第4讲函数极限及性质2009.doc

数学分析I第4讲教案第4讲 函数极限概念及其性质授课题目函数极限概念及其性质教学内容1.趋于时函数的极限 2. 趋于时函数的极限，3. 函数的单侧极限，4. 函数极限与单侧极限之间的关系定理，5.函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握当 、 、时函数极限的分析定义，掌握函数极限的唯一性、有界性、保号性、保不等式性。会用函数极限的分析定义证明较简单的函数极限，会用这些性质讨论函数的极限。教学重点及难点教学重点：各种函数极限的分析定义；教学难点：函数极限性质的分析证明.教学方法及教材处理提示(1)本讲的重点是各种函数极限的分析定义对多数学生要求主要掌握当 时函数极限的分析定义，会用函数极限的分析定义求函数的极限；(2)重点讲清当 时函数极限的()定义，其实质是一种数学分析语言，讲明白当 时函数极限的()定义的几何意义，以加深对该定义的理解；（3）函数极限的性质的分析证明是本讲的难点由于这些性质类似于数列极限中相应的性质，可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系，对于一些较好的学生要求他们能理解函数极限的局部性质(4)通过分段函数极限实例引导学生得出左（右）极限概念.作业布置作业内容：教材 :1(2,3),3，4，6(1,3). 讲授内容一 、趋于时函数的极限例如，对于函数，当无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数g()=，则当趋于+时函数值无限地接近于定义1 设为定义在)上的函数，A为定数若对任给的0，存在正数M()，使得当M时有 |0，在坐标平面上平行于轴的两条直线)与，围成以直线A为中心线、宽为2的带形区域；定义中的“当M时有”表示：在直线M的右方，曲线y=全部落在这个带形区域之内如果正数给得小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线M一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数M，使得曲线在直线M的右边部分全部落在这更窄的带形区域内. 或 ； 或 .这两种函数极限的精确定义与定义相仿，只须把定义中的分别改为或 不难证明：若为定义在上的函数，则 例1 证明 证：任给，取，则当：时有，所以。 例2 证明：（1）, (2). 注：当时不存在极限二、 趋于时函数的极限 定义 (函数极限的定义) 设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数若对任给的存在正数，使得当时有 ，则称函数当趋于。时以为极限，记作或 举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限特别讲清以下各例中的值是怎样确定的例3 设，证明.证：由于当时，故对给定的，只要取，则当时有，这就证明了例4 证明： 证： 先建立一个不等式：当时有 事实上，在如图的单位圆内，当时，显然有 即，由此立得式又当时有，故对一切都有，当时，由得综上，我们得到不等式，其中等号仅当时成立而对任给的只要取，则当时，就有所以. 可用类似方法证明例 证明证：当时有若限制于（此时）则，于是，对任给的只要取，则当时，便有 例6 证明证：由于 因此 于是，对任给的（不妨设）取 ，则当时，就有 关于函数极限的定义的几点说明： （1）定义中的正数，相当于数列极限定义中的，它依赖于，但也不是由所惟一确定一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小些也无妨如在例中可取或等等 （2）定义中只要求函数在的某一空心邻域内有定义，而一般不考虑在点处的函数值是否有定义，或者取什么值这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于过程中函数值的变化趋势如在例中，函数在点是没有定义的，但当时的函数值趋于一个定数（3）定义中的不等式等价于，而不等式等价于 下面我们讨论单侧极限 例如，函数 (I)当而趋于时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于时，则应按. 定义 设函数在内有定义，为定数若对任给的，存在正数，使得当,时有则称数为函数当趋于(或)时的右(左)极限，记作 或右极限与左极限统称为单侧极限在点的右极限与左极限又分别记为 与按定义3容易验证函数(I)在处的左、右极限分别为 ， 同样还可验证符号函数在处的左、右极限分别为 定理3.1 三、函数极限的性质 定理3.2(唯一性) 若极限存在，则此极限是唯一的证：设都是当时的极限，则对任给的，分别存在正数与，使得：当时有 ， 当时有 ， 取，则当时，(1)式与(2)式同时成立，故有 由的任意性得，这就证明了极限是唯一的. 定理3.3（局部有限性）若存在，则在的某空心邻域内有界 证：设取，则存在使得对一切有 ，这就证明了在内有界 定理3.4(局部保号性) 若 (或)，则对任何正数（或，存在，使得对一切有 （或） 证：设，对任何，取，则存在，使得对一切，这就证得结论对于的情形可类似地证