山东专版2019版中考数学总复习第四章图形的认识4.3等腰三角形及直角三角形试卷部分课件.pptx

4 3等腰三角形及直角三角形 中考数学 山东专用 A组2014 2018年山东中考题组考点一等腰三角形 五年中考 1 2017滨州 8 3分 如图 在 ABC中 AB AC D为BC上一点 且DA DC BD BA 则 B的大小为 A 40 B 36 C 80 D 25 答案B设 B x 因为AB AC 所以 C B x 因为DA DC 所以 DAC C x 所以 BDA C DAC 2x 因为BD BA 所以 BAD BDA 2x 所以 BAC 3x 根据三角形内角和定理得x x 3x 180 解得x 36 所以 B 36 2 2017淄博 16 4分 在边长为4的等边三角形ABC中 D为BC边上的任意一点 过点D分别作DE AB DF AC 垂足分别为E F 则DE DF 答案2 解析连接AD 过点C作CG AB 垂足为G 则AG BG 2 CG 2 S ABD S ACD S ABC AB DE AC DF AB CG 4 DE 4 DF 4 CG DE DF CG 2 3 2018滨州 25 13分 已知 在 ABC中 A 90 AB AC 点D为BC的中点 1 如图 若点E F分别为AB AC上的点 且DE DF 求证 BE AF 2 若点E F分别为AB CA延长线上的点 且DE DF 那么BE AF吗 请利用图 说明理由 解析 1 证明 如图1 连接AD BAC 90 AB AC D为BC的中点 DE DF BDA EDF 90 BD AD B DAC 45 BDE EDA EDA ADF BDE ADF BDE ADF ASA BE AF 2 BE AF 理由如下 如图2 连接AD 易知 BDA EDF 90 BDE BDF BDF ADF BDE ADF 又 D为BC的中点 ABC是等腰直角三角形 BD AD ABC DAC 45 EBD FAD 180 45 135 BDE ADF ASA BE AF 4 2016淄博 22 8分 如图 已知 ABC AD平分 BAC交BC于点D BC的中点为M ME AD 交BA的延长线于点E 交AC于点F 1 求证 AE AF 2 求证 BE AB AC 证明 1 AD平分 BAC BAD CAD AD EM BAD AEF CAD AFE AEF AFE AE AF 2 过点C作CG EM 交BE的延长线于G EF CG G AEF ACG AFE AEF AFE G ACG AG AC BM CM EM CG BE EG BE BG BA AG AB AC 思路分析 1 欲证明AE AF 只要证明 AEF AFE即可 2 作CG EM 交BE的延长线于G 先证明AC AG 再证明BE EG即可解决问题 5 2017济南 27 9分 某学习小组在学习过程中遇到了下面问题 如图1 在 ABC和 ADE中 ACB AED 90 CAB EAD 60 点E A C在一条直线上 F是BD的中点 连接EF CF 试判断 CEF的形状并说明理由 问题探究 1 小婷同学的解题思路是 先探究 CEF的两条边是否相等 如EF CF 以下是她的解答过程 请结合以上的证明过程 解答下列两个问题 在图1中画出证明所构造的辅助线 在证明的括号中填写理由 请在SAS ASA AAS SSS中选择 2 在 1 证明过程的基础上 请你帮助小婷求出 CEF的度数 并判断 CEF的形状 问题拓展 3 如图2 当 ADE绕点A逆时针旋转某个角度后 连接CE 延长DE交BC的延长线于点P 其他条件不变 判断 CEF的形状并说明理由 解析 1 如图 AAS 2 设AE a AC b 则DE a BC b CE a b BGF DEF BG ED a CG BC BG a b 在Rt ECG中 由tan CEG 得 CEG 60 又 CF EF CEF是等边三角形 3 CEF是等边三角形 理由如下 取AD的中点M 连接ME MF 如下图 点M是Rt AED斜边AD的中点 EM AM 又 EAD 60 AEM是等边三角形 AE ME AEM 60 在Rt ABC中 易得 ABC 30 AC AB 点M F分别为AD BD的中点 MF AB MF AB FMA MAB 180 且AC MF EAC 360 60 60 MAB 60 FMA EMF EAC EMF SAS EF EC MEF AEC CEF CEA AEF MEF AEF 60 CEF是等边三角形 易错警示本题易错处有两个 一是想不到利用三角函数求 CEF的度数 导致解第 2 问时陷入困境 二是求解最后一题时 不会构造全等三角形 无法切入解题过程 导致望题兴叹 茫然不知所措 方法规律 1 本题是几何压轴题 考查了全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 三角形的中位线性质 利用特殊角的三角函数值求特殊角的度数等知识 并通过阅读材料这种课题学习的形式呈现 较为新颖 2 阅读材料往往会为我们提供一些解题方法或给出解题暗示 要求在理解的基础上进行问题的解答 或在阅读材料中提供一些操作方法 要求同学们去模拟并探究 或提供一个解题过程 这种题不仅考查了同学们的阅读能力 而且还综合考查了同学们的创新意识及转化能力 考点二直角三角形 1 2018滨州 1 3分 在直角三角形中 若勾为3 股为4 则弦为 A 5B 6C 7D 8 答案A根据勾股定理直接求得弦为 5 2 2018枣庄 10 3分 如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形 线段AB的端点都在小矩形的顶点上 如果点P是某个小矩形的顶点 连接PA PB 那么使 ABP为等腰直角三角形的点P的个数是 A 2B 3C 4D 5 答案B如图 设每个小矩形的长与宽分别为x y 则有2x x 2y 从而x 2y 因为线段AB是1 2的矩形对角线 所以根据网格作垂线可知 过点B与AB垂直且相等的线段有AP1和BP2 过点A与AB垂直且相等的线段有AP3 且P1 P2 P3都在顶点上 因此满足题意的点P共有3个 故选B 3 2018淄博 11 4分 如图 在Rt ABC中 CM平分 ACB交AB于点M 过点M作MN BC交AC于点N 且MN平分 AMC 若AN 1 则BC的长为 A 4B 6C 4D 8 答案B MN BC MN平分 AMC CM平分 ACB AMN NMC NCM BCM B 又 A 90 AMN B 30 MN 2AN 2 NC AC AN NC 3 BC 2AC 6 4 2016东营 9 3分 在 ABC中 AB 10 AC 2 BC边上的高AD 6 则另一边BC等于 A 10B 8C 6或10D 8或10 答案C由图1可知 BD 8 CD 2 则BC 8 2 10 由图2可知 BD 8 CD 2 则BC 8 2 6 故选C 思路分析 根据题意画出相应的图形 然后利用勾股定理分别求出BC的长 易错警示解答本题易出现只考虑高在三角形内部的情况 而忽视高在外部的情况而漏解 5 2018德州 15 4分 如图 OC为 AOB的平分线 CM OB OC 5 OM 4 则点C到射线OA的距离为 答案3 解析如图 过点C作CN OA 垂足为N OC平分 AOB CM OB CN CM 在Rt COM中 CM 3 CN 3 即点C到射线OA的距离为3 6 2017青岛 13 3分 如图 在四边形ABCD中 ABC ADC 90 E为对角线AC的中点 连接BE ED BD 若 BAD 58 则 EBD为度 答案32 解析 ABC ADC 90 E为AC的中点 AE BE DE BAE ABE DAE ADE BED BAE ABE DAE ADE 2 BAD 116 BE DE EBD 180 BED 180 116 32 思路分析先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 得AE BE DE 再根据等腰三角形的性质得 BAE ABE DAE ADE 再利用三角形外角的性质求得 BED的度数 进而求得等腰三角形BED的底角 EBD的度数 方法规律由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 所以若问题中出现直角三角形斜边中点时 通常从斜边上的中线 把直角三角形分成的两个等腰三角形入手进行解答 7 2015聊城 15 3分 如图 在 ABC中 C 90 A 30 BD是 ABC的平分线 若AB 6 则点D到AB的距离是 答案 解析 C 90 A 30 ABC 60 BC 3 BD平分 ABC CBD ABC 30 由题意知点D到AB的距离等于DC的长 在Rt BDC中 DC BC tan DBC 3 点D到AB的距离等于 思路分析根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等 得到点D到AB的距离等于DC 在Rt BDC中 利用三角函数知识可以求出DC B组2014 2018年全国中考题组考点一等腰三角形 1 2018福建 5 4分 如图 等边三角形ABC中 AD BC 垂足为D 点E在线段AD上 EBC 45 则 ACE等于 A 15 B 30 C 45 D 60 答案A由等边三角形ABC中 AD BC 垂足为点D 可得 ACB 60 且点D是BC的中点 所以AD垂直平分BC 所以EC EB 根据等边对等角 得到 ECB EBC 45 故 ACE ACB ECB 60 45 15 2 2017浙江台州 8 4分 如图 已知等腰三角形ABC AB AC 若以点B为圆心 BC长为半径画弧 交腰AC于点E 则下列结论一定正确的是 A AE ECB AE BEC EBC BACD EBC ABE 答案C ABC是等腰三角形 AB AC ABC ACB 又 BC BE ACB BEC BAC EBC 故选C 3 2016湖北荆门 4 3分 如图 ABC中 AB AC AD是 BAC的平分线 已知AB 5 AD 3 则BC的长为 A 5B 6C 8D 10 答案C因为AB AC AD平分 BAC 所以AD BC BD CD 所以 ADB 90 在Rt ABD中 AB 5 AD 3 所以BD 4 所以BC 2BD 8 4 2018天津 17 3分 如图 在边长为4的等边 ABC中 D E分别为AB BC的中点 EF AC于点F G为EF的中点 连接DG 则DG的长为 答案 解析连接DE 在等边 ABC中 D E分别是AB BC的中点 DE AC DE EC AC 2 DEB C 60 EF AC EFC 90 FEC 30 EF DEG 180 60 30 90 G是EF的中点 EG 在Rt DEG中 DG 思路分析连接DE 根据题意可得DE AC 又EF AC 可得到 FEC的度数 判断出 DEG是直角三角形 再根据勾股定理即可求解DG的长 疑难突破本题主要依据等边三角形的性质 勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长 DG与图中的线段无直接的关系 所以应根据条件连接DE 构造直角三角形 运用勾股定理求出DG的长 5 2017黑龙江绥化 20 3分 在等腰 ABC中 AD BC交直线BC于点D 若AD BC 则 ABC的顶角的度数为 答案30 或150 或90 解析 BC为腰 AD BC于点D AD BC AD AC ACD 30 如图1 当AD在 ABC内部时 C 30 即顶角的度数为30 如图2 当AD在 ABC外部时 ACB 180 30 150 即顶角的度数为150 BC为底 如图3 AD BC于点D AD BC AD BD CD B BAD C CAD BAD CAD 180 90 BAC 90 即顶角的度数为90 综上所述 等腰三角形ABC的顶角度数为30 或150 或90 6 2017吉林 20 7分 图 图 图 都是由边长为1的小等边三角形构成的网格 每个小等边三角形的顶点称为格点 线段AB的端点在格点上 1 在图 图 中 以AB为边各画一个等腰三角形 且第三个顶点在格点上 所画图形不全等 2 在图 中 以AB为边画一个平行四边形 且另外两个顶点在格点上 解析 1 每画对一个得2分 答案不唯一 以下答案供参考 4分 2 画对一个即可 答案不唯一 以下答案供参考 7分 考点二直角三角形 1 2018湖北黄冈 5 3分 如图 在Rt ABC中 ACB 90 CD为AB边上的高 CE为AB边上的中线 AD 2 CE 5 则CD A 2B 3C 4D 2 答案C在Rt ABC中 因为CE为AB边上的中线 所以AB 2CE 2 5 10 又AD 2 所以BD 8 易证 ACD CBD 则CD2 AD DB 2 8 16 所以CD 4 故选C 2 2016广西百色 6 3分 如图 ABC中 C 90 A 30 AB 12 则BC A 6B 6C 6D 12 答案A C 90 A 30 AB 12 BC AB 12 6 故选择A 答案B PAB PBC PBC ABP 90 PAB ABP 90 P 90 设AB的中点为O 则P在以AB为直径的圆上 当点O P C三点共线时 线段CP最短 OB AB 3 BC 4 OC 5 又OP AB 3 线段CP长的最小值为5 3 2 故选B 3 2016安徽 10 4分 如图 Rt ABC中 AB BC AB 6 BC 4 P是 ABC内部的一个动点 且满足 PAB PBC 则线段CP长的最小值为 A B 2C D 4 2018湖北黄冈 13 3分 如图 圆柱形玻璃杯高为14cm 底面周长为32cm 在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜 此时一只蚂蚁正好在杯外壁 离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处 则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm 杯壁厚度不计 答案20 解析如图 将圆柱侧面展开 延长AC至A 使A C AC 连接A B 则线段A B的长为蚂蚁到蜂蜜的最短距离 过B作BB AD 垂足为B 在Rt A B B中 B B 16 A B 14 5 3 12 所以A B 20 即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm 5 2018天津 18 3分 如图 在每个小正方形的边长为1的网格中 ABC的顶点A B C均在格点上 1 ACB的大小为 2 在如图所示的网格中 P是BC边上任意一点 以A为中心 取旋转角等于 BAC 把点P逆时针旋转 点P的对应点为P 当CP 最短时 请用无刻度的直尺 画出点P 并简要说明点P 的位置是如何找到的 不要求证明 答案 1 90 2 如图 取格点D E 连接DE交AB于点T 取格点M N 连接MN交BC延长线于点G 取格点F 连接FG交TC延长线于点P 则点P 即为所求 解析 1 每个小正方形的边长为1 AC 3 BC 4 AB 5 3 2 4 2 50 5 2 AC2 BC2 AB2 ABC是直角三角形 且 ACB 90 2 在射线AC上取格点F 使AF AB 5 则点F为点B的对应点 根据直线BC的位置 取格点M N 连接MN交BC的延长线于点G 可求得CG 连接GF CF 易得 ACB GCF 则GF所在直线即为BC旋转后对应边所在直线 取格点D E 连接DE交AB于点T 则点T为线段AB的中点 作直线CT 所以TC TA ACT CAT 记直线CT交FG于点P 因为 P CF P FC ACT ABC 90 所以 FP C 90 即CP FG 所以点P 即为所求作的点 思路分析 1 由勾股定理求得AC BC AB的长 根据勾股定理的逆定理判断出直角三角形 2 P是BC边上任意一点 把 ACB绕点A逆时针旋转 使旋转角等于 BAC 那么点P的对应点P 在边CB旋转后的对应边上 当CP 垂直于CB旋转后的对应边时 线段CP 最短 确定CB旋转后的对应边的位置 作出垂线 即可确定点P 的位置 C组教师专用题组考点一等腰三角形 1 2018河北 8 3分 已知 如图 点P在线段AB外 且PA PB 求证 点P在线段AB的垂直平分线上 在证明该结论时 需添加辅助线 则作法不正确的是 A 作 APB的平分线PC交AB于点CB 过点P作PC AB于点C且AC BCC 取AB中点C 连接PCD 过点P作PC AB 垂足为C 答案B无论作 APB的平分线PC交AB于点C 还是取AB中点C 连接PC或过点P作PC AB 垂足为C 都可以通过等腰三角形三线合一得出结论 选项A C D的作法正确 故选B 2 2016湖南湘西 14 4分 一个等腰三角形一边长为4cm 另一边长为5cm 那么这个等腰三角形的周长是 A 13cmB 14cmC 13cm或14cmD 以上都不对 答案C当等腰三角形的腰长为4cm时 三角形的三边长分别是4cm 4cm 5cm 符合三角形的三边关系 此时 等腰三角形的周长为13cm 当等腰三角形的腰长为5cm时 三角形的三边长分别是5cm 5cm 4cm 符合三角形的三边关系 此时 等腰三角形的周长为14cm 故选C 3 2015淄博 8 4分 如图 在平行四边形ABCD中 B 60 将 ABC沿对角线AC折叠 点B的对应点落在点E处 且点B A E在一条直线上 CE交AD于点F 则图中的等边三角形共有 A 4个B 3个C 2个D 1个 答案B ABC沿对角线AC折叠 点B A E在一条直线上 E B 60 BCE是等边三角形 AD BC EAF B 60 EAF是等边三角形 BE CD D EAF 60 E DCF 60 CDF是等边三角形 4 2016湖北武汉 10 3分 平面直角坐标系中 已知A 2 2 B 4 0 若在坐标轴上取点C 使 ABC为等腰三角形 则满足条件的点C的个数是 A 5B 6C 7D 8 答案A如图 当AB AC时 以点A为圆心 AB长为半径作圆 与坐标轴有两个交点 点B除外 即O 0 0 C0 0 4 其中点C0与A B两点共线 不符合题意 当AB BC时 以点B为圆心 AB长为半径作圆 与坐标轴有两个交点 均符合题意 当AC BC时 作AB的垂直平分线 与坐标轴有两个交点 均符合题意 所以满足条件的点C有5个 故选A 5 2017贵州黔西南 18 3分 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6 则该等腰三角形的周长是 答案15 解析当腰为3时 3 3 6 3 3 6不能组成三角形 当腰为6时 3 6 9 6 3 6 6能组成三角形 该三角形的周长为 3 6 6 15 6 2016黑龙江齐齐哈尔 17 3分 有一面积为5的等腰三角形 它的一个内角是30 则以它的腰长为边的正方形的面积为 答案20或20 解析在等腰 ABC中 设AB AC x 当顶角 A 30 时 如图1 作CD AB 垂足为D sin30 CD x x x 5 x2 20 即以它的腰长为边的正方形的面积为20 当底角 B ACB 30 时 如图2 作CD BA 交BA的延长线于D DAC B ACB 60 sin60 CD x x x 5 x2 20 即以它的腰长为边的正方形的面积为20 综上 以它的腰长为边的正方形的面积为20或20 7 2017湖北恩施州 18 8分 如图 ABC CDE均为等边三角形 连接BD AE BD与AE交于点O BC与AE交于点P 求证 AOB 60 证明 ABC和 ECD都是等边三角形 AC BC CD CE ACB DCE 60 ACB BCE DCE BCE 即 ACE BCD 在 ACE和 BCD中 ACE BCD SAS CAE CBD BPO APC BOP ACP 60 即 AOB 60 8 2017内蒙古呼和浩特 18 6分 如图 等腰三角形ABC中 BD CE分别是两腰上的中线 1 求证 BD CE 2 设BD与CE相交于点O 点M N分别为线段BO和CO的中点 当 ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时 判断四边形DEMN的形状 无需说明理由 解析 1 证明 AB AC是等腰 ABC的两腰 AB AC BD CE是中线 AD AC AE AB AD AE 又 A A ABD ACE BD CE 2 四边形DEMN为正方形 提示 由MN DE分别是 OBC ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形 由 1 知BD CE 故可证OE OD 从而四边形DEMN是矩形 再由 ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正方形 9 2017黑龙江哈尔滨 24 8分 已知 ACB和 DCE都是等腰直角三角形 ACB DCE 90 连接AE BD交于点O AE与DC交于点M BD与AC交于点N 1 如图1 求证 AE BD 2 如图2 若AC DC 在不添加任何辅助线的情况下 请直接写出图2中四对全等的直角三角形 解析 1 证明 如题图1 ACB和 DCE都是等腰直角三角形 ACB DCE 90 AC BC DC EC ACB ACD DCE ACD BCD ACE 在 ACE和 BCD中 ACE BCD SAS AE BD 2 ACB DCE AON DOM AOB DOE EMC BNC 10 2015重庆A卷 25 12分 如图1 在 ABC中 ACB 90 BAC 60 点E是 BAC角平分线上一点 过点E作AE的垂线 过点A作AB的垂线 两垂线交于点D 连接DB 点F是BD的中点 DH AC 垂足为H 连接EF HF 1 如图1 若点H是AC的中点 AC 2 求AB BD的长 2 如图1 求证 HF EF 3 如图2 连接CF CE 猜想 CEF是不是等边三角形 若是 请证明 若不是 请说明理由 图1 图2 解析 1 点H是AC的中点 AC 2 AH AC 1分 ACB 90 BAC 60 ABC 30 AB 2AC 4 2分 DA AB DH AC DAB DHA 90 DAH 30 AD 2 3分 在Rt ADB中 DAB 90 BD2 AD2 AB2 BD 2 4分 2 证明 连接AF 如图 F是BD的中点 DAB 90 AF DF FDA FAD 5分 DE AE DEA 90 DHA 90 DAH 30 DH AD AE平分 BAC CAE BAC 30 DAE 60 ADE 30 AE AD AE DH 6分 FDA FAD HDA EAD 60 FDA HDA FAD EAD FDH FAE 7分 FDH FAE SAS FH FE 8分 3 CEF是等边三角形 9分 理由如下 取AB的中点G 连接FG CG 如图 F是BD的中点 FG DA FG DA FGA 180 DAG 90 又 AE AD AE FG 在Rt ABC中 ACB 90 点G为AB的中点 CG AG 又 CAB 60 GAC为等边三角形 10分 AC CG ACG AGC 60 FGC 30 FGC EAC FGC EAC SAS 11分 CF CE ACE GCF ECF ECG GCF ECG ACE ACG 60 CEF是等边三角形 12分 考点二直角三角形 1 2017浙江绍兴 6 4分 如图 小巷左右两侧是竖直的墙 一架梯子斜靠在左侧墙时 梯子底端到左墙角的距离为0 7米 顶端距离地面2 4米 如果保持梯子底端位置不动 将梯子斜靠在右墙时 顶端距离地面2米 则小巷的宽度为 A 0 7米B 1 5米C 2 2米D 2 4米 答案C如图 由题意得 AC 2 4米 BC 0 7米 在Rt ABC中 AB 2 5 米 又因为AB BD 所以在Rt BDE中 BE 1 5 米 则小巷的宽度CE BC BE 0 7 1 5 2 2 米 2 2017四川南充 7 3分 如图 等边 OAB的边长为2 则点B的坐标为 A 1 1 B 1 C D 1 答案D如图 过点B作BC OA于点C 则OC 1 在Rt BCO中 BC 点B的坐标为 1 3 2017辽宁大连 8 3分 如图 在 ABC中 ACB 90 CD AB 垂足为D 点E是AB的中点 CD DE a 则AB的长为 A 2aB 2aC 3aD a 答案B在Rt CDE中 CD DE a CE CD a AB 2CE 2a 故选B 4 2018福建 15 4分 把两个同样大小的含45 角的三角尺按如图所示的方式放置 其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A 且另三个锐角顶点B C D在同一直线上 若AB 则CD 答案 1 解析由题意知 ABC ADE均为等腰直角三角形 且AB AC AE ED 由勾股定理得BC AD 2 过A作AF BC于F 则FC AF 1 在Rt AFD中 由勾股定理得FD 故CD FD FC 1 5 2017四川乐山 14 3分 点A B C在格点图中的位置如图所示 格点小正方形的边长为1 则点C到线段AB所在直线的距离是 答案 解析连接AC BC 过点B作BE AC于点E 过点C作CD AB 交AB的延长线于点D 则BC AB AC 3 CE AC 在Rt BCE中 由勾股定理 得BE S ABC AC BE AB CD CD 6 2016福建莆田 16 4分 魏朝时期 刘徽利用如图 以盈补虚 出入相补 的方法 即 勾自乘为朱方 股自乘为青方 令出入相补 各从其类 证明了勾股定理 若图中BF 1 CF 2 则AE的长为 答案3 解析由已知得四边形ABCD是正方形 BF 1 CF 2 AD AB DC BC BF CF 3 Rt ABF中 AF BC AD EFC EAD 即 解得AE 3AF 3 7 2016四川广安 24 8分 在数学活动课上 老师要求学生在5 5的正方形ABCD网格中 小正方形的边长为1 画直角三角形 要求三个顶点都在格点上 而且三边与AB或AD都不平行 画四种图形 并直接写出其周长 所画图形相似的只算一种 解析第一种 四选一 周长 2 周长 2 2 周长 2 周长 2 第二种 二选一 周长 3 周长 3 周长 4 2周长 5 周长 5 8 2016湖南益阳 20 10分 在 ABC中 AB 15 BC 14 AC 13 求 ABC的面积 某学习小组经过合作交流 给出了下面的解题思路 请你按照他们的解题思路完成解答过程 作AD BC于D 设BD x 用含x的代数式表示CD 根据勾股定理 利用AD作为 桥梁 建立方程模型求出x 利用勾股定理求出AD的长 再计算三角形面积 解析如图 在 ABC中 AB 15 BC 14 AC 13 设BD x 则CD 14 x 2分 由勾股定理得AD2 AB2 BD2 152 x2 AD2 AC2 CD2 132 14 x 2 152 x2 132 14 x 2 解之得x 9 7分 AD 12 8分 S ABC BC AD 14 12 84 10分 9 2017江苏南京 22 8分 直角 在初中几何学习中无处不在 如图 已知 AOB 请仿照小丽的作图方法 再用两种不同的方法判断 AOB是不是直角 仅限用直尺和圆规 小丽的作图方法 如图 在OA OB上分别取点C D 以C为圆心 CD长 为半径画弧 交OB的反向延长线于点E 若OE OD 则 AOB 90 解析本题答案不唯一 下列方法供参考 例如 方法1 如图 在OA OB上分别截取OC 4 OD 3 若CD 5 则 AOB 90 方法2 如图 在OA OB上分别取点C D 以CD为直径画圆 若点O在圆上 则 AOB 90 A组2016 2018年模拟 基础题组考点一等腰三角形 三年模拟 1 2016泰安新泰 14 如图所示的正方形网格中 网格线的交点称为格点 已知A B是两格点 如果C也是图中的格点 且使得 ABC为等腰三角形 则点C的个数是 A 6B 7C 8D 9 答案C如图 分两种情况讨论 AB为等腰 ABC底边时 符合条件的C点有4个 AB为等腰 ABC其中的一条腰时 符合条件的C点有4个 综上 符合条件的点C有8个 故选C 2 2018淄博高青一模 18 如图 已知等边三角形ABC中 D是AC的中点 E是BC延长线上的一点 且CE CD 作DM BC 垂足为M 求证 M是BE的中点 证明连接BD 等边三角形ABC中 D是AC的中点 DBC ABC 60 30 ACB 60 CE CD CDE E 又 ACB CDE E E 30 DBC E BD ED BDE为等腰三角形 又 DM BC M是BE的中点 3 2016聊城莘县二模 20 如图 已知 ABC是等边三角形 点D F分别在线段BC AB上 EFB 60 DC EF 1 求证 四边形EFCD是平行四边形 2 若BF EF 求证 AE AD 证明 1 ABC是等边三角形 ABC 60 EFB 60 ABC EFB EF DC 内错角相等 两直线平行 又 DC EF 四边形EFCD是平行四边形 2 连接BE BF EF EFB 60 EFB是等边三角形 EB EF EBF 60 DC EF EB DC ABC是等边三角形 ACB 60 AB AC EBF ACB AEB ADC SAS AE AD 考点二直角三角形 1 2018青岛胶州期末 7 下列各组数 8 15 17 7 12 15 12 15 20 7 24 25 其中能作为直角三角形的三边长的是 A B C D 答案A 82 152 172 72 122 152 122 152 202 72 242 252 故 可作为直角三角形的三边长 2 2016聊城阳谷一模 10 在 ABC中 A B C的对边分别为a b c 且 a b a b c2 则 A A为直角B C为直角C B为直角D ABC不是直角三角形 答案A a b a b c2 a2 b2 c2 即c2 b2 a2 故 ABC是直角三角形 且a为直角三角形的斜边 A为直角 故选A 一 选择题 共3分 1 2016青岛市南区一模 5 如图 在 ABC中 C 90 AB 5cm AC 4cm 点D在AC上 将 BCD沿着BD所在直线翻折 使点C落在斜边AB上的点E处 则DC的长为 A cmB cmC 2cmD cm B组2016 2018年模拟 提升题组 时间 15分钟分值 20分 答案B C 90 AB 5cm AC 4cm BC 3cm 将 BCD沿着BD所在直线翻折 使点C落在斜边AB上的点E处 BED BCD BED C 90 BE BC 3cm AE AB BE 2cm 设DC xcm 则DE xcm AD 4 x cm 在Rt ADE中 由勾股定理得AE2 DE2 AD2 即22 x2 4 x 2 解得x 故选B 二 填空题 每小题3分 共9分 2 2018青岛中考样题二 13 如图 平面直角坐标系中 点A B分别是x轴 y轴上的动点 以AB为边作边长为2的正方形ABCD 则OC的最大值为 答案 1 解析取AB的中点E 连接OE CE 则BE 2 1 在Rt BCE中 由勾股定理 得CE AOB 90 点E是AB的中点 OE BE 1 又 OC OE EC 1 且当点O E C三点共线时 等号成立 此时OC最大 OC的最大值为 1 3 2016泰安泰山 23 如图 在梯形ABCD中 AD BC BCD 90 BC 2AD F E分别是BA BC的中点 则下列结论正确的是 填序号 ABC是等腰三角形 四边形EFAM是菱形 S BEF S ACD DE平分 CDF 答案 解析连接AE E为BC的中点 BE CE BC 又 BC 2AD AD BE EC 又 AD BC 四边形ABED 四边形AECD为平行四边形 又 DCB 90 四边形AECD为矩形 AEC 90 即AE BC AE垂直平分BC AB AC 即 ABC为等腰三角形 正确 E为BC的中点 F为AB的中点 AF AB EF为 ABC的中位线 EF AC EF AC EF AF 又 四边形ABED为平行四边形 AF ME 又 EF AC 四边形AFEM为平行四边形 四边形AFEM为菱形 正确 过F作FN BC于N点 则FN AE 又 F为AB的中点 N为BE的中点 FN为 ABE的中位线 FN AE CD 又 BE AD S BEF BE FN S ACD AD CD S BEF S ACD 正确 根据已知不能推出DE平分 CDF 错误 故答案为 4 2016泰安新泰 22 如图 等边三角形ABC中 D E分别为AB BC边上的两动点 且总使AD BE AE与CD交于点F AG CD于点G 则 答案 解析在等边 ABC中 ECA B AC AB BC AD BE BD CE CAE BCD DCB EAC AFG CAF ACF DCB ACF 60 AG CD FAG 30 三 解答题 共8分 5 2016临沂罗庄一轮模拟 21 如图 一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合 现正方形ABCD保持不动 将三角尺GEF绕斜边EF的中点O 点O也是BD的中点 按顺时针方向旋转 1 如图 当EF与AB相交于点M GF与BD相交于点N时 通过观察或测量BM FN的长度 猜想BM FN满足的数量关系 并证明你的猜想 2 若三角尺GEF旋转到如图 的位置 线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M 线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N 此时 1 中的猜想还成立吗 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 解析 1 BM FN 证明 GEF是等腰直角三角形 四边形ABCD是正方形 ABD F 45 由题意可知OB OF 在 OBM和 OFN中 OBM OFN BM FN 2 BM FN仍然成立 证明 GEF是等腰直角三角形 GFE 45 NFO 135 四边形ABCD是正方形 OBC 45 CBM 90 OBM 135 由题意知OB OF 在 OBM和 OFN中 OBM OFN BM FN C组2016 2018年模拟 探究题组1 2018德州齐河二模 24 数学复习课上 张老师出示了下框中的问题 已知 在Rt ACB中 ACB 90 点D是斜边AB上的中点 连接CD 求证 CD AB 问题思考 1 经过独立思考 同学们想出了多种正确的证明思想 其中有位同学的思路如下 如图1 过点B作BE AC交CD的延长线于点E 请你根据这位同学的思路证明上述框中的问题 方法迁移 2 如图2 在Rt ACB中 ACB 90 点D为AB的中点 点E是线段AC上一动点 连接DE 线段DF始终与DE垂直且交BC于点F 试猜想线段AE EF BF之间的数量关系 并加以证明 拓展延伸 3 如图3 在Rt ACB中 ACB 90 点D为AB的中点 点E是线段AC延长线上一动点 连接DE 线段DF始终与DE垂直且交CB延长线于点F 试问第 2 小题中线段AE EF BF之间的