导数的运算.doc

1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课标考纲解读 夺冠学习方略1. 1掌握四个公式，理解公式的证明过程;2. 利用公式解决简单的问题;3. 理解复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数；4. 掌握导数的运算法则。1能够用导数的定义求几个常用函数的导数。2熟记基本初等函数的导数公式。3.会利用公式及法则求解常见函数的导数。4.正确进行导数的运算。基础知识基本技能名师解题基础知识1 定义法求几个常用函数的导数函数y=f(x)导函数,推算得:常见函数导函数基础知识2 基本初等函数的导数公式基本初等函数导数公式熟记以上8个基本初等函数导数公式。求一个函数的导数可以利用导数定义求解，还可以直接转化为基本初等函数，利用公式直接求导，且这种方法更简单更常用。基础技能3导数的四则运算1函数和（或差）的求导法则：2函数积的求导法则：3函数商的求导法则：推论：（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）明确函数的运算形式选择适当的导数运算法则。基础知识1 例1. (1). 利用导数的定义求函数的导数。(2). 已知点P（-1，1），点Q（2，4）是曲线上的两点，求与直线PQ平行的曲线的切线方程。（2）解：，设切点为，则因为PQ的斜率又切线平行于PQ，所以，即，y0=即切点.所求直线方程为。基础知识2 例2求 (1)(x3) (2)() (3)解析:利用公式直接求解，关键是能明白函数是那种基本初等函数，再套用公式求解即可。解：(1) (x3)=3x31=3x2； (2) ()=(x2)=2x21=2x3(3) 基础技能3例3设，h(x)=tanx求和.解析：解这类题关键是弄清函数的基本结构，熟记求导公式。解： 技能点拨：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，以免求导过程中出现指数或系数的运算失误运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨，步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且求对、求好的解题标准综合方法解题能力名师解题综合方法4 方程思想研究切线问题在曲线方程中有关切点问题时，若切点未知，通常要设出切点的坐标，然后利用方程思想列出有关的方程求出切点或或者结合其它的关系设而不求继续求解。方程思想在研究复杂的曲线问题时通常要设出一些量，设而可求、设而不求研究问题，并结合结合数形结合思想求解。解题能力5能清函数的式子的特点灵活求导明确函数的结构形式：属于那种函数四则运算，函数是否是复合形式。是公式法求导的关键，并且要熟记基本初等函数的导数公式。这是导数应用的基础，一定要熟练掌握。综合方法4 例4. 如图所示，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.解 设P（x0，y0），则y0=,过点P的切线斜率k=x0,当x0=0时不合题意，x00.直线l的斜率kl=-,直线l的方程为y-.此式与y=联立消去y得x2+设Q（x1,y1）,M(x,y).M是PQ的中点，消去x0，得y=x2+1 (x0)就是所求的轨迹方程.由x0知x20,y=x2+12等号仅当x2=,即x=时成立，所以点M到x轴的最短距离是+1.能力点拨：本题设出切点的坐标，利用方程的思想设而不求，联立方程组结合根与系数的关系消元求解，最后利用基本不等式求出最小值。综合考查了切线的求法，直线与曲线交点问题，求轨迹方程、求最值。是一个综合性较强的题目。综合方法5 例5. 09湖北14.已知函数则的值为 .【答案】1 【解析】因为所以故能力点拨：该题重点考查导数的四则运算及灵活应用。作这道题关键是理解与的关系，是导函数，是常数。能力拓展知识迁移名师解题能力拓展6 复合函数的导数一般地，设函数uj(x)在点x处有导数uxj(x)，函数yf(u) 在点x的对应点u处有导数yuf (u) ，则复合函数yf(j(x) 在点x处也有导数，且 yx yuux或写作 f x (j(x)f (u) j(x)复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数复合函数求导通常引入中间变量利用换元法求解，熟练后，中间步骤可省略不写。能力拓展7 公式法求导在求切线方程中的应用求导有两种方法（一）定义法，（二）公式法，求切线方程是要明确该点是否切点。若是切点直接利用直线方程的点斜式否则设出切点利用方程思想求解。课本同源8 切线方程问题题目：求曲线处的切线方程. ( 见教材p18习题第7题）解析：这属于求切线方程问题。首先利用商的求导公式求出导函数再利用导数的几何意义求出切线的斜率 ，有直线的点斜式方程就可写出切线方程。能力拓展6 例5. 求y (3x2)2的导数解：(法1) y(3x2)2 (9x212x4)18x12 （法2）函数y (3x2)2又可以看成由yu2 ，u3x2复合而成，其中u称为中间变量由于yu2u，ux3，因而 yxyuux 2u32u32(3x2)318x12拓展点拨：复合函数求导要分清函数时有哪些基本函数复合而成的，并恰当选定中间变量；在分步计算中每一步都要明确是对那个变量求导。要特别注意变量的系数如：y=sin2x是复合函数。能力拓展6 例7.函数，过点作曲线的切线，求此切线方程.解析：因为切点不明确，所以应该设出切点坐标利用方程思想求解。解：设切点为，则所求切线方程为 ，由于切线过点，解得或 ，所以切线方程为，即或 拓展点拨：本题难度不大，重在通过该题熟练利用公式法求导，正确求解切线的方程。 课本同源8 例8（2010北京理）已知函数f(x)=ln（1+x）-x+x2（k0)。求当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；解：当时，由于，所以曲线在点处的切线方程为 即 同源点拨：属于切线方程问题，要正确求解出导函数这是解本题的关键。高考真题探究借鉴考题（2010）陕西设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .答案：-2考题2 (09全国) 已知直线y=x+1与曲线相切，则的值为( B )(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2解:设切点，则,又.故答案选B考题3（09福建）14.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_. 【答案】： 解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以即学即练 巩固提升1已知函数f(x)sinxlnx，则f(1)的值为()A1cos1 B1cos1 Ccos11 D1cos1答案：B解析：选B.因为f(x)cosx，则f(1)cos11.2一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st3t22t，那么速度为零的时刻是()A0秒 B1秒末C2秒末 D1秒末和2秒末答案：D解析：选D.st3t22t，vs(t)t23t2，令v0得，t23t20，解得t11，t22.3下列求导数运算正确的是()A(x)1 B(log2x) C(3x)3xlog3e D(x2cosx)2xsinx答案：B解析：选B.(x)1，A错；(3x)3xln3，C错；(x2cosx)=2xcosx-x2sinx，D错；故选B.4已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f(x)的图象大致形状是()答案：B解析：选B.设二次函数为yax2b(a0)，则y2ax，又a0，a1.故f(1)11.10.（09 宁夏7）曲线y= 在点（1，1）处的切线方程为( )（A）y=x2 (B) y=3x+2 (C)y=2x3 (D)y=2x+1【答案】D【解析】y,当x1时切线斜率为k211.设正弦函数ysin x在x0和x 附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为 ()A.k1k2Bk1k2 C.k1k2 D不确定【答案】A【解析】ysin x，y(sin x)cos x， k1cos 01，k2cos0， k1k2.12.曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()【答案】D,【解析】点(2，e2)在曲线上， 切线的方程为ye2e2(x2)即e2xye20.与两坐标轴的交点坐标为(0，e2)，(1,0)， 13.求曲线在点A的切线方程 答案： 解析： 所求切线的斜率所求切线的方程为， 即14.(2009江苏，)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为_答案：(2,15) 解析设P(x0，y0)(x00)，由题意知：y|xx03x102，x4.x02，y015.P点的坐标为(2,15)15. 求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程解析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程解：，曲线在点处的切线斜率是过点P且与切线垂直的直线的斜率为，所求的直线方程为，即点拨：已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数是否为零，当时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在16. 求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）解析：根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整函数和的形式，这样，在形式上它们都满足幂函数的结构特征，可直接应用幂函数的导数公式求导解：12317. 求下列各函数的导数： （1） （2） （4）求的导数解：(1) y （2）方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11. 方法二 =（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）设yu4，u13x，则 yxyuux(u4)u(13x)x4u5(3)12u512(13x)5（4）解： 18.求曲线的斜率等于4的切线方程解：设切点为，则，即，当时，故切点P的坐标为（1，1）所求切线方程为 即19.已知函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和yf(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l