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实验三 傅里叶变换、系统的频域分析一、 实验目的1、学会用MATLAB实现连续时间信号傅里叶变换2、学会用MATLAB分析LTI系统的频域特性3、学会用MATLAB分析LTI系统的输出响应二、实验原理1傅里叶变换的MATLAB求解 MATLAB的symbolic Math Toolbox 提供了直接求解傅里叶变换及逆变换的函数fourier()及ifourier()两者的调用格式如下。Fourier 变换的调用格式F=fourier(f)：它是符号函数f的fourier变换默认返回是关于w的函数。F=fourier(f，v):它返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是默认的w，即 Fourier逆变换的调用格式f=ifourier(F):它是符号函数F的fourier逆变换，默认的独立变量为w，默认返回是关于x的函数。f=ifourier(f,u):它的返回函数f是u的函数，而不是默认的x.注意：在调用函数fourier()及ifourier()之前，要用syms命令对所用到的变量（如t,u,v,w）进行说明,即将这些变量说明成符号变量。例4-1 求的傅立叶变换解: 可用MATLAB解决上述问题：syms tFw=fourier(exp(-2*abs(t)例4-2 求的逆变换f(t)解： 可用MATLAB解决上述问题syms t wft=ifourier(1/(1+w2),t)2连续时间信号的频谱图例4-3 求调制信号的频谱，式中解：MATLAB程序如下所示ft=sym(4*cos(2*pi*6*t)*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4);Fw=simplify(fourier(ft)subplot(121)ezplot(ft,-0.5 0.5),grid onsubplot(122)ezplot(abs(Fw),-24*pi 24*pi),grid 用MATLAB符号算法求傅里叶变换有一定局限，当信号不能用解析式表达时，会提示出错，这时用MATLAB的数值计算也可以求连续信号的傅里叶变换，计算原理是当足够小时，近似计算可满足要求。若信号是时限的，或当时间大于某个给定值时，信号已衰减的很厉害，可以近似地看成时限信号时，n的取值就是有限的，设为N，有 是频率取样点时间信号取样间隔应小于奈奎斯特取样时间间隔，若不是带限信号可根据计算精度要求确定一个频率 W0为信号的带宽。例4-4 用数值计算法求信号的傅里叶变换解，信号频谱是，第一个过零点是，一般将此频率视为信号的带宽，若将精度提高到该值的50倍，既W0=50，据此确定取样间隔，R=0.02;t=-2:R:2;f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);W1=2*pi*5;N=500;k=0:N;W=k*W1/N;F=f*exp(-j*t*W)*R;F=real(F);W=-fliplr(W),W(2:501);F=fliplr(F),F(2:501);subplot(2,1,1);plot(t,f);xlabel(t);ylabel(f(t);title(f(t)=u(t+1)-u(t-1);subplot(2,1,2);plot(W,F);xlabel(w);ylabel(F(w);title(f(t)的付氏变换F(w);3用MATLAB分析LTI系统的频率特性 当系统的频率响应H（jw）是jw的有理多项式时，有 MATLAB信号处理工具箱提供的freqs函数可直接计算系统的频率响应的数值解。其调用格式如下H=freqs(b,a,w)其中，a和b分别是H(jw)的分母和分子多项式的系数向量，w为形如w1:p:w2的向量，定义系统频率响应的频率范围，w1为频率起始值，w2为频率终止值,p为频率取样间隔。H返回w所定义的频率点上，系统频率响应的样值。例如，运行如下命令，计算02pi频率范围内以间隔0.5取样的系统频率响应的样值a=1 2 1;b=0 1;h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi)例 4-5 三阶归一化的butterworth 低通滤波器的频率响应为 试画出该系统的幅度响应和相位响应。解 其MATLAB程序及响应的波形如下w=0:0.025:5;b=1;a=1,2,2,1;H=freqs(b,a,w);subplot(2,1,1);plot(w,abs(H);grid;xlabel(omega(rad/s);ylabel(|H(jomega)|);title(H(jw)的幅频特性);subplot(2,1,2);plot(w,angle (H);grid;xlabel(omega(rad/s);ylabel(phi(omega);title(H(jw)的相频特性);4用MATLAB分析LTI系统的输出响应例 4-6已知一RC电路如图所示 系统的输入电压为f(t)，输出信号为电阻两端的电压y(t).当RC=0.04，f(t)=cos5t+cos100t, 试求该系统的响应y(t)-+-+f(t)y(t)RC解 由图可知 ，该电路为一个微分电路，其频率响应为 由此可求出余弦信号通过LTI系统的响应为 计算该系统响应的MATLAB程序及响应波形如下RC=0.04;t=linspace(-2,2,1024);w1=5;w2=100;H1=j*w1/(j*w1+1/RC);H2=j*w2/(j*w2+1/RC);f=cos(5*t)+cos(100*t);y=abs(H1)*cos(w1*t+angle(H1)+ abs(H2)*cos(w2*t+angle(H2);subplot(2,1,1);plot(t,f);ylabel(f(t);xlabel(Time(s);subplot(2,1,2);plot(t,y);y