数列求和(教师).doc

数列的通项及求和公式法等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式： 1+2+n=n(n+1)12+22+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2裂项求和 如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联， 那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ； ； ； 错项相消法如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. 分组求和法在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，或者“不同类项”分拆成几类，再运用公式法求和. 倒序相加法若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关 联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法），一公式法：1、已知是首项为的等比数列，若是的前n项和，且，求数列的前项和。 解析：若，则由，得93a16a1，则a10，不满足题意，故q1. 由，得9，解得q2. 故，则. 于是数列是以1为首项，为公比的等比数列， 其前5项和为。 二、分组求和法： 2、数列的前2 010项的和为 () A2 010 B1 005 C2 010 D1 005 解、法一： S2 01012342 0072 0082 0092 010 (1352 009)(2462 010) 1 005. 法二： S2 0101234562 0092 010 (12)(34)(56)(2 0092 010) 三、倒序相加法： 3、已知是R上的奇函数， ，则数列an的通项公式为()Aann1 Bann Cann1 Dann2解析：是奇函数， 即，.即只需mn1，则f(m)f(n)2， 而 ，得 ann1. 四、错位相减法：4、设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b519， a5b39，求数列anbn的前n项和Sn。 解：由条件易求出， Sn11221322n2n1， 2Sn12222(n1)2n1n2n， 由，得:Sn121222n1n2n，Sn2n1(n1). 五、裂项相消法：5、已知数列an：，求数列bn 的前n项和Sn。 解、由已知条件，可得数列的通项公式为，4. 6、数列an的通项公式an(nN*)，若前n项和为Sn，则Sn为() A.1 B.1 C.(1) D.(1) 解：an()， Sn(1 ) (1)(1). 跟踪训练1.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】设等差数列的前项和为，若，则当取最小值时，A9B8C7D6D【解析】， ，. 故选D2 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】数列an的通项公式是an，若前n项和为10，则项数n为()A120 B99 C11 D121【答案】A【解析】由，所以，即，即，解得.选A.3【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】在等比数列A.B.4C.D.5 【答案】B【解析】因为，因为，又，所以，选B.4 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】首项为的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意知数列满足，即，所以，即，选C.5 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】设是等差数列的前项和，已知，则等于 A13 B35 C49 D63 【答案】C【解析】在等差数列中，选C.6 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】 数列中，则等于 A B C1 D【答案】A【解析】由得，选A.7 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】等差数列中，若，则等于 （ ） A3 B4 C5 D6 【答案】C【解析】因为等差数列，因此选C8 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】已知数列=A4B2C1D-2【答案】A【解析】当时，所以，当时，即，选A.9 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知等比数列的前项和为，则实数的值是A B C D【答案】C【解析】当时，当时，因为是等比数列，所以有，解得，选C.10 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知等差数列的前项和为，且，则 ABCD【答案】A【解析】等差数列中，所以，选A.11 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知函数，且，则 A BCD【答案】C【解析】因为，所以，选C.12 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】等差数列中，已知前15项的和，则等于( ) A B6 C D12【答案】B【解析】由题意得，所以，选B.13【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学（文）】已知为等差数列，为等比数列，其公比q1且，,若，则A.B.C.D. 【答案】A【解析】数列是等差数列，数列是等比数列，又，故选A.14 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 15 B. 18 C. 9 D. 12 【答案】D【解析】在等差数列中，所以，所以，选D.15 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】设，则该数列的首项= 。【答案】2【解析】由已知得，即，解得。17 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】已知等比数列的公比为正数，且，=1，则= 【答案】【解析】由得，解得，所以或（舍去），所以由，所以。18 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】已知等差数列中，,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵: 则此数阵中第20行从左到右的第10个数是_【答案】598【解析】由，解得公差，所以通项公式为。则前19行的共有项，所以第20行第10个数为等差数列中的第项，所以。19 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】设正项等比数列的前项和为，若，则 ;【答案】9【解析】在等比数列中，也成等比数列，即成等比，所以，所以，所以或（舍去）.20 【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学（文）】已知等差数列，其中，则n的值为 ；【答案】50 【解析】数列是等差数列，设公差为，解得，由等差数列的通项公式得，解得.21【北京市东城区普通校2013届高三11月联考数学（文）】若数列满足，则 ；前5项的和 .【答案】【解析】由，得数列是公比为2的等比数列，所以，。22 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】（本小题满分12分） 已知等差数列的首项为，公差为，且方程 的解为 （1）求的通项公式及前n项和公式；（2）求数列的前n项和. 【答案】解 ：（1）方程的两根为 利用韦达定理得出 -2分由此知， -6分（2）令则 -8分两式相减，得 -10分 . 23 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】（本小题满分12分） 已知数列， 满足条件：， （1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，并求使得对任意N*都成立的正整数的最小值【答案】解：（），2分数列是首项为2，公比为2的等比数列 4分（）， 6分 8分 ，又，N*，即数列是递增数列 当时，取得最小值 10分 要使得对任意N*都成立，结合（）的结果，只需，由此得正整数的最小值是5 12分24 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】（本小题满分13分） 已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且的等比中项. （）求数列的通项公式； （）若数列的前项和【答案】 （）设等差数列的公差为，则 1分 又 2分 解得 4分 . 5分 6分 （）由 9分 13分25 【北京市东城区普通校2013届高三11月联考数学（文）】 (本小题满分13分)已知等差数列满足：，.的前n项和为.（）求 及；（）若 ,（），求数列的前项和.【答案】解. （）设等差数列an的首项为a1，公差为d ， 解得 , （） , 7分 9分 = (1- + - +-) 11分=(1-) = 所以数列的前项和= . 13分26 【北京市东城区普通校2013届高三11月联考数学（文）】（本小题满分14分).数列的前n项和为，和满足等式 （）求的值； （）求证：数列是等差数列； （）若数列满足，求数列的前n项和；【答案】解：（I）