第六讲期望与方差.docx

第五讲：离散型随机变量的分布列一：基础知识归纳1、试验与随机试验：凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验一个试验如果满足下述条件：可以在相同的情形下重复进行；实验的可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪个结果。它就称为一个随机试验。2、随机变量：如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量3、离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，我们可以按一定的次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量4、离散型随机变量的概率分布列及其性质：设离散型随机变量可能取的值为小x1，x2，xi，取每一个值xi (i1，2，3，)的概率Pi (xi)Pi，则称表x1x2xiPP1P2Pi为随机变量的概率分布，它具有以下性质：Pi0，i1，2，3，；P1+ P2+1离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和5、二项分布：如果在第一次实验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复实验中这个事件恰好发生k次的概率是P(=K)=Cnkpk(1-P)n-k，其中k0、1、2、3、n，于是得到随机变量的概率分布如下01KnPCn0p0(1-P)nCn1p1(1-P)n-1Cnkpk(1-P)n-kCnnpn由于恰好是 (1-p)+p)n的二项展开式中的第k+1(k0，l，2，3，n)项的各个值，故称为随机变量的二项分布，记作一B(n，P)6、期望与方差 期望：若离散型随机变量的概率分布为P(xi)Pi，i1，2，3，则称Ex1 P1 + x2 P2 + xi Pi+为的数学期望或平均数、均值特别地，若B(n，P)，则np 方差：我们把(x1-E)2+（x2- E)2 +（xi - E)2 +叫做随机变量的均方差，简称为方差，记作D，标准差是=D特别地，若B(n，P)，则Dnpq性质：E(a+b)aE+b，D(a+b)a2D (a、b为常数)二：典例归类例1、投掷均匀硬币一次，随机变量为( ) A、出现正面的次数 B、出现正面或反面的次数C、掷硬币的次数 D、出现正、反面次数之和牛刀小试1、下列变量是离散型随机变量还是连续型随机变量： 连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数； 某工厂加工某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差 投掷一个骰子，六面刻上数字1-6，所得的点数2、写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果： 盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数，所含红粉笔的支数； 从4张已编号(1号4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和；离开天安门的距离； 袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数3、某校为学生定做校服，规定凡身高不超过160 cm的学生交校服费80元凡身高超过160cm的学生，身高每超出1 cm多交5元钱(不足1 cm时按1 cm计)若学生应交的校服费为，学生身高用表示，试写出与之间的关系式例2、一盒中有9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果每次取出的产品都不放回此批产品中，求在取得正品前已取出的次品数的概率分布；如果每次取出是次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数的概率分布，并求P(1252)如果次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品，求在取得正品前已取出的次品数的概率分布如果每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中，求在取得正品前已取出的次品数的概率分布。牛刀小试1、已知随机变量的分布列为-2-10123P112312412112212112分别求出随机变量112， 22的分布列。2、一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量车的分布列？3将3个小球任意地放入4个大的玻璃杯中去，杯子中的最大个数记为；求的分布列？4、设某项试验的成功中是失败率的2倍，用随机变量去描述1次试验的成功次数，则P(=0)=_5、某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下组练习并且已知他射击次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数的分布列？6、某厂生产的电子元件，其每件产品的次品率为5(即每件为次品的概率)，现从一批产品中任意连续的取出2件，其中次品数的概率分布是_；7、设某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数的概率分布 例3、一名学生在军训中，练习射击项目，他命中目标的概率是13，共射击6次 求这名学生在第3次射击时，首次命中目标的概率 求这名学生在射击过程中，命中目标数的期望牛刀小试1、某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望2、设随机变量具有分布列为P（=k）=16（k=1，2，3，4，5，6)，求E和E(2+3)；3、把4个球随机地投入到4个盒子中去，设表示空盒子的个数，求E，D4、设（n,P）且E=2.88，D=1.44，求n，P例4、甲、乙两人独立解出某一道题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36 求：(1)甲独立解出该题的概率； (2)解出该题的人数的数学期望牛刀小试1、甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立已知前2局中，甲、乙各胜1局 (1)求甲获得这次比赛胜利的概率； (2)设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望2、甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每上岗位至少有一名志愿者. （）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列.3、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1，2，3， 4)现从袋中任取一球，若表示所取球的标号 (1)求的分布列、期望和方差； (2)若=a-b，E1，D=11，试求a,b的值4、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：（）至少有1人面试合格的概率;（）签约人数的分布列和数学期望.5、为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡()在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； ()在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望.6、某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工 人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核 (1)求从甲、乙两组各抽取的人数； ( 2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； (3)记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望，三：基础过关（1）1、某路口一天经过的车辆数为；某无线寻呼台一天内收到寻呼的次数为；一天之内的温度为；某人一生中的身高为；射击运动员对某目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示运动员在射击中的得分上述问题中的的离散型随机变量的是（ ）ABCD2若随机变量的概率分布如下表所示，则表中a的值为（ ）1234PaA1 B C D3设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第次首次测到正品，则P（=3）等于A B C D4抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为，则“4”表示试验的结果为（ ）A第一枚为5点，第二枚为1点 B第一枚大于4点，第二枚也大于4点C第一枚为6点，第二枚为1点 D第一枚为4点，第二枚为1点5某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于的是（ ）AP（=2） BP（=3） CP（2） DP（3）6若P（n）=1-a，P（m）=1-b，其中m3）=_10一个口袋中装有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止没停止时总共取了次球，则P（=12）等于_三：基础过关（2）1某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭。假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为：（ ）A0.4 B1.2 C D0.62已知B(n，p)，E=8，D=1.6，则n与p的值分别是（ ）A100和0.08 B20和0.4 C10和0.2 D10和0.83随机变量的分布列为135p0.50.30.2则其期望等于（ ）A1 B C4.5 D2.44已知随机变量的分布列为012p且=2+3，则E等于（ ）A B C D5甲、乙两台自动车床生产同种标准件，表示甲机床生产1000件产品中的次品数，表示乙机床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的测试，与的分布列分别为01230123P0.70.10.10.1P0.50.30.20据此判定：（ ）A甲比乙质量好 B乙比甲质量好 C甲与乙质量相同 D无法判定6卖水果的某个体户，在不下雨的日子可赚100元，在雨天则要损失10元。该地区每年下雨的日子约有130天，则该个体户每天获利的期望值是（1年按365天计算）（ ）A90元 B45元 C55元 D60.82元7设的分布列为01p1-pp则D等于_。8从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为，则E（5+1）=_。9设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=_时，成功次数的标准差最大，其最大值是_。10已知随机变量的分布列为01xpp且E=1.1，则D=_。（1）1D 2D 3C 4C 5B 6C6提示：由P(n)=1-P(n)=1-(1-a)=a，P(n)+P(m)=1-(a+b)二、7；8-1