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分段函数(1)分段函数的含义在函数的定义域内，对于自变量x的不同区间，有着不同的对应法则的函数，这样的函数通常叫做分段函数【提示】分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域也是各段值域的并集；分段函数的解析式中的“”与方程（或不等式）组中的“”的含义是不同的，后者是“并且”的意思，“”中的要求要同时满足，而前者是分类定义，即对定义域进行分类后分别定义函数，没有“并且”的意思(2)分段函数的函数值:已知分段函数的解析式求其函数值的关键是先弄自变量所在区间，然后代入对应的解析式，并且逐步解决，对于求“层层套”的函数值，常常先从最内层开始运算，然后往外逐层运算1设，则( )A. B. C. D.【答案】B 解析：，选B2设函数,则( )A B3 C D【答案】D 解析：，故选D3（12青岛质检）已知 则( )A B C D【答案】D 解析：，4（11茂名一模）设函数，对于任意不相等的实数，则的值等于( )A B C、中较小的数 D、中较大的数【答案】D 解析：当时，原式；当时，原式；的值等于、中较大的数5设f(x)，则f(5)的值是( )A24 B21 C18 D16【答案】A 解析：f(5)f(f(10)，f(10)f(f(15)f(18)21，f(5)f(21)24.6已知f(x)，则f(1)f(4)的值为( )A7 B3 C8 D4【答案】B7已知函数 ，则 =( )A9 B C9 D【答案】B8若函数，则( )A. B. C. D.【答案】B9定义在R上的函数满足=，则的值为( )A1 B 2 C1 D2【答案】B 解析：当x0时，f(x)f(x1)f(x2)，f(3)f(2)f(1)f(1)f(0)f(1)f(0)log2(40)210已知f(x)且f(2)1，则f(1)的值为_【答案】18 解析：f(2)loga(221)loga31，a3，f(1)2321811设，则的值为( )A. B. C. D.【答案】C12设,则的值为( )A1 B0 C D【答案】B 解析：因为 所以.13给出函数，则( )A. B. C. D.【答案】D14设函数g(x)则g=_【答案】 解析：gln0，gg(3)分段函数的定义域:分段函数的定义域是各段定义域的并集1（12东城一模）设集合，函数 若，且， 则的取值范围是( )A B C D【答案】C 解析：若，则，2设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_【答案】(1,0)(1，) 解析：当x(0，)时，f(x)lg x，当x(0,1)时，f(x)0.又函数f(x)为奇函数， 当x(1,0)时，f(x)0； 当x(，1)时，f(x)0的x的取值范围是(1,0)(1，)(4)分段函数的值域:分段函数的值域是各段值域的并集1设函数， 求的值域【解析】令解得或当时，；当时，；的值域为2函数f(x)的值域是( )ARB0，) C0,3 Dx|0x2或x3【答案】D 解析： 画出f(x)的图象， 函数的值域为x|0x2或x33定义运算设F(x)f(x)g(x),若f(x)sinx,g(x)cosx,xR,则F(x)的值域为( )A.-1,1 B. C. D.【答案】C 解析:由已知得即F(x)，F(x)sinx,当,kZ时,F(x)-1,；F(x)cosx,当,kZ时,F(x)(-1,).4函数的值域是( )A B C D 【答案】C 提示：数形结合5【13北京文】函数的值域为_.【答案】 解析：当时，；当时，故函数的值域为.(5)分段函数的单调性1(12山西四校)已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有成立，则实数a的取值范围为( )A(，2)B. C(，2 D.【答案】B解析：函数f(x)是R上的减函数，于是有，由此解得a，即实数a的取值范围是.2(13福州模拟)已知满足对任意的实数x1x2都有0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数2设Q为有理数集，函数,，则函数（）A是奇函数但不是偶函数 B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数 D既不是偶函数也不是奇函数【答案】A 解析:Q为有理数集，函数,f（-x）=f（x），即f（x）是偶函数，,即g（x）是奇函数， 函数h（x）=f（x）g（x）是奇函数但不是偶函数，故选A. (7)分段函数的周期性：解决周期函数问题的关键是结合函数的周期性对自变量进行灵活变形，将其转化为已知区间内的函数，利用已知区间内的函数的解析式，可找到关于参数的方程组，即可求出参数的值.1（12江苏）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值为 【答案】是定义在上且周期为2的函数，即 又，联立，解得，；.(8)分段函数的图像:判断分段函数的图像常有三种方法：方法一是利用函数的解析式来识别，求分段函数的解析式主要依据已知某一区间上的图像（或解析式）求此函数的解析式，常按其定义域分类讨论，各个击破（可用待定系数法、数形结合法或利用函数的性质），最后写出表达式；方法二是利用特殊值法，避开求其解析式去判断图像，直接取特殊点（有时可利用其奇偶性、单调性、最值等）即可顺利获解；方法三是利用图像的变换法，熟练掌握图像关于某点成中心对称、关于某线成轴对称，以及图像的平移与伸缩变换，便可顺利求解.1函数yx的图象是( )【答案】C 解析：对于yx，当x0时，yx1；当x0时，yx1.即y，故其图象应为C.2已知定义在区间0,2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为()【答案】B 解析1：由yf(x)的图象知f(x)当x0,2时，2x0,2，所以f(2x)故yf(2x)图象应为B.解析2：当x0时，f(2x)f(2)1；当x1时，f(2x)f(1)1.观察各选项，可知应选B.(9)分段函数的最值：求分段函数的最值常利用函数的单调性来求其最值；有时还可以求出每个区间上的函数的取值范围，然后通过比较大小，就可以求出在定义域内的最值；有时还可以画出其草图，借助图像数形结合便可得出.1函数y|x3|x1|有( )A最大值4，最小值0 B最大值0，最小值4C最大值4，最小值4 D最大值、最小值都不存在【答案】C 解析：y|x3|x1| ，因此y4,4，故选C.2函数f(x)，则f(x)的最大值、最小值分别为( )A10,6 B10,8 C8,6 D以上都不对Y4321 0 1 2 3 4 5 x【答案】A 解析：分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最小者当1x2时，82x610，当1x1时，6x78.f(x)minf(1)6，f(x)maxf(2)10. 故选A.3求函数的最小值【解析1】先求每个分段区间上的最值，后比较求值当0时,=2+3,此时显然有maX= =3；当01时，=+5，此时无最大值.比较可得当=1时,max=4.【解析2】利用函数的单调性，由函数解析式可知，在(,0)上是单调递增的，在(0,1)上也是递增的，而在(1,+)上是递减的，由的连续性可知当=1时有最大值4.【解析3】利用图像，数形结合求得，作函数=的图像（图1），显然当=1时max=4.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.4【13北京通州理】对任意两个实数，定义若，则的最小值为 .【答案】-1 解析：因为对任意两个实数x1，x2，定义max(x1，x2)，又f（x）=x2-2，g（x）=-x，由x2-2-x，得x-2或x1，则当x2-2-x时，得-2x1所以y=max（f（x），g（x）=，其图象如图，由图象可知函数max（f（x），g（x）的最小值为-1故答案为-15(12福建三明)已知函数且，则函数的最小值是_【答案】0 解析：因为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故函数的最小值是(10)分段函数的解析式1如图所示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象解析：过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H.因为ABCD是等腰梯形，底角为45，AB2 cm，所以BGAGDHHC2 cm，又BC7 cm，所以ADGH3 cm.(1)当点F在BG上时，即x(0,2时，yx2；(2)当点F在GH上时，即x(2,5时，y22x2；(3)当点F在HC上时，即x(5,7时，yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF(73)2(7x)2(x7)210.综合(1)(2)(3)，得函数解析式为y图象如图所示2已知，(1) 求和的值；(2) 求和的表达式解析：(1)由已知，g(2)1，f(2)3，fg(2)f(1)0，gf(2)g(3)2.(2)当x0时，g(x)x1，故fg(x)(x1)21x22x；当x0时，g(x)2x，故fg(x)(2x)21x24x3；fg(x)当x1或x1时，f(x)0， 故gf(x)f(x)1x22；当1x1时，f(x)0，故gf(x)2f(x)3x2.gf(x)3如图，动点从单位正方形顶点开始，顺次经、绕边界一周，当表示点的行程，表示之长时，求关于的解析式，并求的值解：当在上运动时，；当在上运动时，；当在上运动时，；当在上运动时，4；4等腰梯形的两底分别为，作直线交 于，交折线于，记，试将梯形位于直线左侧的面积表示为的函数，并写出函数的定义域.解析：5. 【13安徽文】定义在上的函数满足.若当时.， 则当时，=_.【答案】解析：当时，则，故，又，.(11)分段函数与不等式的交汇：解决分段函数与不等式的交汇的问题关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量的范围的界定，代入相应的解析式求解不等式，注意取值范围的大前提，然后把几个不等式的解集求其并集即可.1(2012南京模拟)已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_【答案】(1，1) 法一：画出f(x)的图象，由图象可知，若f(1x2)f(2x)，则即得x(1，1)法二：当x1时，1x20,2x2，则f(0)1，f(2)1，无解；当10，f(1x2)f(2x)化为(1x2)211，恒成立；当00，原不等式化为(1x2)21(2x)21，即(x1)22，0x1；当x1时，1x20，无解综上知1xf(2x)，得1x22x，却忽略了1x20而失误2解决分段函数的单调性问题时，应注意：(1)抓住对变量所在区间的讨论；(2)保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；(3)弄清最终结果取并还是交2设函数，若，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.（0，1）【答案】B3设函数，则不等式的解集是( )A. B. C. D.【答案】A 解析：，所以可化为，即，所以.4设函数，则的取值范围是( )A B C D【答案】D 解析：，所以.5设函数，若，则实数的取值范围是( )A B C D【答案】C 解析： 或 ，（1）即 所以（2）即为 ，所以综上，的取值范围为 6已知函数，若互不相等，且，则实数的取值范围是( )A B C D【答案】C 解析：画出函数图像，不妨设，结合条件由图知：，所以 ，由得：，所以7【13全国理I】已知函数f(x)，若| f(x)|ax，则a的取值范围是( )A、（，0 B、（，1 C、2，1 D、2，0【答案】D 解析：作出函数图像，在点处的切线为制定参数的标准；当时，故；当时，由于上任意一点的切线斜率都要大于，故，综上所述，a的取值范围是；8.【13黄冈适应】已知 且，则使不等式20070320成立的m和n还应满足条件是（ ）A B C D【答案】A 解析：作出函数图像，可知函数为奇函数，则使不等式成立的m和n还应满足条件9定义在R上的奇函数f(x)，当x(0，)时，f(x)log2x，则不等式f(x)1的解集是_【答案】x|0x或x2 解析：当x0，f(x)f(x)log2(x)，f(x)f(x)1或或0x或x2.(12)分段函数与方程的交汇：分段函数是自变量在不同的取值范围内对应法则也不同的函数，求分段函数与方程的交汇问题的关键是“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程，然后综合其解（或求其参数）.1(11江苏)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_【答案】 解析：当1a1，即a0时，a11，由f(1a)f(1a)，得2(1a)a(1a)2a，计算得a(舍去)；当1a1，即a0时，a11，由f(1a)f(1a)，得2(1a)a(1a)2a，计算得a，符合题意综上所述，a.2(13杭州模拟)设函数f(x)若f(a)f(1)2，则a( )A3B3 C1 D1【答案】D 解析：f(a)f(1)2，且f(1)1，f(a)1，当a 0时，f(a) 1，a1；当a2，则f(x0)2x08，x04.4设函数若f(1)+f(a)2, 则a的所有可能的值是_.【答案】1或 解析：由已知可得，当a0时,有e0+ea-11+ea-12,ea-11.a-10.a1. 当-1a0时,有1+sin(a2)2,sin(a2)1.又-1a0,0a21,当k0时,有,.综上可知,a1或.5设函数，若，则关于的方程 的解的个数为( )A1 B2 C3 D4【答案】D 解析：，所以，则可化为或，即6设函数, 则满足=的x的值_【答案】 解析：当x(，1)时，由 =，得x=2，但2（，1），舍去；当x(1，+)时，由，得x=，(1，+)，符合题意，综上所述，x=7函数 的零点个数为( )A0 B1 C2 D3【答案】C8函数的图象和函数的图象的交点个数是( )A4 B3 C2 D1【答案】B 解析：画图，易知在时有2个交点，一个就是1，另一个是正的纯小数；在时有1个交点，该点介于34之间9设函数，若10，则x 【答案】310已知f (x)，若f f (x)1成立，则x的取值集合为 【答案】 解析：(1)如果x0,1, 则有f(x)=1, 所以ff(x)=f(1)=1,由于10,1，即ff(x)=1在x0,1都成立(2)如果x3,4，则f(x)=x-3, 因为x3,4,所以x-30,1,从而f(x-3)=1，故ff(x)=f(x-3)=1，即ff(x)=1在x3，4也是都成立(3)如果x不属于0,13,4 , 首先有f(x)=x-3,而且x-3也就不属于0，1内了，因此，都用后面的一个关系式，可得：ff(x)=f(x-3)=(x-3)-3=x-6,要使ff(x)=1,就是要有 x-6=1, 解得：x=7综上讨论的结果可知，所求的集合为x|0x1或3x4或x=711(11北京) 已知函数f(x),若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_【答案】0k1 解析：函数f(x)的图象如图15所示，由上图可知0k1.(13)分段函数与新定义运算的交汇：用新定义运算背景包装的分段函数问题的求解关键是首先读懂新定义运算的含义，并通过符号语言翻译到所求函数中去；其次利用分段函数的图像解决问题时，要特别注意函数的定义域的限制及其关键点（如端点、最值点等）的准确性，然后利用图像的直观性进行判断、分析和求解1.（11天津）对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(xx2)，xR，若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(，2 B(，2C. D.【答案】B解析：则f的图象如图14.yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，yf(x)与yc的图象恰有两个公共点，由图象知c2，或1c.2. 对于实数，定义运算“”：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_【答案】解析：由题可得即，如图关于的方程为恰有三个互不相等的实数根；即函数的图像与直线有三个不同的交点，不妨设从左到右的交点的横坐标分别为，又在时取得最大值，则，当时即，即；当时，由得，即，即2. (13福建联考)若直角坐标平面内A、B两点满足条件；点A、B都在f(x)的图象上；点A、B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A，B)与(B，A)看作一个“姊妹点对”)已知函数f(x)，则f(x)的“姊妹点对”有()个A1 B2 C3 D4【答案】B 解析：若A、B为“姊妹点对”，设A(x，y)，B(x，y)；在函数f(x)中，不妨设A点的横坐标非负，则A(x，)，B(x，x22x)，所以2xx2(x0)；在同一直角坐标系中作出f(x)与g(x)x22x的图象(如右图)，可知f(x)与g(x)在第一象限有两个交点，故方程x22x(x0)有两解，故f(x)的“姊妹点对”有两对 (14)分段函数综合问题1根据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间（单位：分钟）为（，为常数）已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和的值分别是（ ）A 75，25B 75，16 C 60，25 D 60，16【答案】D 解析：由条件可知，时所用时间为常数，组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，2（12潍坊联考）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）