）的对称轴为直线x1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.（1）若直线ymxn经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标【答案】（1），；（2）M（1，2）；（3）满足条件的点P共有四个,分别为（1，2）, （1，4）, （1，） ,（1，）【解析】试题分析：（1）已知抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，可得方程组，解方程组可求得a、b、c的值，即可得抛物线的解析式；根据抛物线的对称性和点A的坐标（1，0）可求得B点的坐标（3，0），用待定系数法可求得直线BC的解析式；（2）使MA+MC最小的点M应为直线BC与对称轴x1的交点，把x=-1代入直线BC的解析式求得y的值，即可得点M的坐标；（3）分B为直角顶点，C为直角顶点，P为直角顶点三种情况分别求点P的坐标试题解析：（1）依题意，得 解之，得抛物线解析式为对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0），B（3，0）把B（3，0）、C（0，3）分别直线ymxn，得 解之，得 直线BC的解析式为 （2）MA=MB，MA+MC=MB+MC.使MA+MC最小的点M应为直线BC与对称轴x1的交点.设直线BC与对称轴x1的交点为M，把x1代入直线，得y2.M（1，2）（3）设P（1，t），结合B（3，0），C（0， 3），得BC218，PB2（13）2t24t2，PC2（1）2（t3）2t26t10.若B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即184t2t26t10. 解之,得t2.若C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即18t26t104t2解之，得t4若P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即4t2t26t1018解之，得t1，t2综上所述，满足条件的点P共有四个,分别为（1，2）, （1，4）, （1，） ,（1，）考点：二次函数综合题.【名师点睛】本题是二次函数的综合题，考查的知识点有平面直角坐标系上点的特征、直角三角形的知识，题目综合性较强，有一定的难度；解题时要注意应用数形结合思想、分类讨论思想及方程思想，会综合运用所的知识灵活的解题.【例2】如图甲，ABBD，CDBD，APPC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图” （1）证明：ABCD=PBPD （2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由 （3）已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，使得QAP=90，求Q点坐标【答案】（1）（2）见解析；（3）（， ）【解析】试题分析：（1）根据同角的余角相等求出A=CPD，然后求出ABP和PCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；（2）与（1）的证明思路相同；（3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再过点P作PCx轴于C，设AQ与y轴相交于D，然后求出PC、AC的长，再根据（2）的结论求出OD的长，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q的坐标试题解析：（1）证明：ABBD，CDBD， B=D=90，A+APB=90， APPC，APB+CPD=90， A=CPD，ABPPCD，ABCD=PBPD； （2）ABCD=PBPD仍然成立 理由如下：ABBD，CDBD，B=CDP=90，A+APB=90， APPC，APB+CPD=90，A=CPD， ABPPCD，ABCD=PBPD； （3）设抛物线解析式为（a0）， 抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3）， ， 把（0，-3）带入得 y=x2-2x-3， y=x2-2x-3=（x-1）2-4，顶点P的坐标为（1，-4）， 过点P作PCx轴于C，过点Q向x轴作垂线，垂足为E.设QE=m，由第(2)题结论得AE=2m，则Q点坐标为（2m -1，m）带入y=x2-2x-3，解得m=或m=0（舍去），把y=带入y=x2-2x-3，解得x=或x=（舍去）点Q的坐标为（， ）【名师点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，综合题，但难度不大，根据同角的余角相等求出两个角相等得到两三角形相似是解题的关键【例3】如图，已知点A的坐标为（-2，0），直线y=-+3与x轴，y轴分别交于点B和点C,连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点（1）请直接写出B，C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标；（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MNAB，交AC于点N点.Q从点B出发，以每秒l个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒）当t（秒）为何值时，存在QMN为等腰直角三角形?【答案】（1）（1）B（4，O），C（0，3），抛物线的解析式为顶点D的坐标为；（2）当点P坐标为（3，）时，四边形DEFP为平行四边形；（3）当t为或或时，存在QMN为等腰直角三角形【解析】试题分析：（1）由直线y=-+3的解析式即可得B，C两点的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解析式，根据抛物线的解析式即可得抛物线的解析式；（2）设点P坐标为则点F的坐标为（m，-m+3），根据四边形DEFP为平行四边形，则PF=DE，由此列方程求得m的值，即可得点P的坐标；（3）分别以点M、N、Q为直角顶点讨论解决即可.试题解析：（1）B（4，O），C（0，3）抛物线的解析式为顶点D的坐标为（2）把x=1代入因点P为第一象限内抛物线上一点，所以可设点P坐标为点F的坐标为（m，-m+3）若四边形DEFP为平行四边形，则PF=DE即-m2+m+3-（-m+3）=解之，得m1=3,m2=1（不合题意，舍去）当点P坐标为（3，）时，四边形DEFP为平行四边形（3）设点M的坐标为（n，-），MN交y轴于点GBAC当Q1MN=90，MN=MQ2=OG时，解之，MN=2解之，当时，容易求出当MQ3N=90，Q3M=Q3N时，NM=Q3K=OG解之，得MN=3解之，得n=2，即MN的中点K的坐标为即当t为或或时，存在QMN为等腰直角三角形【名师点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式、平面图形的面积的计算、二次函数与一元二次方程、直角三角形的知识等多个知识点，难度比较大解题时要注意应用数形结合思想、分类讨论思想及方程思想，会综合运用所的知识灵活的解题.【方法归纳】解决二次函数中直角三角形存在性问题采用方法：1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点；2. 以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1，以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解.【针对练习】1如图，抛物线与x轴交于两点A（4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交ABC的另一边于点E，将ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t，使得EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式2如图，抛物线与x轴交于A，B两点，B点坐标为（3，0）与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；若BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围3如图，抛物线经过B（1，0），D（2，5）两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQx轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使APB=90，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？4如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为. （1）求抛物线的解析式； （2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根； （3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 5抛物线与轴交于A(4，0)，B(6，0)两点，与轴交于点C(0，3).（1）求抛物线的解析式； （2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0t3）.过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，PDE的面积最大，并求出这个最大值； 当t =2时，抛物线的对称轴上是否存在点F，使EFP为直角三角形？若存在，请你求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 6如图所示，矩形ABCO是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕点B逆时针旋转得到的点O在x轴的正半轴上，点B的坐标为(1，3)(1)如果二次函数yax2+bx+c（a0)的图象经过O，O两点，且图象顶点M的纵坐标为l，求这个二次函数的解析式；(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右侧，是否存在点P，使得POM为直角三角形?若存在，求出点P的坐标和POM的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边CO所在直线的解析式7如图，直线yx2与抛物线yax2bx6相交于A(， )和B(4，m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴，交抛物线于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由；(3)当PAC为直角三角形时，求点P的坐标8如图，已知抛物线y=x24x+3与x轴交于A，B两点，其顶点为C（1）对于任意实数m，点M（m，2）是否在该抛物线上？请说明理由；（2）求证：ABC是等腰直角三角形；（3）若点D在x轴上，则在抛物线上是否存在点P，使得PDBC，且PD=BC？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由9已知二次函数yax2bx2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x2和x5时二次函数的函数值y相等(1)求实数a，b的值；(2)如图，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动当点E停止运动时，点F随之停止运动设运动时间为t秒连接EF，将AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到DEF.是否存在某一时刻t，使得DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；设DEF与ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式10如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B（3，0）、C（1，0）两点，与y轴交于点A（0，2），抛物线的顶点为D连接AB，点E是第二象限内的抛物线上的一动点，过点E作EPBC于点P，交线段AB于点F（1）求此抛物线的解析式；（2）过点E作EGAB于点G，Q为线段AC的中点，当EGF周长最大时，在 轴上找一点R，使得|RERQ|值最大，请求出R点的坐标及|RERQ|的最大值；（3）在（2）的条件下，将PED绕E点旋转得EDP，当APP是以AP为直角边的直角三角形时，求点P的坐标11如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于， ， 三点，其中点的坐标为，点的坐标为，连接， 动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点作匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒连接（）填空： _， _（）在点， 运动过程中， 可能是直角三角形吗？请说明理由（）在轴下方，该二次函数的图象上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间；若不存在，请说明理由（）如图，点的坐标为，线段的中点为，连接，当点关于直线的对称点恰好落在线段上时，请直接写出点的坐标12如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中、是方程的两根，且（）求抛物线的解析式；（）直线上是否存在点，使为直角三角形若存在，求所有点坐标；反之说理；（）点为轴上方的抛物线上的一个动点（点除外），连、，若设的面积为 点横坐标为，则在何范围内时，相应的点有且只有个13如图，已知抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC（1）求A，B，C三点的坐标； （2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PMy轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当BCM的面积最大时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得CNQ为直角三角形，求点Q的坐标14如图，直线y=x+3与x轴，y轴分别相交于点B，C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2（1）求该抛物线的函数表达式；（2）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B，C，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）