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高 等 教 育 自 学 考 试毕 业 论 文 论文题目：n重积分的计算方法 专 业：应用数学 主考学校：兰州大学准考证号：432409205072 学生姓名：徐珊珊指导教师及职称：陈建文 教授甘肃省高等教育自学考试办公室印制2011年 3 月 1日论文标题：n重积分的计算方法论文作者：徐珊珊目 录摘要2一、引言3二、二重积分的计算方法3 2.1二重积分化为累次积分法3 2.2二重积分的变量变换法 3 2.3二重积分的对称法 4三、三重积分的计算方法4 3.1利用坐标系计算三重积分4 3.2三重积分的变换法53.3三重积分的对称法5四、n重积分的计算方法5 4.1n重积分的变量变换5 4.2 n重积分化为累次积分9五、结束语13参考文献14n重积分的计算方法 徐珊珊摘要本文主要介绍了几种重积分的计算方法，主要从累次积分的计算方法，变量变换等方法阐述了二重积分的计算方法，并将二重积分的计算方法推广到三重积分及多重积分。关键词二重积分 三重积分 n重积分 变量变换 累次积分 一、引言重积分是定积分的推广，包括一重积分，二重积分和三重积分，被积函数有一元函数f(x)推广为二元函数f(x,y)（三原函数f(x,y,z)），积分范围由数轴上的区域推广为平面区域和空间区域，我个人在学习和复习多重积分是感觉这一块比较烦琐，而在日常生活中多重积分又有着很多的用处，通过查资料，N重积分的计算方法还是有规律可循的，结合前任的经验，主要介绍二重积分，三重积分和N重积分的计算方法。二、二重积分的计算方法2.1二重积分化为累次积分法二重积分的计算，我们主要是将画出积分区域的图形后，在积分区域内做一条条平行于x 轴的直线，将该直线平行于x 轴上下移动，如果该直线与积分区域D 的左（右）交点始终在同一条曲线上，则选择先对x 积分，且积分区域不分块，可以减少计算量，否则积分区域分块对x 积分会增加难度，同时左（右）交点所在的曲线为积分下（上）限。如果选择先对x 积分积分区域要分块，则可在积分区域内任意画条平行于y 轴的直线，将该直线平行于y 轴左右移动，如果该直线与积分区域D 的上（下）交点始终在同一条曲线上，则选择先对y 积分，积分区域不分块，可以选择先对y 积分，同时直线与区域D 的下（上）交点所在的曲线为积分下（上）限。也就是我们所说的先对x积分还是先对y积分。就是我们通常所用的化为累次积分法。2.2二重积分的变量变换法对于二重积分的计算方法我们还可以通过变量变换来计算，下面我们对二重积分的坐标变换做以简单介绍。若设积分区域可以用不等式来表示,函数在区间上连续(图1)图2图1首先在区间上任意取定一个值对应于这个值, 区域上的点的极径从变到又是在上任意取定的,所以的变化范围是区间则极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为 上式也可写成 如果积分区域是图2所示的曲边扇形,那末可以把它看作图中当时的特例这时区域可以用不等式 来表示,而公式化为图3如果积分区域如图3所示,极点在区域的内部,那末可以把它看作图中当时的特例这时区域可以用不等式 来表示,而公式化为 这种方法不仅使用了变换的思想还用了累次积分的思想，我们把这种方法叫做二重积分的坐标变换法。2.3二重积分的对称法在二重积分的计算中我们还可以利用区域和被积函数的对称性积分的，利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化积分的，这就是二重积分的另一种计算方法对称法。三、三重积分的计算方法3.1利用坐标系计算三重积分对于三重积分的计算方法，在坐标系中我们可以用两种方法来计算三重积分，一种是先计算一个变量，然后再计算剩下的两个变量，即投影穿线法；一种是将空间区域看成一张张平面叠加而成，先考虑在某张平面上的积分，得到二重积分，然后再考虑所有这些平面块。即切片法。这两种方法都市在坐标系里来完成所以我们叫它为利用坐标系计算三重积分。3.2三重积分的变换法和二重积分的积分变换一样，有如下的结果:定理2 设V是uvw空间R3中的有界可求体积的闭区域，T：x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w),是V到xyz空间R3中的一一映射，它们有一阶连续偏导数，并且 (称为Jacobi).如果f(x,y,z) 是T(V)上的可积函数，那么在R3中有两种重要的变换：柱面坐标变换和球面坐标变换.3.3三重积分的对称法在三重积分中，我们也可以利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性来计算。四、n重积分的计算方法4.1 n重积分的变量变换通过对二三重积分计算方法的学习，我也可以用类似的方法来总结n重积分计算方法。对于n重积分的计算方法，我们可以先看n重积分的变量变换法。设已知n维区域：空间中的D以及空间中的每一个是由一连串的光滑或分片光滑的曲面围起来的。假设，确立了一对一的对应，则在对于各导函数通常的假定下以及限定雅可比式，符号不变时，在D中连续的函数的积分可按公式来变换。证明：我们用数学归纳法来证明，首先对于n2和3是显然成立的；所以只要假n1重积分的类似变换公式为真去求证对n重积分也为真。不失一般性假定偏导数中某一个符号不变（否则就只需将区域分成若干部分，在这些部分中它成立），这就是导数。 在提出的积分中取出对的积分后，可将这一积分重写为；这里表对应于固定值的变数变动的区域。将方程中的第一个对变数解出来表它为的函数，并将这一公式带入其余的公式，得将重积分变换到变数这由假定可按照与相似的公式来做。我们得到积分，其中现在在它里面将对的积分放在第一个位置。并在里面的积分中按公式中第一个将自变数改为变数（当固定时）。我们得到，或者，还原到n重积分时为了得到只要证，但将复合函数对微分并对函数的导数表示式利用隐函数微分法规则时，求得所以中在第列元数上加上相对应的第一列元素的倍，则。所以定理证毕。下面我们按照二重积分和三重积分可以类似的给出n重积分的坐标变换定理：若R n中的球坐标变换T : , ,在R n中, 这时的Jacobi是。同样可以得到相应的变换公式.此定理不在证明。接下来给出一个关于n重积分变量变换的例子。例 求.解 用球坐标.这时, , 其中从而有 .4.2 n重积分化为累次积分 下面我们可以用类似与二三重积分的方法，给出n重积分化为累次积分定理。定理：若区域，函数在上连续，则有。证明：对于第一种先按的顺序化为累次积分，在维空间上的投影为；则有这是因为满足，所以点在维空间上的投影即为点，固定，变量的变化范围从到，所以由于与情形相似，这样依次下去得其中最后得再按 的顺序化为累次积分，在维空间上的投影为；则，这是因为，满足，所以点在维空间上的投影即为点，反之，。显然其投影固定，变量的变化范围自到所以，由于与情形相似，这样依次下去得其中，最后得。定理证完。对于上面的这个定理我们只是考虑了特殊的情况，下面我们对一般的n重积分化为累次积分的定理做一下介绍。定理 ：若设有界闭区域表示为所确定的区域，若在由上式所表示的有界闭区域上连续，则有。证明：对于这个定理的证明我们可以用类似于二三重积分的证明方法，因为在上可积谷存在常数，使得对0，存在0，对的任何光滑分片曲面网的分割若对于该区域我们给定一个分法将该区域分成个小区域，对，有特别取为正方体分割，令，则有即，即。对有，已知在可积，则，对区间有，所以，再乘以，在相加，依次投影下去一直到，最后就得到定理证完。五、结束语 在二重积分和三重积分的学习中，我们主要是通过穿线法和切面法来学习，穿线法不仅可以确定积分上下限，还可以帮助我们来划分积分的区域，从而可以很清楚的明白哪中划分可以求出积分值，而切片法让我们在计算三重积分时可以把它先化成二重积分和一次积分，再求二重积分，从而可以得到三重积分，这种方法不仅可以用运于二三重积分，对于n重积分化为累次积分的证明种一样也是应运，而对于坐标变换它也是在二三重积分甚至多重积分的计算中也一样用运。所以对于n重积分的学习我们还是以二三重积分的学习为基础。通过归纳总结得出有关n重