2.交流电路.doc

第二章 交流电路大小和方向都随时间按正弦规律变化的电流、电压、电动势称为正弦电流、正弦电压、正弦电动势，统称为正弦交流电。本章主要讨论正弦交流电路的基本概念、基本元件及基本分析方法，分析交流电路的谐振现象，介绍三相电路的连接及分析计算方法。2.1 正弦交流电的基本概念正弦电流、正弦电压、正弦电动势等物理量常称为正弦量。图2.1是一段电阻电路，若在其两端加正弦电压u，则流过该段电阻电路的电流为正弦电流，用数学式表示为 （2.1）上式中，I m、i分别是正弦电流i的幅值、角频率、初相位，它们表征了正弦电流i的大小、变化的快慢、初始值。也就是说，正弦量的特征可以由幅值（或有效值）、频率（或周期）、初相位（或相位差）来确定。频率、幅值、初相位被称为确定正弦量的三要素。2.1.1 幅值、有效值1.幅值从式（2.1）看出，正弦电流i是时间t的正弦函数，正弦电流在不同时刻有不同的量值。正弦电流i与时间t的关系曲线如图2.2所示，称为电流波形图。正弦量在任一瞬时的值称为瞬时值，常用小写字母来表示，如用i、u、e分别表示瞬时电流、瞬时电压、瞬时电动势。当时，正弦电流i达到最大值。正弦量的瞬时值中最大的值称为幅值或最大值，常用带下标m的大写字母来表示，如用I m、U m、E m分别表示电流、电压、电动势的幅值。2.有效值用一般的交流电流表、交流电压表测量所得的值是电流、电压的有效值，如用交流伏特计测量交流电压得380V，说明所测得的电压有效值为380V。有效值是从电流的热效应方面等效来规定的。如果一个周期电流i和一个直流电流I分别流过同一个电阻、且在相同的时间内产生相等的热量，那么这个周期电流i和这个直流电流I在热效应方面是等效的，这个直流电流I的值就是这个周期电流i的有效值。根据式（1.24）及（1.25）得，周期电流i和一个直流电流I分别流过同一个电阻R、且在相同的0T时间内产生的热量分别为根据热效应方面等效的规定，求周期电流i的有效值。令得可见，周期电流i的有效值是其瞬时值的平方在一个周期内的平均值再开平方的结果，有效值简称为方均根植。当周期电流i为正弦量,即时，其有效值为 （2.2）同理，周期电压u、周期电动势e分别为、时，其有效值分别为 （2.3） （2.4）由式（2.2）、（2.3）及（2.4）可见，正弦量的幅值（或最大值）等于有效值乘以。2.1.2 频率、周期正弦量完成一次周期性的变化所需要的时间称为周期，周期用符号T表示，如图2.2所示。周期的标准单位是秒，用符号s表示。正弦量每秒内完成周期性变化的次数称为频率，频率用符号f表示。频率的标准单位是赫兹，用符号HZ表示。我国及大多数国家都规定50HZ为电力系统的标准频率，只有极少数国家采用60HZ为电力系统的标准频率。通讯系统的频率范围很大，高频可达1010HZ以上，因此也常用千赫（KHZ）、兆赫（MHZ）作为频率的单位，有显然，周期、频率都反映了正弦量变化的快慢，周期T与频率f有以下关系 （2.5）在式（2.1）中，反映正弦量变化快慢的参数是，称为正弦量的角频率，它的数值等于正弦函数的幅角在单位时间内的增长值。角频率的标准单位为每秒弧度，用符号rad/s表示。因为正弦函数是周期函数，当周期为T时，有令，得 （2.6）可见，角频率与频率f成正比关系，角频率是频率f的2倍。2.1.3 初相位、相位差在式（2.1）中，称为正弦量的相位，它反映正弦量在某一时刻的大小、方向及变化趋势。当时，称为正弦量的初相位或初相角，它是反映正弦量初始值的参数。初相位的取值范围常规定为：。初相位可以大于零、等于零或小于零；在图2.2中，。在正弦交流电路分析中，经常需要比较两个同频率正弦量在某一时刻的大小、方向及变化趋势，我们可以通过比较这两个正弦量的相位来实现。两个同频率正弦量的相位之差称为相位差，用符号表示。对以下两个同频率的正弦量其相位差为 （2.7）可见，两个同频率正弦量的相位差就是其初相位之差。相位差的取值范围常规定为：。令，则。相位差实际上反映了两个同频率正弦量达到幅值（最大值或最小值）时的时间差。先达到幅值（最大值）的正弦量相对超前，后达到幅值（最大值）的正弦量相对滞后；即时，u超前于i或i滞后于u，如图2.3（a）所示。两个正弦量相差相位达到幅值（最大值）的情况称为正交；即时，u与i为正交，如图2.3（b）所示。两个正弦量同时达到幅值（最大值）的情况称为同相；即时，u与i为同相，如图2.3（c）所示。两个正弦量相差相位达到幅值（最大值）的情况称为反相；即时，u与i为反相，如图2.3（d）所示。例题2.1 已知,试求该正弦量的周期、频率、初相位、有效值及时的瞬时值。解： 周期 频率 初相位 有效值 时的瞬时值 2.2 正弦量的相量表示法在上节内容中，我们知道正弦量用解释式或波形图来表示时都可以反映正弦量的幅值、频率及初相位这三个要素，也能说明正弦量随时间变化的规律。但是，利用解释式或波形图来对正弦量进行运算时，其运算过程繁琐或运算结果不精确。如果采用正弦量的相量表示法，可以把正弦量的运算变为相量的运算，使运算过程简单且运算结果精确。2.2.1 相量表示法用相量来表示正弦量的方法称为正弦量的相量表示法。 我们先看一个旋转矢量准确表示一个正弦量的情况。现有一个正弦量，其波形图如图2.4（b）所示。在图2.4（a）中画一个直角坐标XOY，使其X轴与正弦量波形图的t轴重合,以原点O为圆心作一个半径为I m的圆，如图2.4（a）所示。在图2.4（b）的波形中任取一点1（0，i1），向左边作水平线与图2.4（a）的纵轴相交得到一个相应的点a，a点在图2.4（a）中纵轴上的数值就是正弦电流i的瞬时值i 1。在图2.4（a）中原点O作一个与X轴正方向的夹角为0且长度等于I m的矢量，可以证明该矢量在纵轴上的投影等于正弦电流i的瞬时值i 1。同理，在图2.4（b）的波形中任取一点 i（i0，i i），都可以在图2.4（a）中唯一地确定一个与X轴正方向的夹角为i且长度等于Im、在纵轴上的投影等于正弦电流i的瞬时值i i的矢量。当在图2.4（b）的波形中任取许多点并在图2.4（a）中作相应的矢量后，我们发现该矢量随着时间的增加逆时针旋转。这个旋转矢量的长度等于正弦电流i的幅值I m，旋转起始位置与X轴正方向的夹角等于正弦电流i的初相角0、旋转角速度等于正弦电流i的角频率、在纵轴上的投影等于正弦电流的瞬时值i。可见，一个旋转矢量能表明一个正弦量的三要素及其随时间变化的规律。这个旋转矢量随时间变化而改变方向，为了区别于方向确定的空间矢量（如力、电场强度等向量），我们将这种可以表示正弦量的矢量称为相量，用物理量的符号上加一个“.”来表示。由于正弦量的有效值在实际测量和分析中应用比较多，常常令旋转矢量的长度等于正弦量的有效值，电流、电压、电动势的有效值相量分别以来表示。正弦量的相量表示法有相量图表示法和复数式表示法两种具体形式。正弦量的相量图表示法如图2.5所示，其中为有效值相量且其数值。注意：频率不相同的正弦量不能画在同一个相量图上。正弦量的复数式表示法有代数式、指数式和极坐标式三种，为 （2.8）2.2.2 正弦量的加、减法在交流电路的分析中，常常需要对几个频率相同的正弦量进行相加或相减运算，可以证明，几个频率相同的正弦量进行相加或相减运算的结果仍然是一个频率相同的正弦量。我们可以采用解释法来运算，通过三角函数的运算得出结果，但是其求解过程很繁琐。我们也可以采用波形图法来运算，通过逐点求出瞬时值的代数和来得出结果，其求解过程繁琐且结果不精确。采用相量图来对几个频率相同的同类正弦量进行相加或相减运算时，由于应用平行四边形法则求解，因此其求解过程既直观又简单，但是结果不准确，相量图法常常用于对交流电路的定性分析。例如，已知两个频率相同的正弦电流分别为 、，我们可以采用相量图法求出两个正弦电流的和与差，如图2.6所示。两个正弦电流相加的相量图法求解如图2.6（a）所示，根据已知条件，先在同一个相量图中分别画出有效值相量，然后以为邻边作一个平行四边形。在此平行四边形中，通过原点O作一条对角线，其长度就是两个正弦电流之和的有效值I，可以由直尺量出；该对角线与零相位线的夹角就是两个正弦电流之和的初相位，可以用量角器量出。两个正弦电流相减的相量图法求解如图2.6（b）所示，根据已知条件，先在同一个相量图中分别画出有效值相量及，然后以、为邻边作一个平行四边形。在此平行四边形中，通过原点O作一条对角线，其长度就是两个正弦电流之差的有效值I，可以由直尺量出；该对角线与零相位线的夹角就是两个正弦电流之差的初相位，可以用量角器量出。可见，采用相量图来对几个频率相同的同类正弦量进行相加或相减运算时，由于要依靠直尺、量角器分别量出有效值、初相位才能得出结果，因此运算结果不准确。采用复数运算对几个频率相同的同类正弦量进行相加或相减运算时，其求解过程简单，结果准确，复数运算法常常用于对交流电路的定量分析。例如，已知两个频率相同的正弦电流分别为 、，可以用有效值相量的复数代数式分别表示为 、，我们可以采用复数运算法求出两个正弦电流的和与差，有式中 计算结果为 例题2.2 已知两个频率相同的正弦电流分别为 、，求 、。解： 先将已知的两个正弦电流表示成有效值相量的复数代数式 （1） 计算结果为 （2） 计算结果为 2.3 交流电路的基本元件在交流电路中，电阻R、电感L、电容C是电路的三个基本参数，组成电路的电源、中间环节、负载中往往都包含有这三个基本参数，但是，这三个参数不一定同时在其中起主要作用。电阻参数起主要作用的元件称为电阻元件，如电热器、白炽灯等。电感参数起主要作用的元件称为电感元件，如电抗器、互感器等。电容参数起主要作用的元件称为电容元件，如电容器等。2.3.1 电阻元件假设电阻元件两端的交变电压u和流过其中的交变电流i的正方向一致，如图2.7所示。根据欧姆定律，有 或 （2.9）即电阻元件两端的交变电压瞬时值和通过其中的交变电流瞬时值两者之间存在线性关系。将式（2.98）两边乘以i，并就其一段时间进行积分，得 （2.10）结果表明，电能全部消耗在电阻上、转换成热能。可见，电阻是耗能元件。2.3.2 电感元件1.单匝线圈的感应电动势有一单匝空心闭合线圈如图2.8所示。当通过该线圈的原磁通发生变化时，根据电磁感应定律，闭合线圈中会产生感应电动势e，且有 （2.11）即感应电动势e的大小等于原磁通随时间变化的变化率。当原磁通的单位取韦伯（Wb）、时间t的单位取秒（s）时，感应电动势e的单位是伏特（V）。感应电动势e在闭合线圈中感生与其方向一致的感应电流i，感应电流i流过线圈产生磁通i。根据楞次定律，感应电流i产生的磁通i总是要阻碍原磁通的变化。按习惯规定各物理量的正方向如图2.8所示，即感应电动势e的正方向与原磁通的正方向符合右手螺旋定则，感应电流i与感应电动势e的正方向一致、与其产生的磁通i的正方向符合右手螺旋定则。当原磁通增大、即时，感应电流i产生的磁通i的实际方向应与原磁通的方向相反，以阻碍原磁通的增大，则感应电流i及感应电动势e的实际方向与参考正方向相反，即e0。可见，式（2.11）确定了感应电动势e的实际方向。2.电感元件当一个N匝密绕线圈的两端加上交变电压u时，线圈中有交变电流i通过，从而产生交变的磁链（磁链是N匝线圈磁通的总和，N），如图2.9（a）所示。如果线圈是空心线圈或是磁路不饱和的铁芯线圈，那么磁链与交变电流i成正比关系，有 （2.12）上式中的L是一个比例系数，称为线圈的自感系数，简称为自感，也称为电感。当磁链的单位取韦伯（Wb）、电流的单位取安培（A）时，电感L的单位是亨利（H）或欧秒（S）。线圈中有交变电流i通过时，在线圈中产生交变的磁链。根据电磁感应定律，穿过线圈的交变磁链会在线圈中感应出电动势。该电动势是因为在线圈中通入交变电流i而产生的，所以称为自感电动势，用符号e L表示，有 （1.13）将式（2.12）代入上式，得 （1.14）即空心线圈或磁路不饱和铁芯线圈的自感电动势e L的大小等于通入该线圈交变电流i随时间t变化的变化率，自感电动势e L的方向由上式中的负号确定：当自感电动势e L的正方向设定为与交变电流i的正方向一致时，若，则e L0，即自感电动势e L的实际方向与交变电流i的实际方向相同，起阻碍电流减小的作用。可见，自感电动势总是阻碍原电流变化的，以达到阻碍线圈中原磁链变化的目的，符号楞次定律。如果忽略电感线圈的电阻，那么电感线圈是理想的电感元件，简称电感元件或电感，其图形符号如图2.9（b）所示。当外加交变电压u的正方向设定为与交变电流i的正方向一致时，如图2.9（a）所示，根据克希荷夫电压定律，可以列出其回路方程将式（2.14）代入上式，得 可见，电感线圈上的电压降u等于电感元件的电感L与通过电感元件的电流i随时间变化的变化率之乘积。当电感元件中流过直流电流、即时，电感元件上的电压等于零，电感元件可视为短路。将上式两边乘以i，并从首次向电感元件通入电流开始积分，得 （2.15）上式中的就是磁场能量。可见，电感元件是储能元件。当电感元件的电感L一定时，电流增大说明电感元件吸收电能并转换成磁场能，磁场能增大；电流减小说明电感元件释放磁场能并向电源回送电能，磁场能减小。3.电容元件将两块导体用绝缘介质隔开，就构成了一个电容器，这两块导体称为电容器的极板。实际的电容器存在能量损耗，忽略能量损耗的电容器称为理想电容元件，简称电容元件或电容，其图形符号如图2.10所示。电容元件在外加电压u的作用下，其两个极板上储存异性而等量的电荷，储存的电荷量q与外加电压u成正比，即 或 （2.16）上式中的比例常数C称为电容，电容的标准单位是法拉，用符号F表示。工程上常常采用微法（F）、皮法（pF）作为电容的单位，有当极板上的电荷量q或外加电压u发生变化时，在电路中就要引起电流i。当外加电压u的正方向与电路电流i的正方向一致时，有 （2.17）可见，电路中的电流i等于电容元件的电容C与电容元件两端的电压u随时间变化的变化率之乘积。当电容元件外加的电压为直流电压时，电路中的电流为零，电容元件可以视为断路。将式（2.17）两边乘以u，并从首次给电容元件外加电压开始积分，得 （2.18）上式中的就是电场能量。可见，电容元件是储能元件。当电容元件的电容C一定时，外加电压增大说明电容元件吸收电能并转换成电场能，电场能增大；外加电压减小说明电容元件释放电场能并向电源回送电能，电场能减小。1）电容的串、并联电容器的额定电压（或耐压）是指电容器长期工作时所能承受的最大电压，如果加在电容器两端的电压超过其额定电压值，电容器将被击穿。实际应用中，有时会将多个电容器串联使用，以减小各串联电容器承受的电压。现有两个电容分别为C1、C2的电容器串联，如图2.11所示。从图中看出，两个串联电容的电压之和应等于外加电压、即等于等效电容承受的电压根据电荷守恒原理，两个串联电容及其等效电容的电荷量应该相等，有由式（2.16）知道，代入上面两个式子得即 （2.19）可见，几个电容串联时，其等效电容的倒数等于各个串联电容倒数之和。实际应用中，也常常将几个电容器并联使用，以便提高等效电容的电容量。现有两个电容分别为C1、C2的电容器并联，如图2.12所示。从图中看出，两个并联电容的电压相等且等于外加电压、即等于等效电容承受的电压根据电荷守恒原理，两个并联电容上的电荷量之和应等于等效电容的电荷量，有由式（2.16）知道，代入上面两个式子得即 （2.20）可见，几个电容并联时，其等效电容等于各个并联电容之和，等效电容的电容量增大了。2）电容器的充、放电电容器的充电和放电电路如图2.13所示。当开关S合向A点时，充电开始。根据克希荷夫电压定律，有 (2.21)将电容电流代入上式，得设充电前电容器上的电荷及电压为零，解微分方程得 （2.22）式中,是充电过程的时间常数，其单位为秒（S）。值越小，则充电过程越短。将上式代入式（2.21），得 （2.23）根据式（2.22）、（2.23）作出电压u c、电流i随时间变化的曲线，如图2.14所示。从图中看出，电容器的充电过程中，电压u c、电流i都不是跃变的，电压u c随时间按指数规律由0增加到外加电压U，电流i随时间按指数规律由开始充电瞬间的电流值U/R衰减到0。在理论上，当时，充电过程结束。实际上，当时，充电过程已基本结束。当开关S合向B点时，放电开始。根据克希荷夫电压定律，有 (2.24)将电容电流代入上式，得设放电前电容器上的电压为U，解微分方程得 （2.25）式中,是放电过程的时间常数，其单位为秒（S）。值越小，则放电过程越短。将上式代入式（2.24），得 （2.26）根据式（2.25）、（2.26）作出电压u c、电流i随时间变化的曲线，如图2.15所示。从图中看出，电容器的放电过程中，电压u c、电流i都不是跃变的，电压u c、电流i均随时间按指数规律衰减到0。在理论上，当时，放电过程结束。实际上，当时，放电过程已基本结束。2.4 负载为单一元件的交流电路负载为单一元件的交流电路是最简单的交流电路，对其电压和电流关系、功率问题进行分析，是分析复杂交流电路的基础。2.4.1 纯电阻负载电路图2.16（a）为纯电阻负载交流电路，图中标明了电压、电流的正方向。如果在电阻R两端加上正弦电压，根据欧姆定律,电阻R通过的电流为 （2.27）可见，电阻两端加正弦电压时，流过电阻的电流是与外加电压频率、相位均相同的正弦电流，电压u、电流i的波形图如图2.16（b）所示。由上式得或 (2.28)可见，电阻的电压、电流有效值的关系符合欧姆定律。电压、电流的有效值相量关系为 （2.29）电压u、电流i的有效值相量图如图2.16（c）所示。任意时刻的电压、电流瞬时值之乘积称为瞬时功率，用p表示。电阻上消耗的瞬时功率为 （2.30）瞬时功率p的波形图如图2.16（d）所示。由于电压u和电流i同相，即同时为正或同时为负，因此瞬时功率p总是正值，说明电阻在每一瞬间都从电源吸收电能，电阻是耗能元件。 瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率，用P表示。有 (2.31)可见，电阻消耗的平均功率等于电压和电流有效值的乘积。例题2.3 在一个的电阻两端加上伏的电压，求电阻的电流及其有效值、电阻消耗的平均功率。解： 电阻的电流 电流有效值 电阻消耗的平均功率 2.4.2 纯电感负载电路图2.17（a）为纯电感负载交流电路，图中标明了电压、电流、自感电动势的正方向。如果电感L流过电流 ，则 （2.32）可见，电感流过正弦电流i时，其两端的电压u是与电流i频率相同的正弦电压，电压u超前电流i 相位，电压u、电流i的波形图如图2.17（b）所示。由上式得或 (2.33)令,称为感抗，它是电压、电流的有效值之比，其单位为欧姆（）。感抗XL正比于电流的频率f，频率越高，感抗越大，阻碍高频电流的作用越明显。频率越低，感抗越小，感抗对频率为零的直流电流没有阻碍作用，因此纯电感在直流电路中相当于短路。电压、电流的有效值相量关系为 （2.34）电压u、电流i的有效值相量图如图2.17（c）所示。纯电感的瞬时功率为 （2.35）瞬时功率p的波形图如图2.17（d）所示。由于电压u超前电流i 相位，因此电压u与电流i的瞬时值在第一和第三个1/4周期内同时为正或同时为负，瞬时功率p为正值；在第二和第四个1/4周期内不同时为正或不同时为负，瞬时功率p为负值。在一个周期内，瞬时功率p一半为正、一半为负，说明电感从电源吸收电能和向电源回送电能的量相等，电感是储能元件。显然，纯电感的平均功率为零，即 (2.36)纯电感负载在交流电路中不消耗能量，只是与电源进行能量互换，其互换能量的规模用无功功率来反映。无功功率等于瞬时功率的幅值，用符号Q表示，单位为乏（Var）或千乏（Kvar），即 (2.37)与之相区别，平均功率称为有功功率。例题2.4 在一个的纯电感元件两端加上伏的电压，求电感的电流及其有效值、无功功率。解： 感抗 电感的电流 电流有效值 无功功率 2.4.3 纯电容负载电路图2.18（a）为纯电容负载交流电路，图中标明了电压、电流的正方向。如果在电容C两端加正弦电压，则 （2.38）可见，电容两端加正弦电压u时，电路中流过的电流i是与外加电压频率相同的正弦电流，电流i超前电压u 相位，电压u、电流i的波形图如图2.18（b）所示。由上式得或 (2.39)令,称为容抗，它是电压、电流的有效值之比，其单位为欧姆（）。容抗XC与电流的频率f成反比，频率越高，容抗越小，高频电流通过电容越容易。频率越低，容抗越大，容抗对频率为零的直流电流起“隔值”作用，因此纯电容在直流电路中相当于断路。电压、电流的有效值相量关系为 （2.40）电压u、电流i的有效值相量图如图2.18（c）所示。纯电容的瞬时功率为 （2.41）瞬时功率p的波形图如图2.18（d）所示。由于电流i超前电压u 相位，因此电流i与电压u的瞬时值在第一和第三个1/4周期内同时为正或同时为负，瞬时功率p为正值；在第二和第四个1/4周期内不同时为正或不同时为负，瞬时功率p为负值。在一个周期内，瞬时功率p一半为正、一半为负，说明电容从电源吸收电能和向电源回送电能的量相等，电容是储能元件。显然，纯电容的平均功率为零，即 (2.42)纯电容负载在交流电路中不消耗能量，只是与电源进行能量互换，其互换能量的规模用无功功率来反映，即 (2.43)例题2.5 在一个的纯电容元件两端加上伏的电压，求电容的电流及其有效值、无功功率。解： 容抗 电容的电流 电流有效值 无功功率 2.5 电感线圈与电容器串联电路 一个实际的电感线圈包含有电阻R和电感L，可以等效成R、L串联电路。一个实际的电感线圈与电容器串联，其实是R、L、C串联电路。2.5.1 电压、电流关系在图2.19（a）的R、L、C串联电路中，标明了电压、电流的正方向。串联电路中的各个元件通过同一个正弦电流，为了便于分析，常常选择正弦电流作为参考量，设电流为根据克希荷夫电压定律可以列出回路方程把正弦量的运算转换为有效值相量的运算形式，得 (2.44)根据上一节的分析结果，有 （2.45）电压、电流的有效值相量图如图2.19（b）所示。令，称为阻抗，它是电压、电流有效值相量之比，其单位为欧姆（）。阻抗Z为复数，其实部R是电阻，虚部称为电抗。阻抗Z的表示法有代数式、指数式和极坐标式三种，为 （2.46）上式中 (2.47) (2.48)将式（2.46）代入式（2.45），得有 （2.49）将上式与电流比较，当时，即电压u与电流i同相位，电路呈电阻性；当时，电压u超前于电流i一个相位，电路呈感性；当时，电压u滞后于电流i一个相位，电路呈容性。2.5.2 功率问题1. 有功功率在上节介绍的内容中，我们知道瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率，为了与无功功率相区别，称平均功率为有功功率。设电路中的电压、电流分别为，它们的正方向一致，电路的瞬时功率为电路的平均功率即有功功率为 （2.50）上式中，是电压、电流的相位差，也称为功率因数角；称为电路的功率因数。可见，正弦电路的有功功率等于电压有效值、电流有效值、功率因数的乘积。当时，P=0，说明电感元件和电容元件不消耗电能；当时，P=UI，说明电阻元件总是消耗电能的。有功功率实际上反映了电路消耗的电功率，有功功率的单位为瓦特（W）。2. 无功功率在上节内容中，我们知道电感元件、电容元件在交流电路中不消耗电能，只是与电源进行能量互换，其互换的规模用无功功率来反映，有或 （2.51）当电路不是纯电感负载或纯电容负载时，如R、L、C串联电路的负载是既有电感、电容而又有电阻的情况。此时电感与电容之间或电感、电容与电源之间进行能量转换的同时，有能量消耗在电阻上，衡量互换能量规模的无功功率显然不能采用式（2.51）来计算。我们将交流电路的无功功率定义为 （2.52）其中为交流电路中电压、电流的相位差，无功功率的单位用乏（Var）表示。从式（2.52）看出，当电路为纯电阻负载时，Q=0，说明电阻不与电源互换能量；当电路为纯电感负载时，Q=UI，说明电感元件只与电源互换能量；当电路为纯电容负载时，Q=UI，说明电容元件只与电源互换能量；当电路不是单一元件负载时，说明电源能量与负载互换一部分、消耗在负载上一部分。无功功率Q值的正、负只是表示电路呈感性或容性。3. 视在功率电压与电流有效值的乘积称为视在功率，用符号S表示，其标准单位为伏安（VA），有 （2.53）视在功率具有实际意义。如电气设备的额定视在功率等于其额定电压与额定电流的乘积，即,SN又称为电气设备的容量。根据式（2.50）、（2.52）、（2.53）可以得出视在功率S与有功功率P、无功功率Q的关系式 (2.54)S、P、Q三者的关系也可以用一个三角形来表示，如图2.20所示。例题2.6 一个R、L、C串联电路，已知，电路中流过的电流为安，求：（1）各元件上及电路外加的电压有效值，并确定电路的性质；（2）各元件及电路的有功功率、无功功率、视在功率。解： （1）电阻R上的电压 电感的感抗及电压 电容的容抗及电压 电路的阻抗及电路外加的电压 因为，即，电路呈容性。 (2)电阻的功率 , 电感的功率 , 电容的功率 , 电路的功率 2.6 电感线圈与电容器并联电路在实际的交流电路中，以一个包含电阻、电感的电感线圈为负载的情况是很常见的，如日光灯、异步电动机、交流电焊机、交流电磁铁等。这些带感性负载交流电路的功率因数往往不高，使电源设备得不到充分利用。为了提高线路的功率因数，常常将电容器与感性负载并联运行，因此电感线圈与电容器并联的交流电路也是很常见的，对其进行讨论具有实际意义。2.6.1 电压、电流关系在图2.21（a）的R、L串联再与C并联电路中，标明了电压、电流的正方向，该电路中R、L串联支路与C支路具有相同的电压，为了便于分析，常常选择正弦电压为参考量，设电压为 （2.55）通过R、L支路电流i1的有效值I1以及支路电流i1与电压u的相位差分别为 (2.56) (2.57)通过C支路电流iC的有效值IC及其与电压u的相位差分别为 (2.58) (2.59)由克希荷夫电流定律知把正弦量的运算转换为有效值相量的运算形式，得 (2.60)根据式（2.56）、（2.57）、（2.58）、（2.59）、（2.60）作出电流i1、iC、i及电压u的有效值相量，如图2.21（b）所示。从相量图看出，电流i滞后电压u的相位为，且有 （2.61） （2.62）电流i的有效值I及滞后电压u的相位差分别为 （2.63） （2.64）从式（2.64）及相量图看出，当时，电流i滞后于电压u，电路呈感性；当时，电流i超前于电压u，电路呈容性；当时，电流i与电压u同相位，电路呈电阻性，此时，。从式（2.63）看出，实际电感负载并联电容后，电路电流I总是小于负载电流I1。当电路呈电阻性时，总电流的数值最小，即2.6.2 功率因数的提高在电感线圈与电容器并联电路中，电容器不消耗电能，只有R、L支路消耗电能。由式（2.50）得电路的有功功率为将式（2.61）代入上式，得 (2.65)上式中，由于总有，因此总有，说明R、L支路并联电容器后可以使电路的功率因数提高。当电路电压U及负载需要吸取的电能即有功功率P一定时，功率因数越高，则电路的电流I越小，使电源及输电线路上的能量损耗越小。当电路电压及电源容量S=UI一定时，功率因数越高，则负载可以吸收的电能即有功功率P越接近电源容量S，使电源设备得到充分利用。可见，提高功率因数具有重要意义。在感性负载两端并联电容器是提高功率因数的常用方法。如果要求将电路的功率因数提高到，由式（2.62）得并联电容的电流提高功率因数的同时，要求不改变负载吸收的能量，即要求有功功率P不变。将式（2.65）代入上式，得将式（2.58）代入上式，得即并联电容器的电容应为 (2.66)例题2.7 有一个、的感性负载，接到220V、50Hz的交流电源上，负载取用的功率为4KW。求电路的功率因数；要将电路的功率因数提高到0.92，负载两端应并联电容量为多大的电容器？解： 2.7 谐振在具有电感线圈和电容器的交流电路中，电路的电压相位和电流相位通常是不相同的。当调节电感线圈或电容器的参数或电源的频率时，可以使电路的电压相位与电流相位相同，此时电路将出现谐振现象。电路的谐振是一种客观现象，它既有有利的一面，也有不利的一面。对谐振现象进行分析，了解发生谐振的条件及谐振的特点，将有利于我们安全、合理地使用交流电路。2.7.1 串联谐振在电感线圈和电容器串联的交流电路中，当电路总阻抗的复角等于零时，电路的电压相位与电流相位相同，电路出现谐振现象，此时的谐振称为串联谐振。根据串联电路的总阻抗复角表达式可以得串联谐振的条件，为 (2.67)即 则串联谐振时电路的频率为 (2.68)可见，调节L、C或f都可以使，即使串联电路发生谐振。串联谐振具有以下特点：（1）联电路的总阻抗值，即Z为最小值，电路的电流达到最大值，为 （6.69）（2）此时电路呈电阻性，电阻R全部吸收电源发出的电能，全部的能量互换都在电感L和电容C之间进行。（3）电感上的电压UL和电容上的电压UC分别为即 （2.70）上式中，称为串联电路的品质因数。当时，电感上的电压UL和电容上的电压UC都会远远超过电源电压U，因此串联谐振又称为电压谐振。发生串联谐振时，过高的电压将可能击穿电感线圈或电容器的绝缘，使设备损坏。因此，应避免串联谐振在电力系统中发生。一些弱电流信号通过电路，使电路发生串联谐振时，与谐振频率同频率的弱电流信号在电感线圈及电容器上产生同频率的高电压及大电流，该弱电流信号得到放大而被选出。此时，其它频率的弱电流信号不被放大，其干扰作用很小。无线电工程中的要对弱小信号进行接收时，常常应用串联谐振原理来解决选择信号和抑制干扰的问题。例题2.8 一个的电感线圈与的电容器串联后接到U=15伏的交流电源上，求：（1）电路发生谐振时的频率f0、电流I0以及电感、电容上的电压UL、UC；（2）频率为98f0的电信号通过电路时的电流I以及电感、电容上的电压UL、UC。解：（1）谐振频率 谐振电流 谐振电压 (2)当f=98f0=784KHz时，电路不发生谐振。电路电流 其中： 电感、电容上的电压 对（1）、（2）的计算结果进行比较，可以看出，频率不等于谐振频率的电信号在电路中产生的电流及在电感、电容上产生的电压，远小于频率等于谐振频率的电信号在电路中所产生的电流、电压。2.7.2 并联谐振在电感线圈和电容器并联的交流电路中，当电路总阻抗的复角等于零时，电路的电压相位与电流相位相同，电路出现谐振现象，此时的谐振称为并联谐振。如图2.21电路，根据式（2.60），并将式（2.45）代入式（2.60），得 (2.71)式中Z为电路得总阻抗，Z1、ZC分别为电感线圈支路、电容支路的阻抗。有由式（2.71）得 在电路发生谐振时，一般有RL，忽略上式分子中的R，有 (2.72)只要，电路总阻抗Z的复角便等于零，电路发生谐振。即谐振的条件为或 （2.73） 则并联谐振时电路的频率为 (2.74)可见，调节L、C或f都可以使电路的电压、电流相位相同而发生谐振。并联谐振具有以下特点：（1）谐振时电路呈电阻性，电路的总电阻为最大值，由式（2.72）得 (2.75)此时电路的电流达到最小值，为 (2.76)（2）电感线圈、电容器支路的电流分别为将式（2.76）代入上两个式子，得即 （2.77）上式中，称为并联电路的品质因数。当时，电感线圈支路电流I1和电容器支路IC电流都会远远超过电路的总电流I0，因此并联谐振又称为电流谐振。交流电动机或电力变压器等电感性负载并联电容器使用时，可以提高电路的功率因数。但是，如果发生并联谐振，那么极大的电流通过负载，使其损坏，应引起重视。并联谐振在电子线路中的应用较为广泛，通常作为选频电路和输出电路。2.8 三相交流电路三相交流电路在生产实际中的应用相当广泛，三相交流电路的电源是三相电源、负载是三相负载。本节主要讨论三相对称电源的电压、电流，三相负载的连接方法及不同连接方法时的电压、电流，以及三相功率问题。2.8.1 三相电源三相对称电源由三相发电机产生，它是由三个幅值相等、频率相同、相位互差1200的单相交流电源按一定方式连接而成的。三相对称电源有星形（Y形）和三角形（形）两种连接方式。三相对称电源的电动势称为三相对称电动势，其解释式为 (2.78)用有效值相量表示为 (2.79)三相对称电动势的波形图、有效值相量图如图2.22所示。从图中看出，三相对称电动势之三个电动势的瞬时值之和为零、有效值相量之和为零。三个电动势因此依次达到最大值，其顺序称为相序，此时相序为A-B-C。三相发电机的三相绕组通常连接成星形（Y形），如图2.23所示。所谓星形连接，就是把发电机的三个绕组AX、BY、CZ的首端A、B、C作为输出端，末端X、Y、Z连接在一起的绕组连接方法。这三个末端的连接点称为中点（或零点），用符号N表示。首端A、B、C的引出线与负载相连接，这三根导线称为相线，也称为火线；只有三根相线供电的方式称为三线制供电方式。如果从中点引出导线，作为另一个输出端，该引出线称为中性线（或零线）；采用三根相线与中性线供电的方式，称为三相四线制供电方式。本相绕组的首端和末端之间的电压，或相线与中性线之间的电压，称为相电压。三个相电压的有效值分别用UA、UB、UC或表示。显然，三相电压与三相对称电动势一样，是幅值相等、频率相同、相位互差1200的三相对称电压。三相对称电压的有效值相量表示为 (2.80)一个相绕组的首端与另一个相绕组的首端之间的电压，或一根相线与另一根相线之间的电压，称为线电压。三个线电压的有效值分别用UAB、UBC、UCA或表示。在图2.23中，根据克希荷夫电压定律，得 (2.81)将上式写成有效值相量的形式，有 (2.82)作出各相的相电压、线电压有效值相量图，如图2.24所示。从图中看出（1）三个线电压是幅值相等、频率相同、相位互差1200的三相对称电压。（2）线电压超前于对应的相电压300相位，即分别比超前 300相位。（3）线电压的数值是相电压数值的倍，即 （2.83）在电力系统中，供电电压为380/220V的系统