数列极限存在的条件收敛准则课件

1 2 3数列极限存在的条件 收敛准则 2 3 1单调有界原理问题提出收敛数列有界 但有界数列未必收敛 问有界数列外 还应增加什么条件 使结论成立 2 定理2 4 1 单调有界原理 单调有界数列必收敛 证设数列 xn 单调增有界 即存在M 使得x1 xn xn 1 M由确界原理 由 xn 构成的数集必存在上确界 对 0 存在xN 使得 当n N时 有 xN xn 亦即 xn 即 3 例2 4 1设x1 0 证明数列 xn 收敛 并求其极限 n 1 2 解因 n 1 2 又 表明xn 1 xn与xn xn 1同号 即xn 1 xn定号 故 xn 单调 由单调有界原理 xn 收敛 记 4 对 求极限 则有 所以 5 例2 4 2设0 x1 1 证明数列 xn 收敛 并求其极限 n 1 2 解因0 x1 1 设n k时仍有0 xk 1 n 1 2 由归纳法 数列 xn 有界 数列 xn 单调减 由单调有界原理 知 xn 收敛 记 6 对 n 1 2 求极限 得 由此解得 0 于是 例2 4 3设 证明数列 xn 收敛 并求其极限 n 1 2 解因0 x1 3 设n k时仍有0 xk 3 由归纳法 数列 xn 有界 又 9 的符号 几乎不可能 为此考虑两者的比值 令 先证数列 单调 计算 则上式为 10 继而 又 于是 所以 11 数列 单调增 再证数列 有界性 半径为r的圆 内接正n边形的面积为 必小于这个正n边形的外接圆的面积4r2 即 12 合上 数列 单调增有界 故 收敛 记为 这时 圆的周长2r 故 引进弧度 则有 继而 特点 是无穷小量 这是第一个重要极限 13 数列 证明 1 方法1 直接展开 单增有界 数列 单减有界 且 14 所以 单增 又因 15 合上 单增有界 1 方法2 利用算术 几何均数 16 为证有界 由于 表明数列 单调减 17 于是 合上 单增有界 两种方法评述 方法1直观 且关于 xn 的极限有较好的估计 特别是给出 有界性证明方法 并且可以推测 18 方法2简洁但较抽象 在有界性证明中给出了数列 yn 是单调减有界的结论 这是方法1所不具备的 以后将证明 这种第六感觉是正确的 19 第二个重要极限的特点 无穷小量 合上 极限 第二个重要极限 且由于 故 与无穷大量n 的乘积 1 20 2 4 3数列的子列若数列 yn 单调 当数列 yn 再增加有界这个条件 则数列 yn 必收敛 对于单调数列 yn 还可以增加什么条件 代替有界条件 仍然保证数列 yn 收敛 另外 所遇到的数列大多数都不具有单调性 如何使研究其收敛性问题得到简化 例如 数列xn 1 0 1 0 1 能否用数列 xn 的第1项 第3项 第2k 1项 构成的数列 x2k 1 1 1 1 是发散的 说明 xn 也是发散的 结论 是可以 21 在所举的例中 称数列 x2k 1 是数列 xn 的子列 它的定义如下 定义2 4 1设数列 xn 对于数列 nk 通项nk是正整数 且是严格递增的 则称 xn 中按 nk 排列的数列 为数列 xn 的子列 22 注 数列 nk 除严格增外 还具有以下性质 nk k 若nk nl 必有k l 定理2 4 2 数列与子列的关系 数列 xn 收敛 数列 xn 的任意子列都收敛 nk k 若nk nl 必有k l 证明 必要性 若数列 xn 收敛于a 并设a是有限数 则有 0 N 当n N 恒有 是数 列 xn 任一个子列 由 23 当k N时 因nk k 故nk k 所以恒有 数列 xn 一个子列 所以 充分性 若数列 xn 任一个子列都收敛 记 收敛于有限数a 这样一来 得到一个重要结论 若数列 xn 收敛于a 则数列 xn 任意子列都收敛于a 24 也是数列 xn 的子列 所以收敛 另一方面 由必要性证明 可知a b 矛盾 显然 是 的子列 事实上 设 xn 两个子列 往证 xn 所有子列都收敛于数a 分别收敛于 a b a b 则取 xn 子列 其中 是数集 按正整数大小顺序排列所成的数列 25 得到数列 xn 的子列 它不收敛于a 矛盾 即 0 0 N n0 N 有 再证 xn 收敛于a 事实上 若 xn 不收敛于a 取N1 1 n1 N1 有 取N2 max 2 n1 n2 N2 有 取N3 max 3 n2 n3 N3 有 一般地 取Nk max k nk 1 nk Nk 有 同理可证 当a 有相同的结论 26 据此 很容易判断 推论2 4 1 若 xn 存在不收敛的子列 则 xn 不收敛 若 xn 存在两个收敛的子列 且 则 xn 不收敛 等数列是发散的 27 推论2 4 2数列 xn 收敛 奇子数列 x2n 1 与偶子数列 x2n 收敛 且 证明 必要性 显然 往证 充分性 由于 0 N1 当n N1 恒有 对上 0 N2 当n N2 恒有 取N 2max N1 N2 当n N 若n 2k 或n 2k 1 必有k max N1 N2 因而恒有 即 同理可证 当a 28 推论2 4 3若 xn 是单调的 且存在收敛的子列 证法一不妨设 xn 是单调增的 则 则 xn 收敛 且 也是单调 增的 并设 a为有限数 则 0 K 当k K 恒有 亦即 当然也有 29 取N nK 1 当n N 由于nn n nK 1 K 则有 亦即 所以 证法二不妨设 xn 是单调增的 由于 收敛 则 有界 即 M 0 使得 又因 对任意的n nn 故 即 xn 是单调增且有界数列 由单调有界原理 故 xn 收敛 再由收敛数列与子列的关系 立得 30 例2 4 4讨论数列 的敛散性 其中 p是任意实数 n 1 2 解 对任意实数p 数列 an 是严格增 故 当p 0时 由于 31 考虑 当0 p 1时 由于 32 故 33 考虑 当p 1时 由于 34 35 36 所以 an 的子列 有界 再由 an 是单调增 故子列 也是单调增 据单调有界原理 子列 收敛 从而 an 收敛 合上 有如下结论 这是一个非常重要的结论 将在数项级数中 重新遇到 37 例2 4 5讨论数列 的敛散性 n 1 2 解 考虑数列 an 单调性 在两个重要极限中 已经证明 是单调减 38 且 在 1 式中 又得 所以 即 an 单调减的 以下往证 an 下有界 1 以及 2 39 由 2 式 则有 据单调有界原理 数列 an 收敛 记 称c 0 57721566490 为Euler常数 40 2 4 4闭区间套定理在两个重要极限中 得到不等式 并有 是递增的 是递减的 且 在所有闭区间 中 有唯一的实数e 41 将以上推广到一般情况 就是闭区间套定理 定义2 4 2设 an bn 是闭区间列 满足 an bn an 1 bn 1 n 1 2 3 即a1 a2 an an 1 bn 1 bn 1 b2 b1 则称 an bn 是闭区间套 定理2 4 3设 an bn 是闭区间套 则存在唯一的实数 使得 an bn n 1 2 3 即a1 an an 1 bn 1 bn 1 b1 42 证显然数列 an 与数列 bn 都是单调有界 故都收敛 记 因为an bn 所以a b 以及 所以 a b 由a b的性质 即 亦即 an bn n 1 2 3 43 利用闭区间套定理 可进一步讨论数列 an 的子列的性质 即致密性定理 任取 xn 中一项 为 定理2 4 4设 xn 是有界数列 则 xn 必存在收敛的子列 证因 xn 是有界数列 即存在a1 b1 使得a1 xn b1 则闭区间 与闭区间 至少 有一个含有数列 无限多项 44 不妨设是闭区间 再在闭区间 a2b2 任取 含有数列 无限多项 此时记 的一项 作为 又闭区间 与闭区间 至少 有一个含有数列 无限多项 不妨设是闭区间 含有数列 无限多项 此时记 45 反复用以上方法得到 且 ak bk ak 1 bk 1 k 1 2 3 用归纳法 可得 显然 46 由闭区间套定理 则有 又因 由夹逼性定理 得 命题设 xn 是有上界 有下界 数列 则 xn 必存在的单调增子列 单调减子列 使得 证毕 注这个命题不成立 47 证明设 xn 是有上界数列 且a sup xn xn 推论2 4 5设 xn 是有上界 有下界 数列 且 则 xn 必存在的严格增子列 严格减子列 使得 取 xn 中某一项 因a xn 故 48 取 由确界定义 在区间 a 1 a 内必有数列 无限多项 任取一项 且n2 n1 取 49 仿以上步骤 得到 取 据确界定义 在区间 a k a 内必有数列 无限多项 任取一项 且nk 1 nk 仍由确界定义 在区间 a 2 a 内必有数列 无限多项 任取一项 且n3 n2 50 定理2 4 4 设 xn 是无界 无上界 无下界 数列 则 xn 必存在的子列 使得 对于无界数列 则有 这样就得到数列 xn 的一个严格增子列 且 令k 立得 51 2 4 5Cauchy收敛准则判断数列 xn 的收敛方法 数列极限定义 夹逼性定理 单调有界原理 在这些方法中 除了数列 xn 本身以外 还要对数列 xn 附加其他条件 实质上数列 xn 本身就决定了自己的命运 故建立由数列 xn 自身而不增加其他条件 判定其敛散性方法 是必须的 为此 研究数列 xn 收敛于a的实质 按数列极限定义 应是 0 N 当n N 恒有 52 用数轴表示 应是 0 N 当n N 恒有 x a 2 a a 2 开区间 结合 0 N 当n N 不用数值a 将这两个特点重新叙述 具有以下的特点 任意两点之间的距离 xk N k 1 2 53 重新叙述为 0 N 当n N 对 自然数k 恒有 这就是著名的Cauchy收敛准则 当然Cauchy基本列也可叙述为 0 N 当n N 对 自然数k 恒有 定义2 4 3对于数列 xn 若 0 N 当n N m N 恒有 则称数列 xn 为Cauchy基本列 54 即 0 N 当n N 恒有 定理2 4 5数列 xn 收敛 数列 xn 是Cauchy基本列 证明 必要性 若数列 xn 收敛 设 故对n N m N 恒有 即数列 xn 是Cauchy基本列 55 特别地对 1 N0 当n N0 充分性 若数列 xn 是Cauchy列 即 0 亦即 由有界数列必存在收敛的子列 故数列 xn 存在收敛子列 不妨设 取 则 即数列 xn 有界 N 当n N m N 恒有 1 56 由极限定义知 对前 0 N2 当k N2 恒有 故 2 当n N 取k max N N2 因m nk k N 此时 1 和 2 式成立 于是恒有 57 例2 4 6设数列 xn 满足压缩条件 证因为 其中 0 k 1 则数列 xn 收敛 所以 58 由于 故 0 N 当n N 恒有 继而有 所以数列 xn 是基本列 故收敛 59 2 4 6实数的完备性在实数的性质中 用确界原理描述实数的完备性 以确界原理为基础单调有界原理判闭区间套定理致密性定理Cauchy准则 可以证明 它们是互相等价的 即它们都可以用来描述实数的完备性 证明方法如右图所示 证明略去 再补充描述实数的完备性的命题 60 定理2 4 6 海涅 博雷尔 Heine Borel 有限覆盖定理 设H是闭区间 a b 的一个开覆盖 则从H中可选出有限个开区间构成的H的子集H0 H0是闭区间 a b 的一个有限开覆盖 定义2 4 4设S是数轴上非空点集 数集 H是开区间集合 即H 是某些实数 且 若 x S 在H中存在一个开区间 使得x 则称H是S的一个开覆盖 若H中开区间的个数是有限的 则称H是S的一个有限开覆盖 61 将以上过程无限进行下去 得到闭区间套 an 1 bn 1 an bn n 1 2 且 an bn 不能用H的任何有限多个开区间不能覆盖 以及 证明当H是有限集 则结论显然真 当H是无限集时 用反证法证明其结论 设H的任何有限多个开区间不能覆盖 a b 取 a b 的中点c a b 2 则 a c c b 至少有一个不能用H的任何有限多个开区间不能覆盖 不妨设是 a c 并记该区间为 a1 b1 且 62 N 当n N时有 an bn 从而有 an bn 即 an bn 可用 H覆盖 与 an bn 不能用H的任何有限多个开区间不能覆盖相矛盾 证毕 则存在一点 an bn n 1 2 因 由于H是 a b 的开覆盖 故存在开区间 H 使得 取 63 2 4 7Cauchy不收敛准则判断数列 x