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逻辑与小学数学教学导读天长小学 翁秀萍也许我看的书不够多，也许的确如此：从来没有一本书可以把逻辑与小学数学教学联系得如此紧密，从来没有一位作者可以让我如此深切地感受到逻辑与小学数学的紧密联系。逻辑与小学数学教学一书是全国中小学教师继续教育教材，由教育部师范司组织评审，金成梁教授编著，详细地介绍了逻辑与小学教学教材的各种相关理论的知识。全书集科学性、先进性、针对性和实效性于一体，并有一定的趣味性和可读性，从教师的实际需要出发，便于教师自学。书的引论的第一节讲“数学与逻辑”。从“古希腊学者亚里士多德创立逻辑学之后，逻辑学和数学就结下了不解之缘”开始，讲到“数学是逻辑知识用得特别多的一门科学，是最能促进学生逻辑思维发展的学科。在数学教学中，为了妥善地处理教材，体现教材内在的逻辑性，敏锐地觉察并及时纠正学生的逻辑错误，教师必须掌握逻辑学的基础知识。”为了让读者能够体会到这一点，作者马上举了几个例子，非常的典型：“例如，我们熟悉下面的推理，并且认定它们都是正确的：ab abbc bc _ _ 所以ac 所以 ac可是，为什么推理abbc _ 所以 ac就不对呢？ 又如，等量代换公理是众所周知的。因此，推理 ab ab bc bc _ _ 所以ac 所以ac都是正确的。但是，为什么下面的推理 30070=307 307=42 所以，30070=42却由正确的前提推出了错误的结论？为什么在30070=307中，307不能用42来代替？ 再看两个例子，关于推理 平行四边形的对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形 所以 四边形ABCD的对角线互相平分的正确性，我们是坚定不移的。而对于下面的推理 数学题是做不完的 这道题是数学题 所以，这道题是做不完的我们又该怎样看待呢？问题究竟出在哪里呢？下面是小学数学课堂教学中的一个真实的片断。分数的意义教学后，师生讨论了这样一道题：教师：假设图（1）的三角形平面部分表示单位1，那么其中画了阴影线的部分能不能用表示呢？学生：不能教师：为什么？学生：因为不是平均分。对此，教师表示认可。问题在于：图形没有平均分成3份能否成为图中阴影线的一部分不能用表示的充足理由。如果阴影线画在中间的部分内，我们也能断定这一部分不能用表示吗？（图2）”当作者指出小学生在这里犯了逻辑错误时，你会感到意外吗？要回答这些问题，不但需要相关的数学知识，还要有系统的逻辑知识。没有系统的逻辑基础知识，虽然一般情况下也能做到不犯逻辑错误。有时，虽然感觉到学生犯了逻辑错误，但说不清楚错误的原因。这样，也就无法引导学生认识错误，切实改正错误。“数学是思维的体操”。为了在数学教学中卓有成效地培养学生的思维能力，尤其是逻辑思维能力，一个首要的条件是不断提高教师的逻辑修养。读到这里，读者通常能够感到读这本书的必要性。整本书共266页，分十章讲解，分别是引论、概念、简单判断、复合判断、简单判断的演绎推理、复合判断的演绎推理、归纳推理和类比推理、逻辑思维的基本规律、证明与反驳、数理逻辑初步每一章节都配有相应的练习，所以后面还附有“习题答案” ，为了方便阅读、查找，最后是“逻辑名词索引”。逻辑学是一门比较抽象、枯燥的学科，如何吸引读者读完这本书，正是这本书的最大特色。首先，正如引论中一样，本书例举了大量小学数学教学中的例子。比如：在讲到“属性和概念”时，列举了“5的一些属性”：性质有：5是自然数；5是质数；5不是偶数关系有：5比4多1；5可以分解为1和4；5也可以分解为2和3其次，本书不但列举了大量的例子，还穿插逻辑知识具体解释。在第四章“复合判断”第二小节“原命题、逆命题、否命题和逆否命题”中，举了这么一个应用的实例。根据加法交换律验算加法6514729238的计算结果是否正确时，通常是另做加法2923865147。根据加法交换律，“如果两次计算都正确，那么两次计算的结果相等。”这是真的假言命题。根据前面的知识，这个假言命题的逆否命题也真。那就是“如果两次计算的结果不等，则两次计算不是都正确。”这就是说，可能第一个加法算错了，也可能第二个加法算错了，或者两个加法都算错了。究竟是什么情况，需要进一步研究。通常是第三次做加法，看计算结果和前面的哪一个得数相符。“如果两次计算的结果相等，则两次计算都正确。”是前面那个真命题的逆命题。这个命题是不是真的呢？回答是否定的。设想一位小学生在做多位数加法时，总是把进位加法“忘掉了”；或者设想计算机的进位线路发生了故障，进位信号总是丢失了。这时，两次加得的和虽然相同，但都是错误的。因为这个逆命题假，所以我们不能以它作为前提进行推论。不能根据“两次计算的结果相同”，就认定“两次计算都正确”。只能说：“正确的可能性更大”。又如：书中讲到假言连锁推理的根据，和假言推理一样，仍然是假言判断的前、后件之间的关系。实际上，一种事物的出现，往往会导致相继出现一连串的事物情况。假言连锁推理通过几个假言判断环环相扣，帮助人们发现两个似乎不相关的事物情况之间的内在联系。此外，在思维实践中，假言连锁推理也常常以省略的形式出现。讲到这里，书中举了一个小学数学竞赛中运用假言连锁推理的例子。一位慈善家说：“在上个礼拜，我把50枚银元施舍给十个可怜的人，但不是平均分给他们，而是根据他们的困难程度施舍。因此，他们每一个人得到的银元枚数都不相同。”数学家听后说：“你说的是谎话！”数学家根据什么断定这位慈善家说的是谎话呢？如果这位慈善家说的是真话，那么，因为十个人得到的银元枚数都不相同，所以他们至少各获得银元1，2，3，10（枚）所以他们获得的银元总数至少是1231055（枚）和慈善家所说施舍银元的总数为50枚相矛盾。所以，这位慈善家说的不是真话，而是假话。上述反驳过程，主要是一个以省略形式出现的假言连锁推理。现分析如下：如果这位慈善家说的是真话，那么，十个“可怜人”获得的银元枚数都不相同；如果十人获得的银元枚数都不相同，那么他们至少各获得银元1，2，3，10（枚）；如果他们至少各获得银元1，2，3，10（枚）银元，那么他们获得的银元总数不少于1231055（枚）。根据假言连锁推理肯定式可以推出：“如果这位慈善家说的是真话，那么十人获得的银元总数应该不少于55枚。”根据假言连锁推理否定式可以推出：“如果十人获得的银元总数少于55枚，那么这位慈善家说的不是真话。”而这位慈善家说他施舍银元的总数为50枚，即少于55枚，所以他说的不是真话。诸如这样的例子很多。我们还可以拿“定义的规则”部分来看：被定义概念和属加种差的外延应该相同。例：说“大于直角的角叫做钝角”就犯了定义过宽的错误。“分子大于分母的分数叫做假分数” 犯了定义过窄的错误。“求和的运算叫做加法，加法运算的结果叫做和”就犯了循环定义的逻辑错误。“两腰相等的三角形叫做等腰三角形”也犯了循环定义错误。“两腰相等的梯形叫做等腰梯形”没有犯循环定义的错误，它是一个正确的定义。下列定义犯了“比喻定义”错误：直角的边叫直角边；最简单的多边形叫三角形；两条弯曲的线叫双曲线。定义一般不用否定概念。说“不直的线叫曲线”、“不是整数的有理数叫做分数” 都是不恰当的。不过，如果用否定概念确能揭示被定义概念的内涵，那么它仍可以应用。而“同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”“不能被2整除的整数叫做奇数”都是正确的定义。第三个特色是为了保证整本书关于逻辑学的严密性，有的例子在前面只是点到为止，而到相关知识点的时候再具体展开。比如：在引论中就提到的“分数意义”例子，一直到第四章“复合判断”第二小节“原命题、逆命题、否命题和逆否命题”中的应用实例部分才展开讲解。书中是这样展开讲解的：小学生能根据分数的意义，正确地认定下图（1）中的阴影部分可以用表示。也能正确地认定下图（2）中的阴影部分不能用表示。为什么不能呢？理由常常说错了：“因为不是平均分。”如果这个理由是对的，那么根据同样的理由，下图（3）中的阴影部分也不能用表示。而这个判断是假的，如下图（4）中所示，将三角形进一步平均分之后就可以看到：下图（3）中的阴影部分可以用表示，因而也就可以用表示。问题出在哪里呢？根据分数的意义，“如果这里是平均分，那么加阴影线的一部分可以用表示。”（如图（1）这是一个真的假言命题。“如果这里不是平均分，那么加阴影线的一部分不能用表示”是这个真命题的否命题。由于否命题未必真，所以不能作为推理的依据。我们只能说：因为“不是平均分”，所以不能根据分数的意义断定“阴影部分是”。究竟是几分之几，平均分之后就可以知道。又如引论中讲到的ab abbc bc _ _ 所以ac 所以 ac这个推理是正确的，可是，为什么推理abbc _ ac就不对呢？在第三章第四节中，才展开解释。书中是这样解释的：如果每当a对b有关系R并且b对c也有关系R时，a对c必有关系R，则称R是“传递的关系”。推理“因为，所以”之所以错误，就是因为数的“不等”不是传递的关系。第四个特色是为增加趣味性和可看性，每隔几个章节，作者都会插入一个“阅读” 资料，讲的都是逻辑学发展史上非常经典的例子。有一则阅读材料是这样的：阅读如果罗素是罗马教皇，那么2=1英国著名的数学家和逻辑学家罗素（公元18721970），有一次在别人的要求下写了一个“证明”。这个证明从“罗素是罗马教皇”推出了“21”。他的证明是这样的：“如果我是罗马教皇，那么罗马教皇和我是1个人；如果我不是罗马教皇，那么罗马教皇和我是2个人。因此，21。”于是，就证明了“如果罗素是罗马教皇，那么2=1”。这个“奇特”的证明是无法凭常识来理解的。有些人曾经把它叫做“悖论”，即似是而非、难辨真假的议论，但它实际上并不是悖论。在真正的悖论中，都包含用普通的逻辑方法不能清除的矛盾。而在罗素的这个证明中并不包含这样的矛盾。从逻辑学的角度来看，这个证明是无可非议的。罗素的证明反映了逻辑学中的这样一个原理：从两个互相矛盾的判断出发，可以推出任何判断。而在上述证明中，实际上用了如下两个判断作为推理的前提：“罗素是罗马教皇；”“罗素不是罗马教皇；”从这两个互相矛盾的判断出发，推出了“21”是不足为奇的。如果教材讲到的知识还不足以解释这个问题，那么阅读材料的末尾会注明：（参看本书第214页）这样的阅读资料不仅拓展了视野，而且可能会吸引感兴趣的读者翻到相关的内容先阅读起来，非常有可读性。此外，还有很多关于逻辑学的知识，是我以前所没有注意过的。“逻辑”一词是音译的产物，译自希腊文。词的原意主要是指思想、理性、规律性等。古希腊学者用它表示“研究推理、论证的学问”。以前，我国曾将这些学科的名称意译为“论理学”、“理则学”、“名学”、“辨学”等。但它们对意义的表示都有失偏颇，因此，后来一直采用音译“逻辑”。例如：“笔尖上发现的天体”海王星，它