微积分上机作业.doc

微积分上机实验报告学生系别：学生专业：学生班级：学号姓名：指导老师：2012年5月28号选作第2题、第6题2、题目：（数值积分）人造地球卫星的轨道可视为平面上的椭圆，地心位于椭圆的一个焦点处已知一颗人造地球卫星近地点距地球表面439 km，远地点距地球表面2384 km，地球半径为6371 km求该卫星的轨道长度算法：椭圆的标准方程：（焦点在x轴）。函数每给X一个值都有唯一的一个值与之对应，而椭圆确有2个值，所以椭圆不属于函数，故将椭圆分为上下两部分，上下两部分分别为函数，先求出上半椭圆的长度，再乘两倍既是椭圆的长度。上半椭圆方程：（y=0）,两边对x求导有:，y=构造上半椭圆的弧微分，作为积分微元。采用数值积分的方法，通过 for循环语句在积分域内构造很多个小长方形，以这些长方形面积之和代替积分数值。当步长很小，长方形个数很多时，长方形面积之和则很接近这个积分的数值。运用C语言编写程序，定义数值积分函数，采用for循环语句，依据精度的不同设置不同的步长，依次求和，即可计算出近似结果，得到椭圆长度。在编写程序之前，计算椭圆的长半轴和焦距的一半的长度：长半轴a=（439+2384+6371*2）/2=7782.5焦距的一半c=a-6371-439=972.5短半轴b=a*a-c*cC语言源程序：#include#include#define a 7782.5#define c 972.5#define b sqrt(pow(a,2)-pow(c,2)#define n 1.0e-3main()double L=0,x,f;for(x=-99999*a/100000;xa;x+=n)f=sqrt(1+pow(b,2)*pow(x,2)/(pow(a,4)-pow(a,2)*pow(x,2);L=L+f*n;L=L*2;printf(卫星的轨道长度为:);printf(%lfn,L);结果：分析：对于这个程序，当x取值到-a时，积分微元的分母为零，对应的y值为0，所以在程序中，x最初取值为-99999*a/100000。当这个值越接近-a时，计算出来的值越接近真实值。同时，在程序中，步长越小，分出的小矩形越多，计算出的值越接近真实值。但是随着步长的减小，运算量会增加，运算时间也会增长，例如，本程序中n=1.0e-3，如果取n=1.0e-4时，运算时间大大加长，这是该程序的不足之处。6、题目：（最小二乘法）（1）假设t时刻人口增长速度与 t时刻人口总数 p(t) 成正比， 比例系数为k,求t时刻人口总数。（2）据统计，六十年代人口增长情况如下表：年196019611962196319641965196619671968人口（百万）297230613151321332343285335634203483试求出最佳拟合曲线，并预测2020年时的世界人口。（3）能否用该模型作长期人口预报？为什么？怎样改革该模型？解：（1）p=ekt+b （2）y=logp=kt+b，即能体现线性关系，通过最小二乘法建立经验公式，通过MATLAB软件可求出该直线方程。算法：1、首先画出散点图；2、其次观察图中点的分布规律，确定为线性关系，求出函数表达式；3、最后求出与测量值的偏差的平方和 Q=令Q取最小值，便可确定f（t）表达式中的未知参数，从而得到f（t）。函数关系：y=kt+b，其中常数k，b待定。由最小二乘法知，问题变为求二元函数 Q（k，b）= 的最小值。利用多元函数极值的必要条件，得=2=0=2=0整理化简，得唯一驻点 k=0.0186，b=-28.4331依据问题的实际意义，Q（k，b）定有最小值，且驻点唯一，所以（0.0186，-28.4331）为Q（k，b）的最小值点，所求经验公式y=0.0186t-28.4331，p=当t=2020时，y=9.1389，则p=MATLAB程序：先编写程序得到最佳拟合曲线（此为程序截图）：通过plot函数得到图形：所得图形趋近于一条直线，直线方程：y=kx+b。接着编写程序，通过polyfit函数得到线性方程的一次项系数和常数项值（此为程序截图）：y=kt+b 其中 k=0.0186 b=-28.4331即 y=0.0186t-28.4331当t=2020时，y=9.1389，则p=预测2020年时的世界人口为人。（3）不能用该模型作长期人口预报，因为没有考虑到其因素的影响，比如说经济因素、文化因素、医疗卫生因素、自然资源因素等。可以采用下列模型，或其综合：逻辑斯蒂克人口模型：以记自然资源和环境条件所能允许的最大人口数。把人口增长的速率除以当时的人口数称为人口的净增长率。人口的净增长率随着的增加而减小，且当时，净增长率趋于零。因此人口方程可写成： 其中为常数。模型（8.2）称为逻辑斯蒂克人口模型。人口模型应当包含对人口产生主要影响的因素：生育率、死亡率、年龄结构、男女比例。建立Leslie人口模型，充分反应生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素。由于每个模型各有