铅球运动中的数学1.doc

陇东学院数学系陇东学院数学系 20102010 届毕业生论文设计届毕业生论文设计 论文题目 论文题目 铅球运动中的数学铅球运动中的数学 姓姓 名 名 杨立红杨立红 班班 级 级 20062006 级本科级本科 3 3 班班 指导教师 指导教师 崔建斌崔建斌 完成日期 完成日期 20102010 年年 5 5 月月 铅球运动中的数学铅球运动中的数学 杨立红 作者简介 杨立红 1986 男 现为数学与应用数学专业 2006 级 3 班学生 陇东学院数学系 甘肃庆阳 745000 摘 要 本文运用力学原理 通过数理推导建立了铅球最大射程和最佳出手角的数学模型 并根据运动学的特点 分析了理论上最佳出手角及其在实际应用中的局限性 因此理论上 最佳出手角只能作为教学和训练的定量指标 而并非竞赛中的最佳出手角 在教学和训练 中应结合实际 采用合理的出手角 有利于改进技术 指导训练 从而提高运动员的成绩 关键词 铅球 最佳出手角 1 引言 铅球比赛以远取胜 且推铅球是抛射点高于落地点的斜抛体运动 在中学物理中我们 知道 如果不考虑空气阻力的影响 将一物体 形状规则 分布均匀 以一定的速率斜向 上抛出 那么只有当仰角 即出手角 为 45 时 它才能被抛出的最远 那么在实际当中 推出铅球的仰角 即出手角 为多少时 它才能推出的最远呢 目前在一些体育方面的书 籍中给出了最佳出手角为 38 42 1 这样就很难正确的指导训练 对教学很不利 而 在近几年的世界竞赛中 我国铅球运动员的成绩并不理想 究其原因 本文通过数理推导 对此问题作初步的探讨 并将其进行总结 2 模型的建立 2 1 模型建立的基础 铅球和其他球类有明显的不同 它的形状规则 密度较大 体积较小 那么这样就适 合将其抽象为一个质点 而且铅球的飞行速度相对较慢 在抛出后做斜抛体运动 易于建 立数学模型 2 2 模型的推导 铅球在推出后要受到空气阻力的影响 在这里我们设出手角 铅球离手时运动方向和 水平方向的夹角 记为 出手速度 铅球离开手时的速度 记为 v0 运动员肩高为 h1 臂长 为 L 出手时球高为 h 空气阻力为 F 则空气阻力与速度的关系为 则在水平方kvF 向上和竖直方向上的阻力分别为 如图所示 yyxx kvFkvF G F Fx Fy A vy0 vx0 v0 则由牛顿第二定律 2 得 1 2 dt dv mkv x x dt dv mkvmg y y 两边积分得 3 4 m kt xx ev dt dx v 0 k mg e k mg v dt dy v m kt yy 0 上式中 两边再次积分得 sin cos 00 0oyx vvvv 5 6 cos 1 1 0 0 m kt m kt x ev k m ev k m x k mgt e k mg v k m k mgt e k mg v k m y m kt m kt y 1 sin 1 0 0 由于 且时间 t 并不是一个较大的量 一般 t 10s 所以为一小量 0 1 0 m kt 利用级数展开后保留到二次项 并化简得 m kt e 7 8 cos 2 2 0 m kt tvx sin 1 2 sin 0 2 0 mg kvgt tvy 落地点的坐标为 从抛出点到落地点的时间记为 t1 由上面两式有 hsyx 9 10 cos 2 2 1 10 m kt tvs sin 1 2 sin 0 2 1 10 mg kvgt tvh 令 代人 10 式 移项后为一个一元二次方程 由求根公式可得a mg kv 0 sin1 sin1 2 sin sin 2 00 1 ag aghvv t 把代人上式得 sin 1 Lhh sin1 2sin 2 sin 2 1 sin sin1 2sin 2sin 2 sin 2 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 0 2 1 11 2 2 00 1 ag v gh v Lahg v gLa v ag ghLahggLavv t 令 sin u 2 0 2 1 v gLa b 2 0 1 2 v Lahg c 2 0 1 2 v gh d 则上式可化简为 1 2 0 1 aug dcubuuv t 同时 2 1 2 1 1 2 0 m kt tuvs 要得知 取何值时 s 为最大 只需令 s 的导数为零即可 3 由 得0 1 2 1 1 2 0 m kt tuv du d du ds 1 u2 1 1 1 1 2 1 2 11 经计算得 dcubuaug adcuacbdcubuv du dt 22 2 01 1 2 2 2 2 代人 11 2 1 4 3 1 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 12 4 3 2 3 2 2 2 3 2 4 为了化简上式 我们令 1 2 4 baa 1 3 3 baa daaca 2 2 24 2 1 acdbaa 22 2 0 daaca bacb4 3 abcadb232 2 dacbb232 1 adcb4 0 于是 12 式就可以化简为 13 01 2 2 3 3 2 01 2 2 3 3 4 4 bubububdcubuauauauaua 两边平方化简得到一个一元十次方程 0 01 2 2 3 3 4 4 5 566 7 7 8 8 9 9 10 10 AuAuAuAuAuAuAuAuAuAuA 14 其中系数 4 10 baA 2 4439 2cabaaA 2 2 2 34243 2 48 aaabcaadaA daaaaacaaaabA 43 2 34232417 2 2 2 2 3 2 3423241 2 231406 2 2 22 baaadaaaacaaaaabA 323241 2 2314021305 2 2 22 2bbaaaadaaaaacaaaabA 2 22 2 2 2 231 2 231402130 2 1204 bbbaaaaadaaaacaaabA 2 2 2 2 21302130 2 120103 bbbbaaaadaaacabaA 2 2 2 2 120 2 12010 2 02 bbbaaadacabaA 1010 2 01 22bbadacaA 2 0 2 00 bdaA 这里 h1 L m v0 k 为一级参数 a b c d 为二级参数 ai i 0 1 2 3 4 和 bj j 0 1 2 3 为三级参数 An n 0 1 2 10 为四级参数 这样可以由一级参数确 定二级参数 由二级参数来确定三级参数 由三级参数和二级参数共同来确定四级参数 当四级参数确定后 就可以由方程 14 来确定最佳出手角了 3 模型的检验 为了验证模型的正确性 我们通过一个特例进行检验 当 k 0 时 此时有 2 2 c 1b 0a 2 0 1 2 0 v gh d v gL 令 则 c B d A 同时有 2 2 0 1 v gh A 2 0 2 v gL B 0 134 aaa2 4 02 aa 代人系数 An可得4 3 b 3 2 Bb 1 2 1 Ab Bb 0 0 678910 AAAAA 13 4 9 8 3 2 45 ABABABA 代入式 14 且两边同乘以 1 得 4 4 684 2 01 2 2 ABAABABAAA 15 0 4 4 684 13 498 22223425 ABABuuBAAuABuBBu 如果认为出售高度与出手角无关 则相当于 L 0 h1 h 此时有 22 2 0 2 0 1 v gh v gh A 0 2 2 0 v gL B 代入 15 式化简得 ghv v A u 222 1 2 0 2 0 所以有 16 ghv v 22 arcsin 2 0 2 0 这就是教科书上给出的公式 4 模型的分析 上式就是大多数体育类教科书中给出的公式 在此公式中我们可以知道 的大小与 V0和 h 都有关系 如果对于某一个运动员而言 h 是不变的 而影响 大小的因素就只有 V0 所以理论上最佳出手角的决定因素为出手速度 V0 之所以能得到 16 式的结果 是因 为我们在检验模型前假设了 K O 即不考虑空气阻力 这样得到的出手角并非实际中真正 的出手角 它将最佳出手角的模型简单化 因此该模型在实际中具有一定的局限性 就不 能准确地指导训练 只能作为理论上出手角的计算公式 以供参考 5 结论 铅球运动的最大射程与出手角 出手速度 出手高度都有关 要取得有优异的成绩 除了加强训练来取得较大的初速度 出手速度 外 还要适当加大出手角 而最佳出手角 的大小与出手速度和出